Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Tích phân xác định và ứng dụng trong giải toán trung học phổ thông.
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
HUỲNH PHÚC HẢI
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
HUỲNH PHÚC HẢI
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG
Đà Nẵng - Năm 2015
LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận văn
Huỳnh Phúc Hải
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5. Đóng góp của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6. Cấu trúc luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1. BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG . . . . . . . . . 3
1.2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH . . . . . 9
1.5. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN . . . . . . . . 10
1.5.1. Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . 10
1.5.2. Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH . . . . . . . . . 19
1.6.1. Tích phân với cận trên thay đổi . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.2. Công thức Newton - Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH . . 22
1.7.1. Phép đổi biến số trong tích phân xác định . . . . . . . . . 22
1.7.2. Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8. TÍCH PHÂN SUY RỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8.1. Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8.2. Tích phân suy rộng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TRONG
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 38
2.1. TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG PHẲNG . . . . . . . . . . . . 38
2.2. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x) . 44
2.2.2. Diện tích hình phẳng của đường có phương trình tham số 51
2.2.3. Diện tích hình phẳng của đường cong trong tọa độ cực . . 54
2.3. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.1. Tính thể tích vật thể khi biết thiết diện thẳng . . . . . . 57
2.3.2. Tính thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4. TÍNH DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY . . . . . . . . . . . . . 66
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TOÁN
TỔ HỢP VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ 70
3.1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP . . . 70
3.1.1. Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân . 71
3.1.3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân . . . . . . . . . 72
3.2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TOÁN GIỚI HẠN
DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.1. Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
KẾT LUẬN 94
TÀI LIỆU THAM KHẢO 95
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)
DANH MỤC CÁC HÌNH
Số hiệu Tên hình vẽ Trang
1.1 Hình thang cong AabB 3
1.2 Diện tích hình thang cong D 9
2.1 Độ dài đường cong AB, 38
2.2 Đường xoắn Acsimet 43
2.3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi f(x) ≥ 0 và Ox 44
2.4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi f(x) ≤ 0 và Ox 44
2.5 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi f(x) và Ox 45
2.6 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong 46
2.7 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong tạo miền kín 47
2.8 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường cong tạo miền kín 47
2.9 Hình vẽ ví dụ 2.6 48
2.10 Hình vẽ ví dụ 2.7 50
2.11 Hình vẽ ví dụ 2.8 51
2.12 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung Cycloide 52
2.13 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Cardioide 55
2.14 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Parabole 56
2.15 Thể tích vật thể giới hạn bởi mặt Elipxôit 58
2.16 Thể tích vật thể giới hạn bởi 1 đường cong quay quanh Ox 59
2.17 Thể tích vật thể giới hạn bởi 2 đường cong quay quanh Ox 60
2.18 Thể tích vật thể giới hạn bởi 1 đường cong quay quanh Oy 60
2.19 Thể tích vật thể giới hạn bởi 2 đường cong quay quanh Oy 61
2.20 Hình vẽ ví dụ 2.23 65
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay phép tính tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng
trong toán học. Tích phân được ứng dụng rộng rãi như để tính diện tích
hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Đây còn là đối tượng nghiên cứu của
giải tích, là nền tảng cho Lý thuyết hàm, Lý thuyết phương trình vi phân,
Phương trình đạo hàm riêng. . . Ngoài ra, phép tính tích phân còn được
ứng dụng rộng rãi trong xác suất, thống kê, vật lý, cơ học, thiên văn học,
y học. . . Trong chương trình toán THPT, phép tính tích phân được giới
thiệu cho học sinh ở lớp 12, và là một nội dung quan trọng trong đề thi
tuyển sinh đại học cao đẳng hằng năm. Với tầm quan trọng của phép tính
tích phân như vậy, cùng với mong muốn tạo ra một tài liệu có ý nghĩa
tham khảo tốt cho học sinh và giáo viên THPT, được sự gợi ý của giáo
viên hướng dẫn TS. Lê Hải Trung nên tôi chọn đề tài "Tích phân xác
định và ứng dụng trong giải toán trung học phổ thông" làm luận
văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn được hoàn thành với mục tiêu tìm hiểu các kiến thức cơ
bản về định nghĩa, tính chất, ý nghĩa tính phân xác định, tích phân suy
rộng. Đồng thời nghiên cứu các ứng dụng cụ thể của phép tính tích phân
trong giải toán trung học phổ thông, ở các lĩnh vực hình học, tổ hợp, giới
hạn dãy số.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về tích phân xác định, tích phân suy rộng và ứng dụng
của tích phân trong giải toán hình học, tổ hợp, giới hạn dãy số của hàm
một biến thực.
2
4. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng các phương pháp của toán học giải tích, vận dụng
các kiến thức cơ bản của toán sơ cấp về vi phân, tích phân, tổ hợp, dãy
số để tiến hành nghiên cứu. Trong luận văn, các kiến thức được sử dụng
thuộc các chuyên ngành giải tích toán học, đại số.
5. Đóng góp của đề tài
Đề tài có thể được sử dụng như là tài liệu tham khảo dành cho học
sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy môn toán ở khối phổ thông trung
học.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được cấu
trúc bởi các chương sau đây:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Ứng dụng tích phân xác định trong giải toán hình học
trung học phổ thông.
Chương 3: Ứng dụng tích phân xác định trong giải toán tổ hợp và
giới hạn dãy số.
3
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, tác giả trình bày về định nghĩa và các tính chất
của tích phân xác định. Đồng thời thông qua công thức Newton–Leibnitz,
tác giả trình bày các phương pháp cơ bản để tính tích phân xác định. Bên
cạnh đó một số kiến thức về ý nghĩa hình học, tích phân suy rộng cũng
được tác giả trình bày. Các kiến thức trong chương này được tác giả tham
khảo từ các tài liệu [1], [2], [4], [5], [6].
1.1. BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG
Cho hàm số y = f(x) liên tục, đơn điệu và không âm trên đoạn [a, b].
Xét hình thang cong AabB được giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b,
trục hoành Ox và đồ thị của hàm số y = f(x).
Hình 1.1: Hình thang cong AabB
Ta định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB như sau.
Chia đoạn [a, b] một cách tùy ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
x0, x1, x2, . . . , xn, sao cho các điểm chia này thỏa mãn
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b.
4
Từ các điểm chia, ta dựng các đường thẳng x = xi(i = 1, 2, . . . , n)
song song trục tung Oy để chia hình thang cong ban đầu AabB thành n
hình thang cong nhỏ Mi−1xi−1xiMi
. Trên mỗi đoạn nhỏ được chia [xi−1, xi
]
ta chọn các điểm ξi và dựng các hình chữ nhật với chiều rộng là ∆xi =
xi − xi−1 và chiều cao là f(ξi). Khi đó, diện tích của các hình chữ nhật là
f(ξ1)∆x1, f(ξ2)∆x2, . . . , f(ξn)∆xn.
Tổng các diện tích của n hình chữ nhật biễu diễn gần đúng diện tích
S của hình thang cong AabB. Do đó ta có thể viết:
Sn =
X
n
i=1
f(ξi)∆xi
. (1.1)
Nhận xét rằng tổng các diện tích của n hình chữ nhật càng gần bằng
diện tích của hình thang cong AabB khi n càng lớn và các đoạn được chia
càng nhỏ.
Do đó, khi chuyển qua giới hạn n → ∞ sao cho max ∆xi → 0
(i = 1, 2, . . . , n) thì diện tích S cần tìm của hình thang cong AabB chính
là giá trị giới hạn của tổng X
n
i=1
f(ξi)∆xi
, như sau:
S = lim
n→∞
Sn = lim
max ∆xi→0
X
n
i=1
f(ξi)∆xi
. (1.2)
1.2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Cho f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b]. Chia đoạn [a, b] một
cách tùy ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia x0, x1, x2, . . . , xn, thỏa mãn
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b.
Đặt d = max{∆xi} với ∆xi = xi − xi−1 (i = 1, 2, . . . , n). Ta gọi bộ
các điểm chia P = {xi} là một phân hoạch của đoạn [a, b] và d(P) (hay
gọi tắt là d) là đường kính phân hoạch. Trên mỗi đoạn chia [xi−1, xi
], lấy
điểm ξi (i = 1, 2, . . . , n) tùy ý và lập tổng:
In =
X
n
i=1
f(ξi)∆xi
. (1.3)
5
Nhận thấy tổng (1.3) phụ thuộc vào phân hoạch P = {xi} và cách
chọn điểm ξi
. Tổng đó được gọi là tổng Riemann của hàm f(x) theo phân
hoạch P = {xi} của đoạn [a, b]. Nếu n → ∞ sao cho d → 0, mà tổng tích
phân Riemann (1.3) có giới hạn (hữu hạn) I, và giới hạn I này không phụ
thuộc vào phân hoạch P và cách chọn điểm ξi ∈ [xi−1, xi
] thì hàm f(x)
được gọi là là khả tích Riemann trên đoạn [a, b]. Và
lim
n→∞
In = lim
d→0
X
n
i=1
f(ξi)∆xi = I. (1.4)
I được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên đoạn [a, b], và
được ký hiệu là
I =
Z
b
a
f(x)dx. (1.5)
Nghĩa là với mọi số ε > 0 cho trước, ∃δ > 0 sao cho mọi phân hoạch {xi}
của đoạn [a, b] thỏa mãn đường kính d < δ với mọi cách chọn ξi ∈ [xi−1, xi
]
tùy ý thì
|In − I| = |
X
n
i=1
f(ξi)∆xi − I| < ε. (1.6)
Trong định nghĩa trên, thực chất ta đã giả thiết a < b. Số a được
gọi là cận dưới, số b được gọi là cận trên của tích phân, x là biến số lấy
tích phân, hàm f gọi là hàm dưới dấu tích phân và biểu thức f(x)dx gọi
là biểu thức dưới dấu tích phân.
Bây giờ, chúng ta xem xét khái niệm tích phân xác định trong trường
hợp a = b và a > b.
Khi a = b, theo định nghĩa, ta có:
Z
b
a
f(x)dx =
Z
a
a
f(x)dx = 0. (1.7)
Công thức (1.7) cho thấy tích phân xác định với các cận bằng nhau
thì bằng 0.
6
Khi a > b, theo định nghĩa, ta có:
Z
b
a
f(x)dx = −
Z
a
b
f(x)dx. (1.8)
Chú ý rằng tích phân xác định (1.5) chỉ phụ thuộc vào hàm f và các
cận a, b mà không phụ thuộc vào biến tích phân, tức là:
Z
b
a
f(x)dx =
Z
b
a
f(t)dt =
Z
b
a
f(u)du. (1.9)
Ví dụ 1.1. Xét ví dụ sau đây, tính tích phân
I =
Z
1
0
2
x
dx.
Lời giải.
Theo định nghĩa tích phân xác định, ta chia [0, 1] thành n đoạn nhỏ
bằng nhau và có độ dài là 1
n
, thì các điểm chia sẽ là
0 = x0 < x1 =
1
n
< . . . < xi−1 =
i − 1
n
< xi =
i
n
< . . . < xn = 1.
Đặt
∆xi = xi − xi−1 =
1
n
,(i = 1, 2, . . . , n).
Trên mỗi đoạn chia [xi−1, xi
], chọn ξi = xi−1. Ta có tổng
In =
X
n
i=1
∆xif(ξi) = X
n
i=1
(xi − xi−1)f(xi−1) = X
n
i=1
1
n
2
i−1
n
=
1
n
(1 + 2 1
n + 2
2
n + . . . + 2
n−1
n )
=
1
n
1
2
1
n − 1
=
1
n
1
e
1
n
ln 2 − 1
⇒ I = lim
n→∞
In =
1
ln 2.