Ứng dụng của đạo hàm trong giải toán trung học phổ thông.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ TUYẾT NGA

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG

GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mãsố: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 18 tháng 12

năm 2015.

Có thể tìm Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Từ bài toán xác định vận tốc tức thời của một chất điểm đã

dẫn đến khái niệm đạo hàm. Trong giải tích, người ta đã khảo sát rất

kỹ các tính chất của đạo hàm và các ứng dụng của nó. Với vai trò là

một giáo viên toán bậc trung học, chúng tôi muốn khảo sát các ứng

dụng của đạo hàm vào việc giải toán phổ thông trung học nhằm phục

vụ cho việc giảng dạy của mình sau này. Một số bài toán rất khó ở

bậc phổ thông trung học có thể được giải một cách ngắn gọn và gây

sự lý thú cho người học nhờ vào việc ứng dụng đạo hàm. Đó là

những lý do làm tôi chọn đề tài “Ứng dụng của đạo hàm trong giải

toán trung học phổ thông” để làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán,

chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp của mình.

2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong

phạm vi về các ứng dụng của đạo hàm trong việc giải toán ở bậc

trung học. Chẳng hạn bằng cách sử dụng đạo hàm ta có thể tính giới

hạn phức tạp một cách dễ dàng, hoặc giải những hệ phương trình

không mẫu mực khó...

3. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là ứng dụng

của đạo hàm để giải một số lớp bài toán ở bậc trung học. Chúng tôi

muốn trình bày những dạng toán mà các học sinh ở phổ thông khó

tiếp thu theo cách sử dụng đạo hàm đơn giản và dễ hiểu hơn nhiều so

với cách thông thường, nhằm giúp các em học toán tốt hơn và yêu

toán hơn. Chúng tôi giới hạn phạm vi nghiên cứu của mình trong việc

ứng dụng của đạo hàm trong giải toán trung học, các vấn đề khác

không liên quan đến toán học phổ thông chúng tôi không đề cập.

2

4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Chúng tôi dựa vào các tài liệu chuyên khảo về giải tích, các

tài liệu giảng dạy và sách tham khảo ở bậc trung học để tổng hợp các

phương pháp giải toán bằng cách sử dụng đạo hàm. Ngoài ra chúng

tôi cũng mạnh dạng đưa thêm vào những dạng toán ở bậc trung học

mà có thể sử dụng đạo hàm để giải chúng.

5. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Chúng tôi hy vọng bản luận văn là một tài liệu tham khảo

cho người dạy toán ở bậc trung học phổ thông. Luận văn trình bày

các phương pháp sử dụng đạo hàm vào việc giải một số dạng toán ở

bậc trung học.

6. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA ĐỀ

TÀI

6.1. Ý nghĩa khoa học

Luận văn góp một phần nhỏ trong việc nghiên cứu các áp dụng

của đạo hàm trong việc giải toán trung học, nhằm tăng cường chất

lượng dạy và học trong trường phổ thông hiện nay.

6.2. Ý nghĩa thực tiễn

Luận văn làm sáng tỏ thêm việc ứng dụng của đạo hàm trong

giải toán phổ thông nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

trong nhà trường phổ thông.

7. CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Nội dung luận văn gồm 3 chương với những nội dung tóm tắt

như sau:

Chương 1: Đạo hàm của hàm số một biến số thực

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về đạo hàm, các

quy tắc tính đạo hàm cũng như tính chất của nó.

3

Chương 2: Ứng dụng của đạo hàm trong giải tích

Trình bày về ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số,

trong việc tính xấp xỉ giá trị của hàm số và ứng dụng trong việc giải

phương trình hàm...

Chương 3: Ứng dụng của đạo hàm trong giải toán bậc trung học

Trình bày các ứng dụng của đạo hàm trong việc tính giới hạn,

chứng minh bất đẳng thức, giải hệ phương trình không mẫu mực, tính

tổng...

4

CHƢƠNG 1

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC

1.1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠO HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ

1.1.1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

*/ Bài toán vận tốc

Xét một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình

chuyển động x = f(t), trong đó t là thời gian chất điểm chuyển động.

Đoạn đường chất điểm đi được thời gian t1 đến thời gian t2 là:

2 1    x f t f t ( ) ( )

Vận tốc trung bình của chất điểm từ thời gian t1 đến thời gian t2 là:

2 1

2 1

f t f t ( ) ( )

v

t t







Vận tốc tức thời tại thời điểm

t t t 0 1 2  ;  được định nghĩa bởi:

0

0

0

0

( ) ( ) ( ) lim

t t

f t f t

v t

 t t







Tổng quát xét hàm số y=g(x) có tập xác định D, với

0

x x D , 

ta

gọi:

-/

0    x x x

là số gia của biến số x tại x0.

-/

0 0      y g x x x ( ) g( )

là số gia của hàm số tại x0. Nếu

0

lim

x

y

  x





tồn tại, thì ta nói giới hạn đó là đạo hàm của hàm g tại x0 và

ký hiệu là g’(x0).

Vậy:

0

0

'( ) lim

x

y

g x

 x







*/ Bài toán hệ số góc của tiếp tuyến