TS 10 Chuyên Vĩnh phúc 07-08 (cho chuyên Toán và Tin)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007-2008

Môn thi: TOÁN

Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1: Cho phương trình: x2

– mx + m – 1 = 0 (m là tham số)

1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m

và tính giá trị của biểu thức 1 2

2 2

1 2 1 2

2 3

2(1 )

x x P

x x x x

+

=

+ + +

theo tham số m.

2) Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Câu 2: Cho hệ phương trình: 2 2

ax +y=b

x y 4 1





 − =

(a, b là tham số)

1) Giải hệ phương trình khi a = -1, b = 2.

2) Tìm a để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) với mọi b.

Câu 3:

1) Giải phương trình: x x x x x x ( 1) ( 2) ( 3) + + + = −

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn:

x

2

– (2007 + y)x + 3 + y = 0

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC

tiếp xúc với AB, BC tương ứng tại P, Q. Gọi F là trung điểm AC; đường thẳng FI cắt cạnh AB

tại E; đường thẳng PQ cắt đường cao AH của tam giác ABC tại M; đường thẳng AI cắt đường

trung trực cạnh AC tại N.

1) Chứng minh tứ giác QICN nội tiếp.

2) Chứng minh ba điểm P, Q, N thẳng hàng.

3) Chứng minh AE = AM.

Câu 5:

1) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng

3 3 3 a b c ab bc ca

b c a

+ + ≥ + + .

2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Gọi M là điểm di động trên cung BC không

chứa điểm A. Xác định vị trí của điểm M sao cho 2006.MB + 2007.MC đạt giá trị lớn

nhất.

----------------------------------------------------- Hết -----------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC