Tôpô đại cương

TS. NÔN G QUỐ C CHIN H

TÔP i Đ Ạ I CƯƠN G

N H À XUẤ T BẢ N Đ Ạ I HỌ C s ư PHẠ M

M ã số: 01.02 -17/18 - ĐH . 2003

M Ụ C LỤ C

• •

Lời nói đ ầ u 5

Chươn g ũ. Nhữn g kiế n thứ c c ơ sở 6

§ Ì. Cá c phé p toá n v ề tệ p hợp 6

§2. Quan h ệ th ú tụ 8

§3. Tiên đ ề chọ n lo

Chươn g 1. Khôn g gia n mêtri c 12

§1. Không gian mêtric , sự hội trụ trong khôn g gian mêtri c 12

§2. Tập hợ p m ỏ v à tậ p hợ p đón g 16

§3. Ánh xạ liên tụ c giữa cá c khôn g gian mêtri c 21

§4. Không gian mêtri c đ ầ y đ ủ 24

§5. Tập compắ c 37

Bài tạ p 50

Chươn g 2. Khôn g gia n tôp ô 34

§1. Cấ u ừú c tôp ô 34

§2. Đi ểm giới hạn , phâ n trong, phầ n ngoài, biên v à ba o

đón g củ a mộ t tậ p 61

§3. Cơ sở củ a khôn g gian tôp ô 68

Bài tạ p 75

Chươn g 3. Án h x ạ liên tục , khôn g gia n con , khôn g

gia n tích , khôn g gia n thươn g 79

§1. Ánh xạ liên tụ c - phé p đ ồ n g phôi 79

3

§2. So sán h hai tôp ô

8 5

§3. Tôpô xá c định bà i mộ t h ọ án h x ạ

8 0

§4. Cá c tiên đ ể tác h

8 9

§5. Không gian co n củ a mộ t khôn g gian tôp ô 97

§6. Tích Đ ềcá c củ a cá c khôn g gian tôp ô 102

§7. Tổng trục tiế p củ a mộ t h ọ khôn g gian tôp ô Ì14

§8. Tôpô thươn g

11 6

§9. Tôp ô mêtric , khôn g gian mêtri c hoa 117

Bà i tậ p 122

Chươn g 4. Khôn g gia n compắc , khôn g gia n liên thôn g 127

§ 1. Không gian compắ c 127

§2. Không gian compắ c địa phươn g 136

§3. Compâ c hoa 141

§4. Không gian liên thôn g 144

Bà i tạ p 153

4

L ò i nó i đâ u

Giáo trình "Tôpô đạ i cương" trình bày những khái niệm cơ bản

của tôpô, cách xây dựng tôpô, phân loại các không gian tôpô, sự đồng

phôi giữa các không gian tôpô và xét trường hợp riêng của không gian

tôpỏ như không gian compắc, không gian liên thông, không gian

mêtric, ... . Đây là những kiến thức cơ sở cần thiết cho nhiều lĩnh vực

toán học khác nhau như Gi ả i tích hàm, Lý thuyết độ đo và tích phân,

Tôpô đại số, Hình học vi phàn, ... .

Giáo trình được viết trên cơ sở những bài giảng cho sinh viên năm

thứ 3 hệ Cử nhân ngành Toán và sinh viên hệ Sau đ ạ i học ngành Toán

của khoa Toán, trường Đ ạ i học Sư phạm - Đ ạ i học Thái Nguyên.

Giáo trình bao gồm 4 chương, trong mỗ i chương có nêu nhiều ví

dụ minh hoa và có phần bài tập cơ bản để sinh viên tự giải.

Trong lần xuất bản đầu tiên này chắc rằng không tranh khỏi thiếu

sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của bạn đọc.

TÁC GIẢ

5

Chươn g 0

N H Ữ N G KIÊ N TH Ứ C c o S Ỏ

§ 1 . CÁ C PHÉ P TOÁ N V Ề T Ậ P H Ợ P

Ì Giao, hợp, hiệu

Đ ố i với các tập con A, B, c của tập hợp X ta có:

A u B = B u A,

A n B = B n A,

A u (B u C) = (A u B) u c,

A n (B n C) = (A n B) n c,

A n (B u C) = (A n B) u (A n C),

A u (B n C) = (A u B) n (A u C),

X \ (A u B) = (X \ A ) n (X \ B), (Công thức De Morgan)

X \ (A n B) = (X \ A ) u (X \ B), (Công thức De Morgan)

A \ B = A n (X\B) ,

(A\B)\ C = A\(B U C),

X\(A\B ) = B U (X\A) .

G i ả sử (AịXei và (Bk ) k e K

là hai họ những tập con tùy ý của tập

hợp X. Kh i đó:

' U A

.ìníU B

0

= U ( A

.nB k ) ,

Viel Vk€K ) isl

6

nAiìufriB k

l=n( A

i

U B * ) '

Viel ) VktíK ) 'Si

ksK

x \ Ị J A = P|( X \ Ai ) ,(Công thức De Morgan mở rộng)

isl ) iel

X \ I Pl Ai = |J(X \ Ai). (Công thức De Morgan mở rộng)

.isl J

2 Tích Đ ềcá c

G i ả sử, X và Y là những tập hợp, Xx Y là tích Đềcác của chúng.

V ớ i u „ u 2

c X và v „ v 2

c Y ta có:

(U,xv,) n (U 2 X V 2 ) = (U, n U2 )X(V, n v 2 ) ,

(U,xV,) u (U 2 x V 2 ) c (U, u U2 )X(V, u v 2 ) .

3 Ánh xạ

Cho ánh xạ f : X - > Y. Đ ố i với bất kỳ A, B c X ta có:

f (A u B) = f(A ) u f(B),

f ( A n B) c f(A ) n f(B),

f(A ) \ f(B) c f(A \ B).

G i ả sử (A;) i e i

là họ những tập con tùy ý của tập hợp X. Kh i đó:

f(U A

í ) = U f

(

A

^

íXp Ị A^ePltXAi )

UI i: Ì

Đ ố i với bất kỳ M , N c Y ta có:

f'(MUN ) = r'(M ) u r'(N) ,

7

r'( M n N) = r'(M ) n r'(N) ,

r'( M \ N) = r'(M ) \ r'(N) ,

f(f'(M) ) = M n f(X),

Gi ả sử (M;) i e i

là họ những tập con tùy ý của tập hợp Y. Kh i đó:

Quan hệ hai ngôi < trên tập hợp X được gọ i là một quan hệ thứ tự

nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

a) Phản xạ: X < X , Vx e X .

b) Phản đ ố i xứng: Vx, yeX , nếu X < y và y < X thì X = y.

c) Bắc cầu: Vx, y, z e X , nếu X < y và y < z thì X < z.

Tập hợp X đã trang bị một quan hệ thứ tự < được gọi là tập sắp

thứ tự. Nếu X < y, ta nói X đứng trước y, hay X nhỏ hơn hoặc bằng y.

K h i X < y và X + y, ta sẽ viết X < y. Ta nói hai phần tử X và y trons X

là so sánh được nếu X < y hoặc y < X.

Cho X là tập sắp thứ tự. Phần tử a e X được gọi là phần từ cúc

tiểu (tương ứng cực đại) trong X , nếu Vx E X, điều kiện X < a (tương

ứng a < x) kéo theo X = a. Trong một tập sắp thứ tự không nhất

thiết phải luôn có phần tử cực tiểu (cực đại), và cũng có thê có nhiều

§ 2 . QUA N H Ệ TH Ứ T ự

phần tử cực tiểu (cực đại) khác nhau. .

G i ả sử A c X. Phần tử a e X được gọi là cận dưới (tương ứng cận

trên) của tập A, nếu Vx e A, ta luôn có a < X (tương ứng X < a). Nếu

tập con A c X có cận dưới (tương ứng cận trên) thì la nói A bị chặn

dưới (tương ứng chặn trên). Tập A được gọi là bị chặn (hay giới nội)

nếu A đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trên. Ta ký hiệu D A

là tập tất

cả các cận dưới của A, ký hiệu T A

là tập tất cả các cận trên của A.

Nếu DK

í 0 , và a() e D A

thỏa mãn a < ao, Va 6 D A

, thì a 0

được gọi là

cận dưới đúng của tập A, ký hiệu là a„ = infA. Tương tự, nếu

T\ -ị- 0 , và a 0

£ T A

thỏa mãn a 0

< a, Va e T A

, thì ao được gọi là cận trên

đúng của tập A, ký hiệu là a 0

= supA. Phần tử Xo e A được gọi là

phần tử bé nhất (tương ứng lớn nhất) của A nếu Vx e A luôn có X() < X

(tương ứng X < Xo).

Ta nói tập X được sắp thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) nếu

Vx,y € X, thì X < y hoặc y < X. Kh i đó ta cũng nói < là quan hệ thứ l ự

toàn phần trên X.

Giả sử X là tập sắp thứ tự toàn phần, với a,b e X tùy ý, a < b. Ta

ký hiệu: [a, b] = Ị x e X I a < X < b Ị, và gọi là khoảng đóng với đầu

mút trái là a, đầu mút phải là b.

[a, b) = Ị x e X I a < X < b Ị, và gọi là khoảng mở bên phải, đóng

bên trái.

(a,b] = Ị x e X I a < X < b} , và gọi là khoảng đóng bên phải, mở

bên trái.

(a,b) = Ịx e X|a < X < b} , và gọi là khoảng mở trong X.

Tập sắp thứ tự toàn phần X được gọi là tập sắp thứ tự tốt nếu mọ i

tập con khác rỗng của X luôn có phần tử bé nhất.

Giả sử X là mội tập hợp sắp thứ tự. Tập hợp tất cả các tập con sắp

thứ tự toàn phần của X với quan hệ bao hàm là một tập sắp thứ tự.

9

M ồ i phần tử cực đại của tập này được gọ i là tập con sắp thứ tự toàn

phần cực đạ i của tập hợp X.

§3. TIÊN ĐỀ CHỌN

Giả sử ơ là một họ nào đó các tập hợp. Ta nói rằng họ a có đặc

trưng hữu hạn nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) VA e ơ, nếu B là một tập con hữu hạn của A thì B e ơ.

(2) Nếu A là một tập hợp thỏa mãn : mỗ i tập con hữu hạn bất kỳ

của A đều thuộc ơ, thì Aeơ .

Định lý. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Cho tập hợp khác rỗng bất kỳ X . Đ ố i với một họ tùy ý (A ) gj

những tập con khác rỗng của tập X , tồn tạ i hàm f : ì - > X sao cho

f(i) e Ai với mọ i i e ì.

(li) Trên mỗi tập hợp tùy ý luôn tồn tại một quan hệ thứ tự tốt.

(iii) M ỗ i một tập con sắp thứ tự toàn phần của tập hợp sắp thứ tự X

luôn được chứa trong một tập con sắp thứ tự toàn phần cực đ ạ i.

(iv) Nếu họ o các tập có đặc trưng hữu hạn thì mỗ i phần tử của nó

được chứa trong một phần tử cực đạ i xác định.

(v) Nếu mọ i tập con sắp thứ tự toàn phần của tập sắp thứ tự X

đều bị chặn trên, thì mỏ i phần tử X e X luôn so sánh được với một

phần tử cực đ ạ i nào đó của X.

Điều kiện (i) được gọi là tiên để chọn.

Điều kiện (li) được gọi là điều kiện Zermelo.

Điều kiện (iii) được gọi là điều kiện HausdortY.

10

I

Đi ều kiện (iv) được gọi là điều kiện Tukey.

Điều kiên (v) được gọi là điều kiện Kuratovvsky

Chươn g Ì

KHÔN G GIA N MÊTRI C

§ 1 . KHÔN G GIA N MÊTRIC , s ự H Ộ I TỤ TRON G

KHÔN G GIA N MÊTRI C

Ì Không gian mêtric

Định nghĩa 1.1. Khôn " gian mêtric là một cặp (X, d), trong đó X là

một tập hợp, d : X X X -> IR là một hàm xác định trên X X X thoa

mãn các điều kiện sau:

1. Vớ i mọ i X, y e X : d(x, y) > 0; d(x, y) = 0 <=> X = y, (tiên đề

đồng nhất).

2. Vớ i mọ i X, y G X: d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đ ố i xứng)

3. Vớ i mọ i X, y, z e X : d(x, z) < d(x, y) + d(y, z), (tiên đề tam

giác).

H àm d được gọ i là métric trên X . M ỗ i phần tử của X được gọi là

một đi ểm của khõna gian X, số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa

hai điểm X và y.

Ví dụ 1.1

Tập hợp các số thực R và tập hợp các số phức c là những không

gian mêtric, với mêtric d(x, y) = IX - y I , với mọ i X. y e 1R

(hoặc C).

Ví dụ 1.2

Tập hợp Rk

là không gian mêtric với mêtric d xác định như sau:

12

i=i Vi=i )

.d(x,y) = íị|ạ.-Ti i

|

2 Ỵ ,với x = (ạ 1

,...,^), y = (Ti 1

,...,Tik)eiRk

V UI ì

Hiển nhiên d thoa mãn hai tiên đề đồng nhất và đối xứng. Ta

kiểm tra tiên đề tam giác. Trước hết, để ý rằng nếu a,,...,ak

,

bị,... ,bk

là những số thực thì:

Ì Ì

(— ^ 2 r ị ỳ

2Jb ị Ị (Bất đẳng thức thức Côsi).

v'W ì

Lấy tùy ý X = (§,',... £k), y = (ĩ!,,... ,Tik), z = (Ci, -• •, Ck)eRk

. Khi đó

(d(x,y))2

= Ềfe "C.hỀte -lil + K -Si|)2

i=l i=l

k k A- ,

^ X |5, - l i I

+ 2 Z Ế - *ii l-k - I

+

z h - ^ I

i=l 1=1 ;=1

1=1 \l 1=1 V 1=1 i=i

\

2

jỀis.-nj 2

+jzh-tf J =(4y)+4* .

Từ đó ta có d(x,z)<d(x,y) + d(y,z).

Ta gọi d là mêtric Euclid và (Rk

, d) được gọi là không gian

Euclid.

Ví dụ Ì .3

G ọi C[a, b] là tập hợp các hàm số thực liên tục trên khoảng đóng

hữu hạn [a, b]. Dỗ dàng chứng minh được rằng C[a,b] là một

không gian mêtric với mêtric d(x,y) = súp |x(t)-y(t)| , với mọ i

a<i <b

x,y eC[a,b].

13

Định nghĩa 1.2. Gi ả sử M là một tập hợp con cùa không gian

mêtric (X, d). Dễ dàng thấy rằng hàm d M = d| M . M là một mêtric trên

tập hợp M . Không gian mẽtric (M,djj được gọi là khôn g gian con của

không gian mêtric (X, d), ta gọ i d M là mêtric cảm sính bởi mêtric d

trên M .

2 Sự hội tụ trong không gian mêtric

Định nghĩa 1.3. Ta nói dãy { x u } * = 1

những phần tử của không gian

mêtric (X, d) hộ i tụ đến phần tử x 0 e X nếu limd(x u

, x 0 ) = 0 . K h i đó

u—Ke

ta viết lim x u = x 0

, hoặc x u

— — >x0

. Ta nói dãy {x n } là dãy

li >f h ỉ

h ộ i tụ và gọ i x 0

là giới hạn của dãy Ị x u } .

Nhận xét.

a) Dãy hội tụ trong không gian mêtric có một giới hạn duy nhất.

Thật vậy, gi ả sử limx n

= a và limx u

= b trong X . Kh i đó :

n—*w u->00

d(a, b) < d(a, x u ) + d(xu

, b) với mọ i n.

Vì limd(a,x n ) = 0 và limd(b,x n ) = 0 , nên từ bất đẳng thức trên

suy ra d(a,b) = 0 tức là a = b.

b) Trong không gian mêtric (X, d) nếu lim X = a và

li—> oe

limy u = b thì Limd(x n

, y ũ ) = d(a,b).

Thật vậy, với mọi n, ta đều có:

d(a,b)<d(a,* J + d(x n

, y u ) + d(y u

,b) .

Từ đó ta có: d(a,b) - d(xu

,yu) < d(a,xu) + d(y0

,b) .

14

Chứng minh tương tự ta được:

d(x u

, y u )-ci(a,b)<d(a, Xll ) + d(y u

,b) .

Từ hai bất đẳng thức trên suy ra:

|d(x„,y u )-d(a,b)|<d(a,x u ) + d(y u

, b )

Vì limd(a,x u ) = 0 và limd(y u

, b ) = 0 , nên từ bất đẳng thức trên

suy ra limd(x u

, y u ) = d(a,b). Ta có điều cần chứng minh.

Vídụl. 4

Trong không gian IR và c , limx u

= x0<=>lim|xu

-x 0

ị = 0 . Đây là

w

ti—></J u—>'f

-

sự hộ i tụ mà ta đã biết trong gi ả i tích cổ điển.

Ví d ụ 1.5

Trong không gian IR\ giả sử {x n

= (ệ Ị

n ) ,...,^ n ) ) } : = 1

là dãy

trong Rk

và x 0

= (ệ Ị

0 ) ,...,^ 3 ) ) e Rk

. Kh i đó:

lùn XQ

= x 0

<=> lim

ti —>Ơ-J ù —

2A

i=l

= 0 «=>

lim^ )

= ạ!° ,

,i=l,...,k .

n->

Vì vậy, người ta nói rằng sự hộ i tụ trong không gian Euclid IRk

là

sự hộ i tụ theo các toa độ.

Ví d ụ 1.6

Trong không gian C[a,b], lim x u

= x 0

dãy hàm số { x u ( t) Ị *

hội tụ đều đến hàm số x u ( t) trên Ịa, b]. Thật vậy,

15