Ứng dụng của hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

THÁI THỊ BẢO AN

Đề tài:

ỨNG DỤNG CỦA HÀM MA TRẬN

VÀO VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUYẾN TÍNH

VỚI HỆ SỐ HẰNG

Chuyên ngành: Sư Phạm Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Người hướng dẫn:

Thầy Phan Anh Tuấn

Đà Nẵng , 5/2013

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

SVTH: Thái Thị Bảo An Trang 1

MỤC LỤC

I. Lời mở đầu ......................................................................................................... 2

II. Đa thức đặc trưng - đa thức cực tiểu của một ma trận ...................................... 3

1.1 Phép cộng và phép nhân đa thức ma trận ................................................. 3

1.2 Phép chia phải và phép chia trái của đa thức ma trận ............................... 5

1.3 Định lí Bezout tổng quát............................................................................ 8

1.4 Đa thức đặc trưng. Ma trận liên hợp.......................................................... 9

1.5 Đa thức cực tiểu của một ma trận ........................................................... 16

III. Hàm ma trận .................................................................................................. 23

2.1 Định nghĩa hàm ma trận ......................................................................... 23

2.2 Đa thức nội suy Lagrange-Sylvester ....................................................... 29

2.3 Các thành phần của ma trận A................................................................. 32

2.4 Biểu diễn hàm ma trận bởi chuỗi............................................................. 39

2.5 Ứng dụng hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với

hệ số hằng............................................................................................................. 44

III. Kết luận .......................................................................................................... 58

IV. Tài liệu tham khảo ......................................................................................... 59

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

SVTH: Thái Thị Bảo An Trang 2

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích ma trận ngày nay được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực như toán

học, cơ khí, lý thuyết vật lý…. Hiện nay có ít tài liệu trình bày các bài tập về lý

thuyết ma trận và các ứng dụng của chúng. Với lí do này tôi chọn luận văn “Ứng

dụng của hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số

hằng”

Phương pháp giải trong luận văn ngoài các kiến thức cơ bản của phương

trình vi phân cần các kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính về ma trận, hệ phương

trình tuyến tính cùng những kiến thức về giải tích như khai triển MacLaurin. Trong

trường hợp đa thức cực tiểu có nghiệm bội sử dụng kiến thức về giải tích ma trận để

giải.

Luận văn gồm 2 chương

Trong chương 1, giới thiệu đa thức đặc trưng, đa thức cực tiểu và ma trận

liên hợp của một ma trận vuông.

Trong chương 2, đề cập đến hàm ma trận, các tính chất liên quan. Ứng dụng

hàm ma trận để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng.

Em chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn Thầy Phan Anh Tuấn đã giới thiệu

đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Đồng

thời,em cũng gởi lời cám ơn đến Thầy Cô, bạn bè khoa Toán trường Đại học sư

phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn.

Đà Nẵng ngày 27/05/2013

Sinh viên

Thái Thị Bảo An

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

SVTH: Thái Thị Bảo An Trang 3

CHƯƠNG 1

ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG VÀ ĐA THỨC CỰC TIỂU CỦA MỘT MA TRẬN

Hai đa thức liên quan đến ma trận vuông là đa thức đặc trưng và đa thức cực

tiểu. Những đa thức này đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán khác nhau của

lý thuyết ma trận. Ví dụ khái niệm hàm ma trận sẽ được giới thiệu trong chương

sau, dựa hoàn toàn vào khái niệm đa thức cực tiểu.Trong chương này những tính

chất về đa thức đặc trưng và đa thức cực tiểu của một ma trận sẽ được nghiên cứu.

Điều kiện tiên quyết cho việc nghiên cứu là phải nắm các kiến thức cơ bản về đa

thức mà các hệ số của chúng là ma trận và các phép toán trên chúng.

1.1 Phép cộng và phép nhân đa thức ma trận.

Xét một ma trận đa thức vuông tức là một ma trận vuông

A( ) 

có các phần

tử là các đa thức theo



với các hệ số trong một trường F cho trước.

(1)

Ma trận A(



) có thể được biểu diễn dưới dạng một đa thức với hệ số là ma trận và

được sắp xếp tương ứng với lũy thừa của

 .

1

0 1 ( ) ... m m A A A A    m



    (2)

với

( )

1

( 0,1,..., )

n

j A a j m i ik      

(3)

Số m được gọi là bậc của đa thức với điều kiện

0 A  0

Kí hiệu

m A  deg( ( )) 

Số n được gọi là cấp của đa thức.

Đa thức (1) được gọi là chính quy nếu

0

| | 0 A 

Một đa thức với các hệ số là các ma trận thỉnh thoảng được gọi là các đa thức

ma trận.

Trái với đa thức ma trận là đa thức thông thường với các hệ số vô hướng

được gọi là một đa thức vô hướng.

Bây giờ ta sẽ định nghĩa các phép toán cơ bản của đa thức ma trận.

 

(0) (1) 1

1 1

( ) ( ) ... n n

m m m A a a a a     ik ik ik ik



        

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

SVTH: Thái Thị Bảo An Trang 4

Cho 2 đa thức ma trận A(



) và B(



) có cùng cấp. Ta biểu thị bậc cao nhất

của đa thức ma trận là m. Những đa thức này có thể được viết dưới dạng:

1

0 1 ( ) ... m m A A A A    m



    1

0 1 ( ) ... m m B B B B    m



   

Khi đó

1

0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) m m A B A B A B A B     m m



       

Nghĩa là tổng của 2 đa thức ma trận cùng cấp có thể biểu diễn dưới một dạng

của đa thức ma trận. Đa thức ma trận này có bậc bé hơn hoặc bằng bậc cao nhất của

đa thức đã cho.

Cho 2 đa thức ma trận A(



) và B(



) có cùng cấp và có bậc tương ứng là m

và p.

1

0 1 ( ) ... ( 0) m m A A A A A    m o



     1

0 1 0 ( ) ... ( 0) p p B B B B B    p



    

Khi đó

1

0 0 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ... m p m p A B A B A B A B A B     m p

        (4)

Nếu nhân B(



) với A(



) ta sẽ nhận được một đa thức ma trận khác.

Phép nhân đa thức ma trận có tính chất đặc riêng biệt. Ngược với tích của 2

đa thức vô hướng, tích của 2 đa thức ma trận (4) có thể có bậc nhỏ hơn m+p (nghĩa

là nhỏ hơn tổng bậc của các thừa số). Vì trong (4) tích

AB0 0

có thể bằng ma trận O

mặc dù

0 0 A B   0; 0.

Tuy nhiên, nếu ít nhất 1 trong 2 ma trận

A0

và

B0

không suy biến, thì từ

0 0 A B   0; 0

ta có

0 0 A B  0.

Thật vậy, chẳng hạn nếu

A0

không suy biến tức là

0 A  0.

Giả sử

0 0 A B  0

với

B b b b 0 1 2

  ; ;...;

n  ( ; 1; i

b i n 

là cột thứ i của

B0

)

.

Từ

0 0 A B  0

tương đương với

0

0 ( 1, ) A b i n i

 

Do

0 A  0

nên phương trình

0

0 A bi



có nghiệm duy nhất

0, 1, i

b i n   

Suy ra

0 B  0

(vô lý).