Tính chất fredholm của nửa nhóm tiến hóa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

___________________________

Trần Thanh Hiệp

TÍNH CHẤT FREDHOLM CỦA NỬA

NHÓM TIẾN HÓA

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 604601

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA

TP.Hồ Chí Minh – Năm 2010

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi xin trân trọng kính gởi đến Thầy Lê Hoàn Hóa người

đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân

thành và sâu sắc.

Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán – Tin học, trường

Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí

Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian học tập và làm việc.

Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong Ban Chủ nhiệm Khoa Toán –Tin học, Quý Thầy, Cô

thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ

Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi

trong suốt quá trình học tập.

Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học giải tích khóa 18 đã luôn

động viên và quan tâm trong thời gian học tâp và làm luận văn. Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn

chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự

góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp.

Trần Thanh Hiệp

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung luận văn này không được sao chép bất kỳ luận văn nào khác

trước đây.

Học viên

Trần Thanh Hiệp

MỞ ĐẦU

Lý thuyết Fredholm (ra đời vào 1903) là lý thuyết về phương trình vi phân. Theo nghĩa hẹp,

nó liên quan đến nghiệm của phương trình tích phân Fredholm. Theo nghĩa rộng, cấu trúc trừu

tượng của lý thuyết Fredholm được thể hiện dưới dạng lý thuyết phổ của toán tử Fredholm và nhân

Fredholm trên không gian Hilbert. Và công cụ để nghiên cứu tính ổn định phổ của phương trình

truyền sóng là lý thuyết lưỡng phân.

Một họ tiến hoá { ( , , , )}t U t t t t t ³ Œ¡ liên kết với phương trình vi phân tuyến tính chỉnh,

không tự sinh trên không gian Banach X với các hệ số toán tử sinh ra ba toán tử

quan trọng xác định trên không gian các hàm nhận giá trị trong X:

(1) toán tử vi phân G, ( ) d G A t

dt

- = + ; (0.1)

(2) toán tử hàm số Et

, ( )( ) ( , , , 0 ) ( ) t E u U t u t t t t t t t = - - Œ ³ ¡ ; (0.2)

(3) toán tử sai phân Dt ,

: , 1 , 0,1 ( n n n ) ( ( ) 1 ) [ ) n n D x x U n n x t t t t Œ - Œ - + + - Œ

¢ a

¢ . (0.3)

Trong khuôn khổ luận văn này, đầu tiên tác giả trình bày một chứng minh của Định lý lưỡng

phân trong trường hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc đặc biệt nào của toán tử A t( ).

Tiếp theo, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính đóng của miền giá trị của ba

toán tử nêu trên.

Luận văn được trình bày theo bố cục như sau:

Phần mở đầu giới thiệu tổng quan về các vấn đề chính được nghiên cứu trong luận văn, đồng thời

nêu bố cục của luận văn.

Chương 1 là các kiến thức chuẩn bị cơ bản về lý thuyết Fredholm, nửa nhóm tiến hóa, lưỡng phân

lũy thừa.

Chương 2 được xây dựng gồm hệ thống các Định lý và Bổ đề dùng để chứng minh Định lý lưỡng

phân (Định lý 2.1, Định lý 2.2) trong trường hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc nào

của toán tử A(t).

Chương 3 là sự nối tiếp của chương 2, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính

đóng của miền giá trị của các toán tử , ,

t E G Dt .

Cuối cùng là phần Kết luận và Tài liệu tham khảo.