Ứng dụng lí thuyết sai phân để giải toán trung học phổ thông.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ HỒNG NHUNG

ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT SAI PHÂN ĐỂ

GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hải Trung

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí.

Phản biện 2: PGS. TS. Trần Đạo Dõng.

Luận văn được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ khoa học, họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng

12 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

• Trung tâm thông tin học liệu, Đại Học Đà Nẵng.

• Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Phương pháp sai phân và phương trình sai phân được ứng

dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật. Sai phân

có thể ứng dụng vào giải gần đúng phương trình các toán tử,

đặc biệt được sử dụng để giải gần đúng phương trình vi phân và

phương trình đạo hàm riêng. Bên cạnh đó, lí thuyết sai phân và

phương trình sai phân còn có nhiều ứng dụng khác trong giải tích,

chẳng hạn như : tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm giới hạn

của dãy số, bài toán tính tổng,. . . .

Sai phân và ứng dụng của sai phân là phương pháp rất quan

trọng trong toán sơ cấp. Nó không những góp phần giải quyết

các bài toán về dãy số mà còn giúp giải các bài toán khác như :

phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức,.. . .

Với mong muốn mang lại một sự thú vị cũng như một công cụ

và phương thức lựa chọn cho các đối tượng có sự quan tâm đến

ứng dụng của lí thuyết sai phân, được sự gợi ý của người hướng

dẫn khoa học, thầy giáo – TS. Lê Hải Trung, tôi đã chọn đề tài “

Ứng dụng lí thuyết sai phân để giải toán trung học phổ

thông ” cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là nghiên cứu các tính chất

của sai phân, xây dựng phương pháp giải các bài toán dựa trên

tính chất đặc trưng của chúng, đồng thời ứng dụng phần mềm

Maple trong giải toán sai phân.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

2

3.1. Đối tượng nghiên cứu

Các tính chất của sai phân, phân loại phương trình sai phân

và ứng dụng của sai phân để giải quyết một lớp các bài toán trong

chương trình THPT và các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia,

quốc tế, .. . . Ứng dụng phần mềm Maple để giải quyết các bài

toán đã nêu.

3.2. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu sai phân của các hàm số một biến thực. Trong nội

dung của luận văn các giá trị của biến ta lấy trong tập số thực R

hoặc tập số tự nhiên N.

4. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn, các kiến thức sử dụng nằm trong các lĩnh vực

sau đây: Giải tích, Đại số, Lí thuyết sai phân,. . . .

5. Bố cục đề tài

Luận văn có cấu trúc như sau:

Mở đầu

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Ứng dụng tính chất của sai phân để giải

một số bài toán

Chương 3: Ứng dụng của phần mềm Maple trong giải

toán sai phân

Kết luận

Tài liệu tham khảo

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, tác giả trình bày một số kiến thức về khái

niệm sai phân, một số tính chất của sai phân, các loại phương

trình sai phân, tuyến tính hóa phương trình sai phân.

1.1. KHÁI NIỆM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA SAI

PHÂN

1.1.1. Khái niệm sai phân

Giả sử f : R → R là một hàm số cho trước và h = const.

Ta gọi sai phân cấp 1 của hàm f tại x là đại lượng

∆f(x) = f(x + h) − f(x).

Sai phân cấp n của f(x) là đại lượng

∆n

f(x) = ∆

∆n−1

f(x)

,(n ≥ 1)

ở đây kí hiệu ∆0f(x) = f(x).

1.1.2. Một số tính chất của sai phân

Tính chất 1.1.1. ∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là ∀α, β ∈ R;

∀f, g thì

∆(αf + βg) = α∆f + β∆g.

Tính chất 1.1.2. Nếu c = const thì ∆c = 0.

4

Tính chất 1.1.3. ∆n

(x

n

) = n!h

n

; ∆m (x

n

) = 0 (m > n).

Tính chất 1.1.4. Nếu P(x) là đa thức bậc n thì ta có:

∆P = P(x + h) − P(x) = Xn

i=1

h

i

i!

· p

(i)

(x).

Tính chất 1.1.5.

f(x + nh) = Xn

i=0

C

i

n∆i

f(x).

Tính chất 1.1.6.

∆n

f(x) = Xn

i=0

(−1)iC

i

n

f(x + (n − i)h).

Tính chất 1.1.7. Giả sử f ∈ C

n

[a; b] và (x, x+nh) ⊂ θ(0; 1),

khi đó:

∆nf(x)

h

n

= f

(n)

(x + θnh); θ ∈ (0; 1).

Nhận xét 1.1.1. Nếu f ∈ C

n

[a; b] thì khi h đủ nhỏ ta có thể

xem

f

(n)

(x) ≈

∆nf(x)

h

n

.

Tính chất 1.1.8. Nếu f(x) xác định trên tập số nguyên và

h = 1; kí hiệu xk = f(k); k = 0; 1; 2; ... thì

Xn

i=1

∆xi = xn+1 − x1.

5

1.2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ PHÂN LOẠI

1.2.1. Phương trình sai phân tuyến tính

Định nghĩa 1.2.1. (Phương trình sai phân cấp k)

Định nghĩa 1.2.2. (Phương trình sai phân tuyến tính cấp k)

Nhận xét 1.2.1. Nếu x

1

n và x

2

n

là các nghiệm của phương

trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k thì αx1

n + βx2

n

, cũng

là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp

k, với α, β là các hằng số tùy ý.

1.2.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1

Định nghĩa 1.2.3. (Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1)

Định nghĩa 1.2.4. (Phương trình sai phân tuyến tính thuần

nhất cấp 1)

Ví dụ 1.2.1.

1.2.3. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần

nhất cấp 1 với vế phải đặc thù

Xét phương trình axn+1 + bxn = fn.

A. Trường hợp fn = Pm(n) là đa thức bậc m của n.

Ví dụ 1.2.2.

B. Trường hợp fn = α

n

.Pm(n), trong đó Pm(n) là đa thức

bậc m của n.

Ví dụ 1.2.3.

6

C. Trường hợp fn = fn1 + fn2 + ... + fnk

.

Ví dụ 1.2.4.

1.2.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Định nghĩa 1.2.5. (Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2)

Định nghĩa 1.2.6. (Phương trình sai phân tuyến tính thuần

nhất cấp 2)

Định nghĩa 1.2.7. (Phương trình đặc trưng của phương trình

sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2)

Ví dụ 1.2.5.

1.2.5. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần

nhất cấp 2 với vế phải đặc thù

Xét phương trình axn+2 + bxn+1 + cxn = fn.

A. Trường hợp fn = Pm(n) là đa thức bậc m của n.

Ví dụ 1.2.6.

B. Trường hợp fn = α

n

.Pm(n),(α 6= 0), trong đó Pm(n) là đa

thức bậc m của n.

Ví dụ 1.2.7.

1.2.6. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3

Định nghĩa 1.2.8. (Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3)

7

Định nghĩa 1.2.9. (Phương trình sai phân tuyến tính thuần

nhất cấp 3)

Định nghĩa 1.2.10. (Phương trình đặc trưng của phương trình

sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 3)

Ví dụ 1.2.8.

Nhận xét 1.2.2. Phương trình sai phân tuyến tính không

thuần nhất cấp 3 được mở rộng trực tiếp từ phương trình sai

phân tuyến tính cấp 2.

1.3. TUYẾN TÍNH HÓA

Ví dụ 1.3.1.

8

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SAI

PHÂN ĐỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG

Trong chương này, tác giả trình bày một số ứng dụng tính chất

của sai phân để giải toán trung học phổ thông như bài toán tìm

số hạng tổng quát, bài toán tính tổng, bài toán tính giới hạn của

dãy số và một số dạng bài toán khác.

2.1. BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA

DÃY

2.1.1. Tìm số hạng tổng quát khi biết các số hạng đầu

tiên

Ví dụ 2.1.1.

Ví dụ 2.1.2.

2.1.2. Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính

Ví dụ 2.1.3.

Ví dụ 2.1.4.

Ví dụ 2.1.5.

Ví dụ 2.1.6.

9

2.1.3. Công thức truy hồi là một hệ thức tuyến tính

Ví dụ 2.1.7.

2.1.4. Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính với

hệ số biến thiên

Trong phạm vi luận văn này chỉ xét một số dạng đặc biệt, đơn

giản của các phương trình sai phân tuyến tính với các hệ số biến

thiên chủ yếu bằng phương pháp đặt dãy số phụ, đưa về phương

trình sai phân tuyến tính.

Ví dụ 2.1.8.

2.1.5. Công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với

hệ số hằng

Bổ đề 2.1.1. Nếu yn và zn là nghiệm của phương trình sai

phân







yn+1 = pyn + qzn; y0 = a

zn+1 = ryn + szn; z0 = 1.

thì xn =

yn

zn

là nghiệm của phương trình x0 = a; xn+1 =

pxn + q

rxn + s

.

Chứng minh. Thật vậy, ta có x0 =

y0

z0

= a. Ngoài ra

xn+1 =

yn+1

zn+1

=

pyn + qzn

ryn + szn

=

p

yn

zn

+ q

r

yn

zn

+ s

=

pxn + q

rxn + s

.

Ví dụ 2.1.9.

Ví dụ 2.1.10.