Tóm tắt lý thuyết Toán 12 pot

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1. Giai thừa : n! = 1.2...n

0! = 1

n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n

2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;

mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :

m + n.

3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách

chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.

4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !.

5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : k!(n k)!

n!

C

k

n

−

=

6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách :

= =

−

k k k

n n n k

n! A , A C .P

(n k)!

Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị

7. Tam giác Pascal :

1

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4

3

3

2

3

1

3

0

3

2

2

1

2

0

2

1

1

0

1

0

0

C C C C C

C C C C

C C C

C C

C

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Tính chất :

k

n 1

k

n

k 1

n

n k

n

k

n

n

n

0

n

C C C

C C 1, C C

+

−

−

+ =

= = =

8. Nhị thức Newton :

*

n 0 n

n

1 n 1 1

n

0 n 0

n

n

(a + b) = C a b + C a b + ... + C a b

−

a = b = 1 : ... 0 1 n n C C ... C 2 n n n + + + =

Với a, b ∈ {±1, ±2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :

n

n

1

n

0 Cn

,C ,...,C

*

n n

n

1 n 1

n

0 n

n

n

(a + x) = C a + C a x + ... + C x

−

Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa n

n

1

n

0 Cn

,C ,...,C bằng cách :

- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ...

- Nhân với xk

, đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ...

- Cho a = ±1, ±2, ..., ∫ ∫

± ±2

0

1

0

hay ... hay

β

α

∫

Chú ý :

TRANG 1

* (a + b)n

: a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : k n k k m C a b Kx n

−

=

Giải pt : m = 0, ta được k.

* (a + b)n

: a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.

m r

k n k k p q C a b Kc d n

−

=

Giải hệ pt : 





∈

∈

r/ q Z

m/ p Z

, tìm được k

* Giải pt , bpt chứa A ,C ...

k

n

k

n

: đặt điều kiện k, n ∈ N*

..., k ≤ n. Cần biết đơn giản

các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.

* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp

(bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).

* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường

hợp.

* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy

số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :

số cách chọn thỏa p.

= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.

Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác.

* Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang

phải).

* Dấu hiệu chia hết :

- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.

- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.

- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.

- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.

- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.

- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.

- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.

- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.

II- ĐẠI SỐ

1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ 













=

≠

= =

a c/ b

b 0

b c 0

a/b = c ⇔







≠

=

b 0

a bc

; 2n 1 2n 1

a b a b

+ + = ⇔ =

2n

2n 2n 2n b a a b a b, a b

a 0

 =

= ⇔ = ± = ⇔ 

 ≥







= ⇔ = α

≥

= ±

= ⇔ α

a

,a log b b

a 0

b a

a b

TRANG 2