Tổng hợp các dạng bài tập phép nhân và phép chia các đa thức toán lớp 8

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:

I. Lý thuyết

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích

của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành

nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

II. Các dạng bài:

1. Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng

tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

b, Ví dụ minh họa:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a,

2

x - 3x

= x.x – 3x

= x.(x – 3)

b, 3x – 6y

= 3x – 2.3.y

= 3.(x – 2y)

c,

2

x(y x) xy(x y)

=

2

x(x y) xy(x y)

= x.(x – y)(x – y) + xy(x – y)

= x.(x – y).[(x – y) + y]

=

2

x (x – y)

2. Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng

tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh,

tính giá trị biểu thức, tìm x,…

b. Ví dụ minh họa

VD1: Tính nhanh:

a, 75.20,9 + 5

2

.20,9

= 20,9.(75 + 5

2

)

= 20,9.100

= 2090

b, 98,6.199 – 990.9,86

= 98,6.199 – 99.10.9,86

= 98,6.199 – 98,6.99

= 98,6.(199 – 99)

= 98,6.100

= 9860

VD2: Tính giá trị biểu thức:

a, A = a(b + 3) – b(3 + b) tại a = 2, b = 3

A = a(b + 3) – b(b + 3)

= (b + 3)(a – b)

Thay a = 2, b = 3 vào biểu thức A ta được:

A = (3 + 3)(2 – 3) = - 6

b, B =

2

b - 8b – c(8 – b) tại b = 1, c = 2

Ta có:

B =

2

b - 8b – c(8 – b)

= -b(8 – b) – c(8 – b)

= (8 – b)(- b – c)

Thay b = 1, c = 2 vào biểu thức B, ta được:

B = (8 – 1)(- 1 – 2)

= -21

VD3: Tìm x, biết:

a, 8x(x – 2017) – 2x + 4034 = 0

8x(x 2017) 2(x 2017) 0

(x 2017)(8x 2) 0

x 2017 0

8x 2 0

x 2017

1

x

4

Vậy x = 2017 , x =

1

4

b, 4 – x = 2(x – 4)

2

2

2(x 4) x 4 0

(x – 4)[2(x – 4) + 1] = 0

(x – 4)(2x – 8 + 1) = 0

(x – 4)(2x – 7) = 0

x 4 0

2x 7 0

x 4

7

x

2

Vậy = 4, x =

7

2

3. Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất

chia hết của số nguyên.

b. Ví dụ minh họa:

Chứng minh:

a,

n 1 n

25 25 chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên n 0

Ta có:

n 1 n

25 25

= 25

n

(25 – 1)

= 24.25

n

Ta lại có: 24 = 4.6

25

n

=

n 1

25.25

n 1 n n 1

25 25 4.6.25.25

= 100.6.25

n 1

100 với mọi

*

n

Vậy

n 1 n

25 25 chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên n 0

b,

2

n (n 1) 2n(n 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Ta có:

2

n (n 1) 2n(n 1)

= (n – 1)(

2

n 2n)

= (n – 1).n.(n – 2)

= (n – 2).(n – 1).n

Ta có: n – 2, n – 1, n là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng sẽ chia hết 6

2

n (n 1) 2n(n 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

c,

n 2 n 1

50 50 chia hết cho 245 với mọi số tự nhiên n.

Ta có:

n 2 n 1

50 50

=

n 2

50 (50 50)

=

n

50 (2500 – 50)

= 2450.

n

50

= 245.10.

n

50 245 với mọi STN n

Vậy

n 2 n 1

50 50 chia hết cho 245 với mọi số tự nhiên n.

B. Phân tích đa thức nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

I. Lý thuyết:

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là

một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức

đơn giản hơn

1. ình phương của một tổng

2 2 2 A 2AB B A B

2. ình phương của một hi u

2 2 2 A 2AB B A B

3. i u của hai ình phương

2 2 A B A B A B .

4. ập phương của một tổng

3 3 2 2 3 A 3A B 3AB B A B

5. ập phương của một hi u

3 3 2 2 3 A 3A B 3AB B A B

6. ổng của hai lập phương

3 3 2 2 A B A B A AB B .

7. i u của hai lập phương

3 3 2 2 A B A B A AB B .

II. Các dạng bài:

1. Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân

tích thành nhân tử.

b. Ví dụ minh họa:

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a,

2

4x 4x 1

=

2

(4x 4x 1)

= - [(2x)

2

-2.2x.1 +1]

= - (2x – 1)

2

= - (2x – 1)(2x – 1)

= (2x – 1)(1 – 2x)

b,

3 2

8x 12x 6x 1

= (2x)

3

- 3.(2x)

2

.1 + 3.2x.1

3

- 1

3

= (2x – 1)

3

c,

2

x 5x 6

= x

2

- 2.

5

x

2

+

2

5

2

-

1

4

=

2

5 1

x

2 4

=

2 2

5 1

x

2 2

=

5 1 5 1

x x

2 2 2 2

= (x – 3)(x – 2)

2. Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức một cách hợp lý để phân tích các biểu thức để làm một số

ài toán tính nhanh, tìm x,…

b. Ví dụ minh họa:

VD1: Tính nhanh:

a,

2 2 2 2

85 15 56 44

= (85 – 15)(85 + 15) + (56 – 44)(56 +44)

= 70.100 + 12.100

= 7000 + 1200

= 8200

b,

3 2

103 9.103 27.103 27

=

3 2 2 3

103 3.103 .3 3.103.3 3

= (103 – 3)

3

= 100

3

= 1000000

VD2: Tìm x:

a,

2 2

(x 5) (3 2x)

2 2

(x 5) (3 2x) 0

(x – 5 + 3 + 2x)(x – 5 – 3 – 2x) = 0

(3x – 2)(- x – 8) = 0

3x 2 0

x 8 0

2

x

3

x 8

Vậy x =

2

3

, x = -8

b,

3 2

27x 54x 36x 9

3 2

27x 54x 36x 9 0

3 2 2

3x 3.(3x) .2 3.3x.2 8 1 0

(3x – 2)

3

- 1 = 0

(3x – 2)

3

= 1

3x – 2 = 1

x 1

Vậy x = 1

3. Dạng 3: Chứng minh các bài toán số học:

a. Phương pháp giải:

Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a = b.k. Từ đó

cần phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hi n số chia.

b. Ví dụ minh họa:

Chứng minh:

a,

2

3n 1 4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n

Ta có:

2

3n 1 4 =

2 2

3n 1 2

= (3n – 1 – 2)(3n – 1 + 2)

= (3n – 3)(3n + 1)

= 3.(n – 1)(3n +1) 3 với mọi STN n

b, 100 -

2

7n 3 chia hết cho 7 với mọi STN n

Ta có:

100 -

2

7n 3 =

2 2

10 7n 3

= (10 – 7n - 3)(10 + 7n + 3)

= (7 – 7n)(13 + 7n)

= 7.(1 – n)(13 + 7n) 7 với mọi STN n

C. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

I. Lý thuyết

- Khi sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần

nhận xét đặc điểm của các hạng tử, nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm làm

xuất hi n dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hi n nhân tử chung của các nhóm.

II. Các dạng bài:

1. Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Nhóm các hạng tử một cách hợp lí để xuất hi n nhân tử chung hoặc xuất hi n các

hằng đẳng thức

b. Ví dụ minh họa:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a,

4 3 2

a 9a a 9a

=

3

a (a 9) a(a 9)

= (a – 9)(

3

a a )

= a.(a – 9)(

2

a 1)

b,

2

3x 5y 3xy ( 5x)

=

2

(3x 3xy) (5y 5x)

= 3x(x – y) – 5( x – y)