Tổng liên quan đến các dãy số có quy luật

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO THỊ SEN

TỔNG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC

DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO THỊ SEN

TỔNG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC

DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN VĂN NGỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

I

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1. Tổng của các biểu thức nguyên 3

1.1 Nguyên lý quy nạp Toán học chứng minh đẳng thức và bất đẳng

thức liên quan đến tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Phương pháp tách các số hạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Cơ sở lý luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Phương pháp hằng đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Phương pháp đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Tổng hữu hạn liên quan đến hàm lũy thừa của các số tự nhiên . 19

Chương 2. Tổng của các biểu thức phân 24

2.1 Tính tổng bằng phương pháp phân tách các hạng tử . . . . . . . 24

2.1.1 Cơ sở lý luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Tìm số các số hạng của một dãy số có quy luật . . . . . . . . . . 33

2.3 Một số bài toán khác liên quan đến tổng của các phân thức . . . 35

Chương 3. Tổng liên quan đến các cấp số 42

3.1 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II

3.2.3 Tính tổng các đa thức đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.4 Một số bài toán về cấp số và tổng hữu hạn . . . . . . . . . 52

Chương 4. Bất đẳng thức liên quan đến tổng 66

4.1 Các dạng toán có độ khó trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Các dạng toán có độ khó cao hơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Kết luận 78

Tài liệu tham khảo 79

1

Mở đầu

Các bài toán liên quan đến tổng đại bộ phận là những bài toán khó mà học

sinh phổ thông, nhất là phổ thông cơ sở tỏ ra rất lúng túng khi gặp các bài toán

dạng này. Các bài toán dạng này hầu như không được giới thiệu trong sách giáo

khoa ở bậc THCS, còn ở bậc THPT chỉ được giới thiệu một số tổng đơn giản

và được chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Mục đích của luận văn này là tìm tòi học tập các phương pháp đơn giản về

tính tổng của các số tự nhiên và của các phân số hữu tỷ, vô tỷ liên quan đến các

dãy số có quy luật, bao gồm cả cấp số cộng và cấp số nhân. Ưu tiên các phương

pháp chỉ sử dụng các kiến thức ở THCS, điều này làm nên sự khác biệt của luận

văn này với tài liệu [1].

Luận văn có bố cục: mở đầu, 4 chương, kết luận và tài liệu tham khảo.

Chương 1: Trình bày nguyên lí quy nạp và các bài toán về tổng các biểu thức

nguyên với các phương pháp cơ bản để giải quyết các bài toán.

Chương 2: Trình bày các dạng các bài toán về tổng các biểu thức phân.

Chương 3: Trình bày các tổng liên quan đến các cấp số.

Chương 4: Trình bày các bài toán khó về bất đẳng thức liên quan với các

tổng hữu hạn.

Nội dung chủ yếu của luận văn được tham khảo từ các tài liệu của tác giả,

và các tác phẩm: Phạm Quốc Khánh [1], Tuyển chọn theo chuyên đề [2], Tuyển

chọn theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ [3], Tổng tập Toán Tuổi Thơ [4],

A.F.Beardon [5], Kenderdine Maths Tutoring [6], V.A.Krechmar [7], Xiong Bin,

Lee Peeng Yee [8].

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất tới người thầy kính mến TS. Nguyễn

Văn Ngọc người đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trong suốt quá trình làm và

hoàn thành luận văn.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán - Tin, trường Đại

học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học,

những người đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ em trong quá trình học tập tại

2

trường.

Tôi xin cảm ơn bạn bè và các học viên trong lớp cao học Toán K10C1 - Thái

Nguyên đã luôn quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và

quá trình làm luận văn.

Sự quan tâm khích lệ động viên của gia đình cũng là nguồn động viên lớn để

tôi hoàn thành khóa luận này.

Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ

nên bản luận văn mới chỉ trình bày một phần nào đó. Do thời gian có hạn và

năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính

mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các anh chị, các bạn đồng

nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2017

Người viết luận văn

Đào Thị Sen

3

Chương 1

Tổng của các biểu thức nguyên

Chương này trình bày một số bài toán về tổng của các biểu thức nguyên. Nội

dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1],[2],[4],[5].

1.1 Nguyên lý quy nạp Toán học chứng minh đẳng

thức và bất đẳng thức liên quan đến tổng

1.1.1 Các khái niệm

• Ký hiệu của một tổng

Tổng của các số a1, a2, ..., an thường được ký hiệu là

a1 + a2 + ... + an =

Xn

k=1

ak,

trong đó ký hiệu (xích-ma) Pn

k=1 ak là tổng của các số ak với k = 1, 2, ..., n. Biểu

thức, hay giá trị của tổng Pn

k=1 ak thường được ký hiệu là An, Bn, ...Sn.... Ta có

An = a1 + a2 + ... + an =

Xn

k=1

ak.

Ví dụ:

1 + 2 + 3... + n =

Xn

k=1

k =

n(n + 1)

2

.

Ở đây An =

n(n + 1)

2

sẽ được chứng minh dưới đây.

• Nguyên lý quy nạp Toán học

Nguyên lý quy nạp Toán học, gọi tắt là Nguyên lý quy nạp, thường được dùng

để chứng minh một Mệnh đề nào đó phụ thuộc vào số tự nhiên. Giả sử ta cần

4

chứng minh Mệnh đề Pn nào đó. Trước hết, ta cần kiểm tra tính đúng đắn của

Pn với n nhỏ nhất có thể có, thí dụ n = 1. Sau đó, giả sử Mệnh đề đúng với

n = k. Nếu chúng ta chứng minh được tính đúng đắn của mệnh đề với n = k + 1,

thì theo Nguyên lý quy nạp Toán học, mệnh đề được chứng minh với mọi số tự

nhiên n.

Khi gặp bài toán về chứng minh một mệnh đề nào đó phụ thuộc và số tự

nhiên n ta thường dùng phương pháp quy nạp. Sau đây tôi xin trình bày phương

pháp nói trên để chứng minh đẳng thức liên quan đến tổng hữu hạn.

1.1.2 Các bài toán

Bài toán 1.1.1. Chứng minh rằng

1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1)

2

.

Lời giải. Đặt S1(n) = 1 + 2 + 3 +...+n. Chúng ta sẽ chứng minh S1(n) = n(n + 1)

2

.

Thật vậy, ta có S1(1) = 1.(1 + 1)

2

= 1, đẳng thức đúng. Giả sử đẳng thức đúng

với n = k, nghĩa là S1(k) = 1 + 2 + ... + k =

k(k + 1)

2

. Với n=k+1, ta có

S1(k + 1) = 1 + 2 + .. + k + (k + 1) = (1 + 2 + ... + k) + (k + 1)

=

k(k + 1)

2

+ (k + 1) = (k + 1)

k

2

+ 1

=

(k + 1)(k + 2)

2

.

Vậy theo Nguyên lý quy nạp Toán học với mọi số tự nhiên n ta có điều phải

chứng minh.

Bài toán 1.1.2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có đẳng thức

1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n + 1)! − 1.

Lời giải. Sử dụng nguyên lý quy nạp. Gọi S(n) = 1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!

+) với n = 1 suy ra VT=VP đẳng thức luôn đúng

+) giả sử đẳng thức đúng với n, ta chứng minh đúng với n + 1.

Ta có

S(n + 1) = S(n) + (n + 1)(n + 1)! = (n + 1)! − 1 + (n + 1)(n + 1)!

= (n + 1)!(n + 1 + 1) − 1 = (n + 2)! − 1.

Bài toán 1.1.3. Với n là số nguyên dương chứng minh rằng

1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

4

.