Tổng hợp các dạng bài dãy số thường có trong kì thi học sinh giỏi các cấp

DÃY SỐ

1. Lý thuyết cơ bản

Các bài toán về dãy số có nội dung khá đa dạng. Ở đây ta quan tâm đến 2 dạng

chính:

1) Các bài toán tìm công thức tổng quát của một dãy số, tính tổng các số hạng của

một dãy số (bản chất đại số)

2) Các bài toán tìm giới hạn dãy số (bản chất giải tích)

Với loại toán thứ nhất, chúng ta có một số kiến thức cơ bản làm nền tảng như:

1) Các công thức về cấp số cộng, cấp số nhân

2) Phương pháp phương trình đặc trưng để giải các phương trình sai phân tuyến tính

với hệ số hằng (thuần nhất và không thuần nhất)

Các phương pháp cơ bản để giải các bài toán dãy số ở loại thứ nhất là bằng các biến

đổi đại số, đưa bài toán về các bài toán quen thuộc, tính toán và đưa ra các dự đoán

rồi chứng minh bằng quy nạp toán học. Trong một số bài toán, phép thế lượng giác

sẽ rất có ích.

Với các bài toán tính tổng hoặc đánh giá tổng, ta dùng phương pháp sai phân. Cụ

thể để tính tổng

Sn = f(1) + f(2) + … + f(n)

ta đi tìm hàm số F(k) sao cho f(k) = F(k+1) – F(k). Khi đó

Sn = F(2) – F(1) + F(3) – F(2) + … + F(n+1) – F(n) = F(n+1) – F(1)

Với loại toán thứ hai, ta cần nắm vững định nghĩa của giới hạn dãy số và các định lý

cơ bản về giới hạn dãy số, bao gồm:

1) Định lý Veierstrass: Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.

2) Định lý kẹp: Nếu xn ≤ yn ≤ zn với mọi n ≥ n0 và x zn a

n

n

n

= =

→∞ →∞

lim lim thì yn a

n

=

→∞

lim

.

3) Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn

tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n ≥ N ta có |xm – xn| < ε.

Một trong những dạng dãy số thường gặp nhất là dãy số xác định bởi x0 = a, xn+1 =

f(xn) với f là một hàm số nào đó. Và với loại dãy số này, câu hỏi thường gặp nhất là:

1) Chứng minh dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn

2) Tìm tất cả các giá trị của a sao cho dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn

Để giải các bài toán dạng này, ta có một số tính chất cơ bản sau

1) Nếu f là hàm số tăng thì dãy {xn} sẽ là dãy đơn điệu.

2) Nếu f là hàm số giảm thì các dãy {x2n} (dãy với chỉ số chẵn) và {x2n+1} (dãy với

chỉ số lẻ) sẽ là các dãy đơn điệu.

3) Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)| ≤ q|x-y| với q là hằng số 0 < q < 1 và {xn} bị

chặn thì {xn} hội tụ. Đặc biệt nếu |f’(x)| ≤ q < 1 thì ta luôn có điều này.

Trang 1