Tô pô đại cương

TS. NÔN G QUỐ C CHIN H

TÔP Ô Đ Ạ I CƯƠN G

N H À XUẤ T BẢ N Đ Ạ I HỌ C s ư PHẠ M

M ã số: 01.02 -17/18 - ĐH . 2003

M Ụ C LỤ C

Lời nói đ ầ u 5

Chươn g 0. Nhữn g kiế n thứ c c ơ s ỏ 6

§ 1 . Cá c phé p toá n v ề tạ p hợ p 6

§2. Quan h ệ thứ tự 8

§3. Tiên đ ề chọ n lo

Chươn g 1. Khôn g gia n mêtri c 12

§1. Không gian mêtric , sụ hội trụ ừon g khôn g gian mêtri c 12

§2. Tập hợ p m ỏ v à tậ p hợ p đón g ló

§3. Ánh xạ liên tụ c giữa cá c khôn g gian mêtri c 21

§4. Khôn g gian mêtri c đ ầ y đ ủ 24

§5. Tập compá c 37

Bài tạ p 50

Chươn g 2. Khôn g gia n tôp ô 34

§1. Cấ u trúc tôp ô 34

§2. Đi ểm giới hạn , phầ n trong, phầ n ngoài, biên v à ba o

đón g củ a mộ t tậ p 61

§3. Cơ sở củ a khôn g gian tôp ô 68

Bài tậ p 75

Chươn g 3. Án h x ạ liên tục , khôn g gia n con , khôn g

gia n tích , khôn g gia n thươn g 79

§1. Ánh xạ liên tụ c - phé p đ ồ n g phôi 79

3

§2. So sán h hai tôp ô 85

§3. Tôpô xá c định bởi mộ t h ọ án h xạ 86

§4. Cá c tiên đ ề tác h 89

§5. Không gian con của mộ t khôn g gian tôp ô 97

§6. Tích Đ ềcá c củ a cá c khôn g gian tôp ô 102

§7. Tổng trục tiếp củ a một h ọ khôn g gian tôp ô 114

§8. Tôpô thươn g n ó

§9. Tôpô mêtric. khôn g gian mêtric hoa 117

Bài tậ p 122

Chươn g 4. Khôn g gia n compâc , khôn g gia n liên thôn g 127

§1. Không gian compổ c 127

§2. Không gian comp ắ c địa phươn g 136

§3. Compá c hoa 141

§4. Không gian liên thôn g 144

Bài tạ p 153

4

L ò i nó i đá u

Giáo trình "Tôpỏ đ ạ i cương" trình bày những khái niệm cơ bản

của tôpô, cách xây dựng tôpô, phân loại các không gian tôpô, sự đồng

phôi giữa các khôn", gian tôpô và xét trường hợp riêng của không gian

tốpõ như không gian compắc, không gian liên thông, không gian

mêtric, ... . Đây là những kiến thức cơ sở cần thiết cho nhiều lĩnh vực

toán học khác nhau như Gi ả i tích hàm, Lý thuyết độ đo và tích phân,

Tôpỏ đạ i số, Hình học vi phân, ... .

Giáo trình được viết trên cơ sở những bài giảng cho sinh viên năm

thứ 3 hệ Cử nhân ngành Toán và sinh viên hệ Sau đ ạ i học ngành Toán

của khoa Toán, trường Đ ạ i học Sư phạm - Đ ạ i học Thái Nguyên.

Giáo trình bao gồm 4 chương, trong mỗ i chương có nêu nhiều ví

dụ minh hoa và có phần bài tập cơ bản để sinh viên tự giải.

Trong lần xuất bản đầu tiên này chắc rằng không tránh khỏi thiếu

sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của bạn đọc.

TÁC GIẢ

5

Chươn g 0

N H Ữ N G KIÊ N TH Ứ C c ơ S Ỏ

§ 1 . CÁ C PHÉ P TOÁ N V Ề T Ậ P H Ợ P

Ì Giao, hợp, hiệu

Đ ố i với các tập con A, B, c của tập họp X ta có:

A u B = B u A,

A n B = B n A,

A u (B u C) = (A u B) u c,

A n (B n C) = (A n B) n c,

A n (B u C) = (A n B) u (A n C),

A u (B n C) = (A u B) n (A u C),

X \ (A u B) = (X \ A ) n (X \ B), (Công thức De Morgan)

X \ (A n B) = (X \ A ) u (X \ B), (Công thức De Morgan)

A \ B = A n (X\B) ,

(A\B)\ C = A\(BUC) ,

X\(A\B ) = BU(X\A) .

Giả sử (Aj) i e j và (B k ) k e K

là hai họ những tập con tùy ý I

họp X. Kh i đó:

isl

keK

6

í ì A

i U n B

* =fì( A

iUB k ) ,

J VksK J isl

ksK

x \ u Ai = p|( X \ Ai) .(Công thức De Morgan mở rộng)

isi J i€i

X \ ỉ Pl A i = |J( X \ Ai) . (Công thức De Morgan mở rộng)

. isl / isl

2 Tích Đềcác

Gi ả sử, X và Y là những tập hợp, Xx Y là tích Đềcác của chúng.

V ới u, , ụ c X và V , ,V j C Y ta có:

(U,xv,) n (U2X V2 ) = (U, n U2 )X(V, n Vj),

(U,xv ẵ ) u (U2X V2 ) c (U, u U2 )X(V, u v 2 ) .

3 Ánh xạ

Cho ánh xạ f : X -> Y. Đ ố i với bất kỳ A, B c X ta có:

f(A u B) = f(A) u f(B),

f(A n B) c f(A) n f(B),

f(A) \ f(B) c f(A \ B).

Giả sử (Ai) i e i

là họ những tập con tùy ý của tập họp X. Kh i đó:

f(U A

i ) = Ù f

<

A

i > '

i-I i 1

f(nA,)cfìf(Aj )

L-I

Đố i với bất kỳ M , N c Y ta có:

f

l ( M u N) = r'(M ) u r'(N) ,

7

r'( M n N) = r'(M ) n r'(N) ,

r '( M \ N) = r'(M ) \ r'(N) ,

f(r'(M) ) = M n f(X),

Giả sử (Mi), e i

là họ những tập con tùy ý của tập hóp Y. Kh i đó:

r

'ÍU M

i ì = U r l ( M i ) ,

i ì ) i ì

í

-Ì rìM ; =ni'"(M,) .

v i ! J isl

§ 2 . QUA N H Ệ THỨ T ự

Quan hệ hai ngôi < trên tập hợp X được gọi là một quan hệ thứ tự

nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

a) Phản xạ: X < X , Vx e X.

b) Phản đối xứng: Vx, y e X , nếu X < y và y < X thì X = y

c) Bắc cầu: Vx, y, z e X, nếu X < y và y < z thì X < z

Tập hợp X đã trang bị mội quan hệ thứ tự < được gọi là tập sắp

thứ tự. Nếu X < y, ta nói X đứng trước y, hay X nhỏ hơn hoặc bang y

Khi X < y và X + y, tã sẽ viết X < y. Ta nói hai phần tử X và y trong X

là so sánh được nếu X < y hoặc y < X.

Cho X là tập sắp thứ tự. Phẩn tử ae x được gọi là phần tử cực

tiểu (lương ứng cực đại) trong X, nếu Vx e X, điều kiện X < a (tương

ứng a < X) kéo theo X = a. Trong một táp sắp thứ tự không nhát

thiết phải luôn có phần tử cực tiêu (cực đại), và cũng có thể có nhiêu

s

phần tử cực tiểu (cực đại) khác nhau.

G i ả sử A c X . Phần lử a 6 X được gọi là cận dưới (tương ứng cận

trên) của tập A, nếu Vx E A, ta luôn có a < X (tương ứng X < a). Nếu

tập con A c X có cận dưới (tương ứng cận trên) thì la nói A bị chặn

(lưới (tương ứng chặn trên). Tập A được gọi là bị chặn (hay giới nội)

nếu A đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trẽn. Ta ký hiệu D A

là lặp tất

cả các cận dưới của A, ký hiệu T\ là tập tất cả các cân trên của A.

Nếu D A + 0 , và à,, e D A

thỏa mãn a < ao, Va e D A

, thì a„ được gọi là

cận dưới đúng của tập A, ký hiệu là ào = infA. Tương tự, nếu

T A £ 0 , và ao e T A

thỏa mãn ao < a, Va e T A

, thì ao được gọi là cận trên

đúng của tập A, ký hiệu là a 0

= supA. Phần tử x 0

6 A được gọi là

phần tử bé nhất (tương ứng lớn nhất) của A nếu Vx e A luôn có Xo < X

(tương ứng X < Xo).

Ta nói tập X được sắp thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) nếu

Vx,y e X, thì X < y hoặc y < X. Khi đó ta cũng nói < là quan hệ thứ tự

toàn phần trên X .

Giả sử X là tập sắp thứ tự toàn phần, với a.b e X tùy ý, a < b. Ta

ký hiệu: [a, b] = (X € X I a < X < b Ị, và gọi là khoáng đóng với đầu

múi trái là a, đầu mút phải là b.

ịa, b) = Ị x e X I a < X < b} , và gọi là khoảng mở bên phải, đóng

bên trái.

(a.b| = |xe X I a < X < b} , và gọi là khoảng đóng bên phải, mở

bên trái.

(a,h) = {x e Xịa < X < b} , và gọi là khoáng mớ trong X.

Tập sắp thứ tự toàn phần X được gọi là tập sắp thứ tự tốt nếu mọ i

tập con khác rỗng của X luôn có phần tử bé nhất.

G i ả sử X là một tập hợp sắp thứ tự. Tập hợp tất cả các tập con sắp

thứ tự toàn phần của X với quan hệ bao hàm là một tập sắp thứ tự.

9

M ỗ i phần tử cực đạ i của tập này được gọ i là tập con sắp thứ tự toàn

phần cực đ ạ i của tập họp X .

§ 3 . TIÊN Đ Ề CHỌ N

Giả sử ơ là một họ nào đó các tập hợp. Ta nói rằng họ a có đặc

trưng hữu hạn nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) VA e a, nếu B là một tập con hữu hạn của A thì B £ a.

(2) Nếu A là một tập hợp thỏa mãn: mỗ i tập con hữu hạn bất kỳ

của A đều thuộc a, thì A e a.

Định lý. Các điều kiện sau là tương đương:

(í) Cho tập hợp khác rỗng bất kỳ X . Đ ố i với một họ tùy ý (AịXei

những tập con khác rỗng của tập X , tồn tạ i hàm f : ì - > X sao cho

f(i) e Ai với mọ i i E ì.

(li) Trên mỗ i tập hợp tùy ý luôn tồn tạ i một quan hệ thứ tự tốt.

(Hi) M ỗ i một tập con sắp thứ tự toàn phần của tập họp sắp thứ tự X

luôn được chứa trong một tập con sắp thứ tự toàn phần cực đ ạ i.

(iv) Nếu họ ơ các tập có đặc trưng hữu hạn thì mỗ i phần tử của nó

được chứa trong một phần tử cực đ ạ i xác định.

(v) Nế u mọ i tập con sắp thứ tự toàn phần của tập sắp thứ tự X

đều bị chặn trên, thì mỗ i phần tử X e X luôn so sánh được với một

phần tử cực đ ạ i nào đó của X.

Điều kiện (í) được gọi là tiên đề chọn.

Đi ều kiện (li) được gọi là điều kiện Zermelo.

Đi ều kiện (iii) được gọi là điều kiện Hausdortĩ.

LO

Điều kiện (iv) được gọi là điều kiện Tukey.

Điều kiện (v) được gọi là điều kiện Kuratovvsky - Zorn.

Ì Ì

Chươn g Ì

KHÔNG GIAN MÊTRIC

§1. KHÔNG GIAN MÊTRIC, sự HỘI TỤ TRONG

KHÔN G GIA N MÊTRI C

Ì Không gian mêtric

Định nghĩa 1.1. Không gian mêtric là một cặp (X, d), trong đó X là

một tập hợp, d : X X X -» [R là một hàm xác định trên X X X thoa

mãn các điều kiện sau:

1. Vớ i mọi X, y e X : d(x, y) > 0; d(x, y) = 0 <=> X = y, (tiên đề

đồng nhất).

2. Vớ i mọ i X, y e X: d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đ ố i xứng)

3. Vớ i mọ i X, y, z e X : d(x, z) < d(x, y) + d(y, z), (tiên đề tam

giác).

H àm d được gọi là mêtric trên X . M ỗ i phần tử của X được gọi là

một đi ểm của không gian X, số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa

hai điểm X và y.

Ví dụ 1.1

Tập hợp các số thực 1R và tập hợp các số phức c là những không

gian métric, với mêtric d(x, y) = IX — y I , với mọ i X. y e R

(hoặc <C).

Ví dụ 1.2

Táp hơp Rk

là khổng gian mêtric với mêtric d xác định như sau:

12

d(x,y ) = ft|ạ i - n i

|

2

, với x = (ệ „ ...,ệ k ) , y = (ri, , .... HkíelR'

Hiến nhiên d thoa mãn hai tiên đề đồng nhất và đ ố i xứng. Ta

kiếm tra tiên đề tam giác. Trước hết, để ý rằng nếu a,,...,ak

,

b,,...,bk

là những số thực thì:

1=1 V Í=1 y

Ì Ì

f - L 7 ^2 í í ^

r

±|b. r (Bất đẳng thức thức Côsi).

Vi=i )

Lấy tùy ý X = cạ,,...£ k ), y •= (TỊ,,.:.,r| k ). z = (C3l,..., Ck )eRk

. Kh i đó

(d(x,y))2

= - ự < - Tui + h - tí)2

i=l i=l

k le le

i = l i=l 1=1

< ẳ fe-n, f + 2 ấf e -Ti. r Jấh i -Ci f +È k -c, r

1=1 1=1 i=l

- V

Từ đó ta có d(x,z ) < d(x,y ) + d(y,z).

Ta gọi d là mêtric Euclid và (R \ d) được gọi là không gian

Euclid.

Ví dụ 1.3

Gọi C[a. b| Là tập hợp các hàm số thực liên tục trên khoảng đóng

hữu hạn [a, bj. D ễ dàng chứng minh được rằng C[a,b] là một

không gian mêtric với mêtric d(x,y) = súp |x(t)-y(t)| , với mọ i

SI <b

x.y e C[a,b].

[3