Ứng dụng ma trận trong mô hình hồi quy tuyến tính.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN BÁ SƠN

ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG MÔ HÌNH

HỒI QUY TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Cao Văn Nuôi

Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 2: TS. Phạm Hữu Khánh

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn tốt

nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Đà Nẵng vào ngày

18 tháng 12 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Kinh tế lượng là môn khoa học cung cấp các phương pháp

phân tích về mặt định lượng các mối quan hệ giữa các chỉ tiêu kinh

tế cùng với sự tác động qua lại giữa chúng dựa trên cơ sở các số liệu

thu thập từ thực tế nhằm củng cố thêm các giả thiết kinh tế từ đó đưa

ra các quyết định đúng đắn hơn. Từ nhiều năm nay, cùng với sự phát

triển của máy vi tính, kinh tế lượng đã được áp dụng rộng rãi trong

kinh tế cũng như trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là nghiên cứu cách ứng

dụng của ma trận vào mô hình hồi quy tuyến tính biến. Việc nghiên

cứu này giúp ta hiểu thêm về cơ sở lý thuyết cũng như các ứng dụng

của ma trận trong mô hình hồi quy tuyến tính để phân tích và xử lý

các số liệu trong kinh tế lượng.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là các mô hình

hồi quy tuyến tính đơn và mô hình hồi quy tuyến tính

k

biến, các

kiểm định giả thiết, ước lượng và dự báo của chúng bằng phương

pháp sử dụng ma trận.

Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong

phạm vi về các mô hình hồi quy tuyến tính, phương pháp ước lượng

bình phương bé nhất thông thường, kiểm định giả thiết về hệ số hồi

quy, sự phù hợp của mô hình, dự báo giá trị trung bình và cá thể.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Chúng tôi dựa vào

các tài liệu chuyên khảo về xác suất-thống kê, lý thuyết độ đo, đại số

2

ma trận và một số nội dung của kinh tế lượng để khảo sát các vấn đề

đặt ra.

5. Đóng góp của đề tài

Chúng tôi hy vọng luận văn này là một tài liệu tham khảo cho

những ai tìm hiểu môn kinh tế lượng và cho thấy được những ứng

dụng của đại số ma trận, lý thuyết xác suất-thống kê trong lĩnh vực

kinh tế.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn góp một phần nhỏ trong việc hệ thống mô hình hồi

quy tuyến tính tổng quát bằng ma trận và các áp dụng của nó trong

lĩnh vực kinh tế và là tài liệu tham khảo về môn kinh tế lượng ở các

trường đại học và cao đẳng cũng như những người yêu thích toán

ứng dụng.

7. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chương với những nội dung chính như sau:

Chương 1: Các kiến thức cơ bản.

Gồm các khái niệm cơ sở phục vụ cho nội dung chương sau

như: ma trận, độ đo và xác suất, thống kê toán.

Chương 2: Mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển.

Chương này bao gồm các khái niệm về hồi quy, mô hình hồi

quy hai biến, ước lượng kiểm định hồi quy và dự báo.

Chương 3: Ứng dụng ma trận trong mô hình hồi quy tuyến

tính.

Trình bày mô hình hồi quy tuyến tính nhiều biến, ước lượng

hệ số hồi quy, kiểm định hồi quy và dự báo bằng ma trận.

3

CHƢƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. MA TRẬN

1.1.1 Định nghĩa ma trận

Một bảng số chữ nhật có

m

hàng

n

cột có dạng:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a a

A

a a a

   

  

 

   

được gọi là một ma trận cỡ

m n  .

ij a

là phần tử của ma trận A nằm

ở hàng i cột j. Để nói A là ma trận cỡ

m n 

có phần tử nằm ở hàng i

cột j là

ij a

ta dùng kí hiệu

[ ] A a 

ij m n

hay

( ) A a 

ij m n

.

Khi

m n 

ta có ma trận với n hàng n cột gọi là ma trận vuông

cấp n:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a a

A

a a a

   

  

 

   

1.1.2 Một số dạng ma trận thƣờng gặp

a. Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới

b. Ma trận chéo

c. Ma trận không

d. Ma trận đơn vị

e. Ma trận chuyển vị

1.1.3 Các phép toán trên ma trận

a. Cộng ma trận

4

Định nghĩa 1.1.1. Cho hai ma trận cùng cỡ

, [ ] m n A a   ij m n

và

[ ] B b 

ij m n

. Tổng A+B là ma trận cùng cỡ

m n 

xác định bởi

[ ] A B a b   ij ij m n

.

Tính chất.

b. Nhân ma trận với một số

Định nghĩa 1.1.2. Cho

[ ] , A a k   ij m n

thì tích

kA

là ma

trận cỡ

m n 

xác định bởi

[ ] . ij m n kA ka 



Tính chất.

c. Nhân ma trận với ma trận

Định nghĩa 1.1.3. Xét hai ma trận

ij m p

A a



    

và

ij p n

B b



    

trong đó số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. Ta gọi

tích AB là ma trận

ij m n

C c



    

có m hàng n cột và phần tử

ij c

được

tính theo công thức:

1 1 2 2

1

.

p

ij i j i j ip pj ik kj

k

c a b a b a b a b



    

Tính chất.

d. Chuyển vị tích của hai ma trận

1.1.4. Định thức

Định thức của ma trận vuông

Tính chất

1.1.5. Ma trận khả đảo và ma trận nghịch đảo

Định nghĩa 1.1.4. Xét

. A M n

Nếu tồn tại ma trận

B M n

sao cho

AB BA I  

thì ta nói A khả đảo và B được gọi là ma trận

nghịch đảo của A.

Tính chất

1.2. ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT

1.2.1. Cấu trúc

 đại số

5

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử



là một tập hợp khác rỗng, và

là lớp các tập con của



. Người ta gọi là một

 đại số (hay

 trường) nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

1.

 .

2. Nếu

A

thì

A

(

A A   \

).

3. Nếu

{ } Ai i 

thì

1

i

i

A





 .

Tính chất

1.2.2 Xác suất

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử

( , )  A

là một không gian đo được.

Người ta định nghĩa xác suất trên là một hàm tập

P: [0,1] 

thỏa mãn các tính chất sau:

1.

P( ) 1   .

2. Nếu dãy

{ } Ak

xung khắc từng đôi một thì

 

1 1

k k

k k

P A P A

 

 

    

 

.

3.

P A A ( ) 0, .  

Khi đó bộ ba

( , , )  P

được gọi là một không gian xác suất.

Tính chất

1.2.3 Đại lƣợng ngẫu nhiên và phân phối xác suất của đại

lƣợng ngẫu nhiên

1.2.4 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục

Phân phối rời rạc. Ta nói đại lượng ngẫu nhiên X có phân

phối rời rạc nếu hàm phân phối

FX

của nó là hàm bước nhảy.

Phân phối liên tục. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có

phân phối liên tục nếu phân phối

PX

của nó tuyệt đối liên tục đối với

độ đo Lebesgue của đường thẳng.

1.2.5 Hàm mật độ xác suất

6

Định nghĩa 1.2.3. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục, đạo

hàm Radon-Nikodym:

( ) ( ) X

X

dP x P x

dx



được gọi là hàm mật độ phân phối của X.

Tính chất

1.2.6. Các đặc trƣng số của đại lƣợng ngẫu nhiên

a. Kỳ vọng

b. Phương sai

c. Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là



và

được tính bằng căn bậc hai của phương sai:

  var( ) X .

1.2.7. Các quy luật phân phối xác suất thông dụng

a. Phân phối chuẩn

b. Phân phối khi bình phương

c. Phân phối Student

d. Phân phối Fisher

1.3 THỐNG KÊ TOÁN

1.3.1 Mẫu ngẫu nhiên và hàm phân phối mẫu

a. Mẫu ngẫu nhiên và mẫu thực nghiệm

Mẫu ngẫu nhiên cỡ n là dãy n biến ngẫu nhiên

1 2 ( , , , ) X X X  n

, trong đó các

, 1, X i n i



độc lập và có cùng phân

phối.

Một giá trị của mẫu ngẫu nhiên

1 2 ( , , , ) n

x x x 

được gọi là một

mẫu thực nghiệm cỡ n.

b. Hàm phân phối mẫu

Cho mẫu ngẫu nhiên

1 2 ( , , , ) X X X  n

có phân phối

F x( ).

Hàm phân phối mẫu là tỉ số

m n/

, trong đó n là kích thước mẫu, m

là số giá trị mẫu

; X x x i  

và kí hiệu là:

7

( ) , n

m

F x x

n

  .

1.3.2. Các đặc trƣng số của mẫu

a. Trung bình mẫu

Trung bình mẫu hay kỳ vọng mẫu ngẫu nhiên được ký hiệu là

X

và được xác định bằng công thức:

1

1

.

n

i

i

X X

n 

 

Trung bình mẫu hay kỳ vọng mẫu thực nghiệm được ký hiệu

là

x

và được xác định bằng công thức:

1

1

.

n

i

i

x x

n 

 

b. Phương sai mẫu

Phương sai mẫu ngẫu nhiên được ký hiệu

2

n S

và được xác định

bằng công thức:

2 2

1

1

( )

n

n i

i

S X X

n 

   .

Phương sai mẫu thực nghiệm được ký hiệu

2

n

s

và được xác

định bằng công thức:

2 2

1

1

( )

n

n i

i

s x x

n 

   .

c. Độ lệch chuẩn mẫu

Độ lệch chuẩn mẫu ngẫu nhiên được ký hiệu

*

n S

và được xác

định bằng công thức:

* *2

n n S S  .

Độ lệch chuẩn mẫu thực nghiệm được ký hiệu

*

n

s

hay



và

được xác định bằng công thức:

* *2

n n s s    .

d. Các đặc trưng số của mẫu của cặp biến ngẫu nhiên

e. Hệ số tương quan mẫu

1.3.3. Ƣớc lƣợng tham số