Ứng dụng công thức viète trong giải toán bậc phổ thông.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRỊNH THỊ NGỌC HIỀN

ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG

GIẢI TOÁN BẬC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS. Lê Hải Trung

Phản biện 2: PGS. TS. Trần Đạo Dõng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ Toán học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12

năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

 Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

 Thư viện trường Đại học .........., Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Đa thức là một trong các khái niệm cơ bản của đại số nói riêng

và của toán học nói chung. Bài toán tìm nghiệm của đa thức, của

phương trình đại số bằng căn thức đã được các nhà toán học quan

tâm nghiên cứu trong nhiều thế kỷ. Mặc dù lời giải của bài toán này

cho đến nay chỉ mới tìm được đối với các đa thức bậc nhỏ hơn 5,

nhưng nhiều tính chất về nghiệm của đa thức đã được phát hiện. Một

trong những tính chất đó là mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ tử

của đa thức, nó được thể hiện bằng một công thức nổi tiếng – Công

thức Viète.

Ứng dụng của công thức Viète khá phong phú và hiệu quả.

Trong chương trình toán bậc phổ thông, học sinh đã được học công

thức Viète đối với tam thức bậc hai. Với các trường chuyên và lớp

chọn, học sinh còn được học công thức Viète đối với đa thức bậc ba,

tuy nhiên với một thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức độ nhất

định. Với mục đích tìm hiểu và hệ thống hóa những ứng dụng của

công thức Viète trong chương trình toán học phổ thông, tôi chọn đề

tài cho luận văn thạc sĩ của mình là: “ Ứng dụng công thức Viète

trong giải toán bậc phổ thông”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu, nghiên cứu các ứng dụng của công thức Viète

trong giải toán.

- Hệ thống và phân loại các bài toán có thể giải được bằng

công thức Viète.

- Định hướng việc ứng dụng công thức Viète cho từng lớp

bài toán.

2

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Đa thức một ẩn, đa thức nhiều ẩn, đa thức đối xứng, phương

trình, hệ phương trình đối xứng.

- Công thức Viète và các ứng dụng trong chương trình toán

bậc phổ thông.

- Các dạng toán phổ thông được giải bằng công thức Viète.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu có nội dung liên

quan đến đề tài luận văn, đặc biệt là các tài liệu liên quan đến công

thức Viète.

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận

văn.

- Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng

dẫn, của chuyên gia và của các đồng nghiệp.

5. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận nội dung của luận văn được

chia thành hai chương:

Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về đại số, giải tích

và lượng giác đủ để làm cơ sở cho chương sau.

Chương 2. Những Ứng dụng của Công thức Viète

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày các ứng

dụng của công thức Viète trong giải toán bậc phổ thông.

3

CHƢƠNG

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. ĐA THỨC MỘT ẨN

1.1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn

Giả sử A là một vành giao hoán, có đơn vị kí hiệu là 1. Ta

gọi P là tập hợp các dãy

0 1 ( , , ..., , ...) a a an

trong đó

,

i a A 

với

mọi

i

và

0 i a 

tất cả trừ một số hữu hạn. Trên P ta định

nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:

0 1 0 1 0 0 1 1 ( , ,..., , ...) ( , ,..., , ...) ( , ,..., , ...) n n n n a a a b b b a b a b a b     

(1.1)

0 1 0 1 0 1 ( , ,..., , ...) ( , ,..., , ...) ( , , ..., , ...) a a a b b b c c c n n n

 

(1.2)

với

0 1 0 ... , 0, 1, 2,... k k k k i j

i j k

c a b a b a b a b k

 

      

Vì các

i a

và

i b

bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn nên các

i i a b  và các cũng bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn, nên (1.1)

và (1.2) xác định hai phép toán trong P.

Tập P cùng với hai phép toán cộng và nhân ở trên là một vành

giao hoán có đơn vị. Phần tử không của phép cộng là dãy

(0, 0, ...) ,

phần tử đơn vị của phép nhân này là

(1, 0, 0, ...) . Xét dãy

x P   (0, 1, 0, ..., 0, ...) . Theo quy tắc của phép nhân trong P, ta có:

2

x  (0, 0, 1, 0, ..., 0, ...) ,

3

x  (0, 0, 0, 1, 0,..., 0,...), ..., (0, ..., 0, 1, 0,..., 0,...) n

n

x 

Ta quy ước

0

x  (1, 0, 0,...).

Mặt khác, xét ánh xạ:

A P 

a a( , 0, 0,...).

Dễ dàng kiểm chứng được ánh xạ này là một đơn cấu vành, do

4

đó ta đồng nhất phần tử

a A 

với dãy

( , 0, 0, ...) a P  và xem A là

một vành con của vành P. Vì mỗi phần tử của P là một dãy

0 1 ( , , ..., ,...) a a an

trong đó

ai

 0

trừ tất cả một số hữu hạn, nên

mỗi phần tử của P có dạng

0 1 ( , , ..., , 0, 0,...) a a an

trong đó

0 1 , , ..., a a a A n  (không nhất thiết khác 0). Việc đồng nhất a với

( , 0, 0,...) a

và việc đưa vào dãy x cho phép ta viết

0 1 0 1 ( , ,..., ,0,0,...) ( ,0,0,...) (0, ,0,0,...) ... (0,...,0, ,0,...) n n a a a a a a    

0 2

0 1 2 ...

n

     a x a x a x a xn

.

Định nghĩa 1.1. Vành P được định nghĩa như trên được gọi

là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A, gọi tắt là vành đa thức ẩn

x trên A, kí hiệu

Ax[ ]

. Các phần tử của

Ax[ ]

gọi là các đa thức thức

của ẩn x lấy hệ tử trong A và thường kí hiệu là

f x g x ( ), ( ), ...

Trong một đa thức

0 2

0 1 2 ( ) ... n

n

f x a x a x a x a x     

, các

, 0, a i n i

 gọi là các hệ tử của đa thức, các

i

i ax

gọi là các hạng tử

của đa thức và đặc biệt

0

0 0 a a x  được gọi là hạng tử tự do của đa

thức.

1.1.2. Bậc của đa thức một ẩn

Định nghĩa 1.2. Cho đa thức

0 2

0 1 2 ( ) ... n

n

f x a x a x a x a x     

khác 0 với

0 n a 

. Ta gọi bậc của

f x( )

là n, kí hiệu

deg ( ) f x n  .

Hệ tử

n a

được gọi là hệ tử cao nhất của

f x( ) .

Quy ƣớc: Đa thức 0 không có bậc.

1.1.3. Phép chia có dƣ, đồng dƣ thức

1.1.4. Nghiệm của đa thức một ẩn

1.2. ĐA THỨC NHIỀU ẨN

1.2.1. Xây dựng vành đa thức n ẩn

5

Định nghĩa 1.5. Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị.

[ ] Axi

là vành đa thức ẩn

i

x

trên A

, 1, i n 

. Ta đặt

1 1 2 1 2 1 [ ], [ ], ..., [ ] A A x A A x A A x   

n n n 

Vành

1

[ ] A A x n n

 

được kí hiệu

1 2 [ , , ..., ] A x x xn

và gọi là vành

đa thức của n ẩn

1 2 , , ..., n

x x x lấy hệ tử trong A. Mỗi phần tử của

An

gọi là một đa thức của n ẩn

1 2 , ,... n

x x x

lấy hệ tử trong A và thường

được kí hiệu là

1 2 ( , ,... ), n

f x x x 1 2 ( , ,... ),... g x x xn

Từ định nghĩa trên ta có

Ai1

sẽ là các vành con của vành

0 1 2 , 1, : ... A i n A A A A A i n       .

Từ đó với mọi

1 2 1 2 ( , ,..., ) [ , ,..., ] n n f x x x A x x x  ta đều có thể

viết dưới dạng

11 12 21 22 1 2 1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( , ,..., ) ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a

n n n m n f x x x c x x x c x x x c x x x     ,

với

;

i

c A  1 2 , ,..., , 1, a a a i m i i in



là các số tự nhiên và

1 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) i i in j j jn a a a a a a 

khi

i j 

. Các

i

c

gọi là các hệ tử,

1 2

1 2 ...

i i in a a a

i n c x x x

gọi là các hạng tử của đa thức

1 2 ( , ,..., )n

f x x x . Đa

thức

1 2 ( , ,..., ) 0 n

f x x x 

khi và chỉ khi tất cả các hệ tử của nó bằng 0.

1.2.2. Bậc của đa thức nhiều ẩn

Định nghĩa 1.6. Giả sử

1 2 1 2 ( , ,..., ) [ , ,..., ] n n f x x x A x x x  là

đa thức khác 0:

11 12 21 22 1 2 1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( , ,..., ) ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a

n n n m n f x x x c x x x c x x x c x x x    

với

;

i

c A  1 2 , ,..., , 1, a a a i m i i in



là các số tự nhiên và

1 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) i i in j j jn a a a a a a 

khi

i j 

. Ta gọi bậc của đa

thức

1 2 ( , ,..., )n

f x x x

đối với ẩn

i

x

là số mũ cao nhất mà

i

x

có được

trong các hạng tử của đa thức.

6

Ta gọi bậc của hạng tử

1 2

1 2 .. .

i i in a a a

i n c x x x là tổng các số mũ của

các ẩn. Hạng tử có số mũ lớn nhất được gọi là hạng tử cao nhất của

1 2 ( , ,..., )n

f x x x .

Bậc của đa thức (đối với toàn thể các ẩn) là số lớn nhất trong

các bậc của hạng tử.

Một đa thức mà các hạng tử của nó đều có cùng bậc k được gọi

là đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k. Đặc biệt một dạng bậc nhất

gọi là dạng tuyến tính, một dạng bậc hai gọi là dạng toàn phương,

một dạng bậc ba gọi là dạng lập phương.

1.2.3. Đa thức đối xứng

Định nghĩa 1.7. Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị,

1 2 ( , ,..., )n

f x x x

là một đa thức của vành

1 2 [ , ,..., ] A x x xn

. Ta nói

1 2 ( , ,..., )n

f x x x

là một đa thức đối xứng của n ẩn nếu

1 2 (1) (2) ( ) ( , ,..., ) ( , ,..., )

n n

f x x x f x x x 

  

, với mọi phép thế

1 2 ...

,

(1) (2) ... ( )

n

n



  

 

    

trong đó

(1) (2) ( ) ( , ,..., )

n

f x x x   

có

được từ

1 2 ( , ,..., )n

f x x x

bằng cách trong

1 2 ( , ,..., )n

f x x x

thay

i

x

bởi

( ) , 1, i

x i n 

 .

Ta có thể nói một đa thức đối xứng, nếu nó không thay đổi khi

thay đổi khi thay đổi vai trò của biến cho nhau trong dạng khai triển

của nó.

Định nghĩa 1.8. Những đa thức dạng:

1 2

1 2 ...

... , 1,

k

k

k i i i

i i i

 x x x k n

  

  

là các đa thức đối xứng và là các đa thức đối xứng cơ bản đối với n

ẩn

1 2 , ,..., n

x x x .

Giả sử

1 2 ( , ,..., ) g x x xn

là một đa thức của

1 2 [ , ,..., ] A x x xn

,

7

phần tử của

1 2 [ , ,..., ] A x x xn

có được bằng cách trong

1 2 ( , ,..., ) g x x xn

thay

i

x

bởi

, 1, i  i n 

gọi là đa thức của các đa

thức đối xứng cơ bản, kí hiệu

1 2 ( , ,..., ) g    n

.

Vì

1 2 , ,...,    n

là các đa thức đối xứng nên

1 2 ( , ,..., ) g    n

cũng là một đa thức đối xứng

1.2.4. Công thức Viète

Cho đa thức bậc n:

1

0 1 1 ( ) ... n n

n n f x a x a x a x a 

     

lấy hệ tử trong một trường nào đó. Khi đó

1 2 , ,..., n

x x x là n nghiệm

của khi và chỉ khi chúng thỏa mãn các hệ thức sau:

1 2

1 2

1

1 1 2

1

2

2 1 2 1 3 1

1

...

1 2

...

...

...

... ( 1)

...

... ( 1)

k

k

n

n i

i o

n n i j

i j n o

k k

k i i i

i i i o

n n

n n

o

a

x x x x

a

a

x x x x x x x x

a

a

x x x

a

a

x x x

a













  

  



       





      







    







    







(1.3)

Công thức này gọi là công thức Viète và các vế trái là các đa

thức đối xứng cơ bản đối với các biến

1 2 , ,..., n

x x x .

1.3. ĐA THỨC VỚI CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH

1.4. DÃY TRUY HỒI VÀ ĐA THỨC ĐẶC TRƢNG

1.5. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC VÀ CÁC BẤT

ĐẲNG THỨC QUEN BIẾT

8

CHƢƠNG 2

NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC VIÈTE

2.1. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG ĐẠI SỐ

2.1.1. Những vấn đề liên quan đến phƣơng trình đa thức

a. Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Phương pháp: Giá trị của những biểu thức đối xứng giữa các

nghiệm của phương trình thường được tính như sau:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình. Tính

giá trị của các đa thức đối xứng cơ bản đối với các

nghiệm của phương trình.

Bước 2: Biểu diễn các biểu thức đối xứng qua các đa thức đối

xứng cơ bản.

Bước 3: Dựa vào các đa thức đối xứng cơ bản để tính giá trị của

các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm.

Bài toán 2.1.1. Cho phương trình

( 1)( 2)( 3)( 4) x x x x m     

, với m là tham số thực. Xác

định m để 4 nghiệm (phức)

1 2 3 4 x x x x , , , của phương trình đều

khác 0. Từ đó tính tổng S

1 2 3 4

1 1 1 1

x x x x

    theo tham số m.

Lời giải.

Bước 1: Khai triển phương trình đã cho ta được

4 3 2 x bx cx x m       50 24 0 .

Bước 2: Áp dụng công thức Viète ta có:

3

4 1 2 3 4

50

24

i j k x x x

x x x x m





  



   

 .

Để cả 4 nghiệm của phương trình đều khác 0 thì điều kiện là

 4  0

, nghĩa là

m  24 .

9

Bước 3: Ta có: S

3

1 2 3 4 1 2 3 4 4

1 1 1 1 50

.

24

i j k x x x

x x x x x x x x m





      





Vậy S

50 , 24.

24

m

m

  



b. Tìm giá trị tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện

cho trước

Phương pháp: Các bài toán dạng này thường được giải theo

phương pháp điều kiện cần và đủ như sau:

Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử phương trình đa thức bậc n có đủ

nghiệm, dựa vào công thức Viète để tính giá trị của các

đa thức đối xứng cơ bản đối với các nghiệm của phương

trình.

Bước 2: Biểu diễn điều kiện cho trước (thường là biểu thức đối

xứng giữa các nghiệm) qua các đa thức đối xứng cơ bản,

từ đó suy ra điều kiện của tham số.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ.

Bài toán 2.1.5. Hãy tìm những giá trị của tham số a sao cho

phương trình

4 3 2

x x x ax      3 6 4 0

có 4 nghiệm (phức)

1 2 3 4 xxxx ,,, , trong đó có một nghiệm, chẳng hạn

1

x , thỏa mãn:

1

234

111

x

x x x

   .

Lời giải.

Bước 1: Gọi 4 nghiệm của phương trình đã cho là

1 2 3 4 xxxx ,,, .

Theo công thức Viète ta có:

1 2 3 4           3, 6, , 4 a .

Bước 2:

1 3 4 2 4 2 3 1 2 3 4 4

234

111

x x x x x x x x x x x 4

x x x

          .

10

Hay

2

4 6 ( ) 6 ( 3 ) 3 6 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1             x x x x x x x x x x x x

4     x x 1 1 15 14.

Thay x bởi

1

x

vào phương trình đã cho ta được:

4 3 2

x x x ax 1 1 1 1      3 6 4 0

1

4

, 12.

12

x a

a

  



Nghĩa là a phải thỏa mãn phương trình:

2

16 4 3. 2 0

( 12) 12 a a

  

 

.

Suy ra

a  8

hoặc

a  10.

Bước 3: Thay

a a   8, 10 vào phương trình đã cho, ta kiểm

tra được phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho.

Vậy có hai giá trị của tham số a là

a  8 và

a  10.

c. Giải phương trình đa thức khi biết tính chất của các

nghiệm

Phương pháp:

Bước 1: Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình.

Bước 2: Dựa vào tính chất của nghiệm cùng với công thức Viète

để tìm nghiệm của phương trình.

Bài toán 2.1.9. Giải phương trình

3 2 12 4 17 6 0 x x x     ,

biết rằng phương trình có hai nghiệm (phức) có tích bằng – 1.

Lời giải.

Bước 1: Phương trình luôn có nghiệm (phức).

Bước 2: Gọi

1 2 3 x x x , , là 3 nghiệm (phức) của phương trình, khi

đó theo công thức Viète ta có:

1 2 3 1 2 3

1 1

;

3 2

x x x x x x       .

Theo giả thiết phương trình có 2 nghiệm mà tích của chúng

bằng – 1, không mất tính tổng quát ta gọi hai nghiệm đó là

1 2 x x , .