Chương 6 Tích phân xác định.doc

Tích phân xác định:

1/ Bài toán diện tích hình thang cong: ................................................................................... 2

2/ Định nghĩa tích phân xác định: ............................................................................................ 3

3/ Điều kiện khả tích (intergrability condiction): ................................................................... 3

4/ Các tính chất của tích phân xác định: .................................................................................. 6

5/ Công thức Newton – Leibnitz: .......................................................................................... 9

6/ Tính gần đúng tích phân xác định: .................................................................................... 10

a/ Đa thức nội suy: .......................................................................................................... 10

Công thức hình thang: ...................................................................................................... 12

Công thức Simpson: .......................................................................................................... 13

7/ Ứng dụng hình học của tích phân xác định: ..................................................................... 15

7.1/ Tính diện tích hình phẳng: ....................................................................................... 15

........................................................................................................................................... 16

.......................................................................................................................................... 17

7.2/ Trường hợp biên của hình phẳng cho trong tọa độ cực .......................................... 18

7.3/ Tính độ dài đường cong phẳng ................................................................................ 19

7.4/ Tính thể tích vật thể ................................................................................................. 21

7.5/ Tính thể tích vật thể tròn xoay ................................................................................. 22

7.6/ Tính diện tích mặt tròn xoay .................................................................................... 23

8/ Sơ đồ ứng dụng tích phân .................................................................................................. 24

9/ Tích phân suy rộng ........................................................................................................... 25

9.1/ Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn: ................................................................. 25

9.2/ Trường hợp hàm số lấy tích phân ko bị chặn .......................................................... 26

9.3/ Tiêu chuẩn so sánh: ................................................................................................... 26

9.4/ Hội tụ tuyệt đối ......................................................................................................... 28

Cách đưa tích phân suy rộng loại 2 về tích phân suy rộng loại 1 ................................... 28

Bài tập ..................................................................................................................................... 29

.......................................................................................................................................... 29

1/ Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng: .................................................................... 30

.......................................................................................................................................... 31

........................................................................................................................................ 32

........................................................................................................................................... 33

.......................................................................................................................................... 33

12/ Xét sự hội tụ của tích phân: ...................................................................................... 34

13/ Xét sự hội tụ của tích phân: ..................................................................................... 35

2/ Tính các tích phân sau .................................................................................................. 36

........................................................................................................................................... 36

........................................................................................................................................... 37

........................................................................................................................................... 38

........................................................................................................................................... 38

.......................................................................................................................................... 39

........................................................................................................................................... 41

........................................................................................................................................... 42

........................................................................................................................................... 43

1

........................................................................................................................................... 43

........................................................................................................................................... 44

........................................................................................................................................... 45

........................................................................................................................................... 45

........................................................................................................................................... 45

3/ Dùng định nghĩa tính các tích phân: ............................................................................ 46

4/ Tính các đạo hàm: ........................................................................................................ 48

5/ Tính các giới hạn ........................................................................................................... 48

.......................................................................................................................................... 48

........................................................................................................................................ 49

.......................................................................................................................................... 50

.......................................................................................................................................... 51

.......................................................................................................................................... 52

.......................................................................................................................................... 53

1/ Bài toán diện tích hình thang cong:

Cho hàm số y = f(x), xác định, liên tục trên khoảng đóng [a, b]. Xét hình thang cong

AabB là hình giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) trên [a, b], các đường thẳng x = a, x= b và

trục hoành Ox. Ta định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB.

Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

o 1 2 i 1 i n x a x x ...x x ...x b ≡ < < < < < = − ta gọi cách chia đó là 1 phân điểm P

( )

( )

( )

( ) [ ]

i i

i 1 i 1 i i

i i i 1

Bay gio, tu cac diem chia x i 0,n ta dung cac duong thang x x ,

nhu the ta da chia hình thang cong AabB

thành n hình thang cong nho P x x P i 1,n

moi hình thang cong nho dó có day x x x i 1,n .

Theo gia thiet, hàm so f x lien tuc tren a,b ,

n

− −

−

= =

=

∆ = − =

[ ] ( )

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

( ) ( )

i 1 i

i

x x ,x i 1 i

i

x x ,x i 1 i

i i i i i i i

ên cung liên tuc trên x ,x , i 1,n

do dó f x dat dc giá tri nho nhat m min f x

and giá tri lon nhat M max f x

m f x M m . x f x . x M . x

−

∈ −

∈ −

=

=

=

⇒ ≤ ≤ ⇒ ∆ ≤ ∆ ≤ ∆

Về mặt hình học: tích số m . x i i ∆ chính là diện tích của hình chữ nhật trong có chiều rộng

là i ∆x và chiều dài là mi

. Tích số M . x i i ∆ chính là diện tích của hình chữ nhật ngoài có

chiều rộng là i ∆x và chiều dài là Mi

, hình thang cong nhỏ thứ i P x x P i 1 i 1 i i − − luôn bị các

hình chữ nhật trong và ngoài kẹp

Gọi *

S and S *

là tổng các diện tích của các hình chữ nhật trong và ngoài, để cho gọn, gọi

S* là tổng trong and *

S là tổng ngoài, luôn có bdt:

2

( ) ( )

( )

n n

* *

* * i i i i

i 1 i 1

n n n

i i i i i i i i i i

i 1 i 1 i 1

n n n

i i i i i

x 0 x 0 x 0 i i i i 1 i 1 i 1

S S , S m . x , S M . x

from m . x f x . x M . x m . x f x . x M . x

lim m . x lim f x . x lim M . x S

= =

= = =

∆ → ∆ → ∆ → = = =

≤ = ∆ = ∆

∆ ≤ ∆ ≤ ∆ ⇒ ∆ ≤ ∆ ≤ ∆

⇒ ∆ = ∆ = ∆ =

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

2/ Định nghĩa tích phân xác định:

Define

Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trong khoảng đóng [a, b], chia [a, b] thành những

khoảng nhỏ bởi 1 phân điểm P, trong mỗi khoảng nhỏ x ,x i 1 i    −  lấy 1 điểm

( ) i i 1 i i c tùy ý sao cho : x c x i 1,2,..n − ≤ ≤ =

( )

( ) [ ]

( )

n

i i i i i 1

i 1

i

x 0 i

b

a

Và lap tong: A f c . x with x x x

if when n and max x 0 A có gioi han huu han I lim A I

thi I dc goi là tich phan xac dinh cua hàm so f x lay trên khoang dong a,b

và kí hieu là : I f x .dx

−

=

∆ →

= ∆ ∆ = −

→ ∞ ∆ → =

=

∑

∫

Khi đó, ta cũng nói rằng hàm số f(x) khả tích (intergrable) in [a, b]

Diện tích (area) hình thang cong AabB là: ( )

b

a

S f x .dx = ∫

3/ Điều kiện khả tích (intergrability condiction):

* Định lí (theorem): dk (condiction) để (of) hàm số (function) f(x) khả tích (intergrability)

trên [a, b] là: ( )

x 0 i

lim S s 0

∆ →

− =

3

( ) ( )

( ) ( )

n

i i

i 1

n

i i

i 1

b n

i i

x 0 i a i 1

n

i i i i i i i i

i 1 i

trong do s m . x là tong tich phan duoi,

S M . x là tong tich phan tren

Prove that: gia su ton tai tich phan I f x .dx lim A A f c . x

I A I

from m . x f x . x M . x m . x f x . x

=

=

∆ → =

= =

= ∆

= ∆

 

= = = ∆  

 

⇒ − ε < < + ε

∆ ≤ ∆ ≤ ∆ ⇒ ∆ ≤ ∆

∑

∑

∫ ∑

∑

n n

i i

1 i 1

M . x

=

∑ ∑≤ ∆

( )

( )

n n n

i i i i i

x 0 x 0 x 0 i i i i 1 i 1 i 1

x 0 x 0 x 0 x 0 i i i i

lim m . x lim f x . x lim M . x I

lim s lim A lim S I lim S s 0

∆ → ∆ → ∆ → = = =

∆ → ∆ → ∆ → ∆ →

⇒ ∆ = ∆ = ∆ =

⇒ = = = ⇔ − =

∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )

( ) [ ]

[ ]

( ) ( )

( )

x 0 i

i i i i i 1 i

n n

i i i i i

i 1 i 1

gia su assume có has lim S s 0 mà s I S, s A S A I

f kha tich intergrable trên a,b

let M m dc goi là dao dong cua f trong x , x

suy ra derive : S s M m x . x

and can be write dieu kien condition kha tich inte

∆ →

−

= =

− = ≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ − < ε

⇒

ω = − ω

− = − ∆ = ω ∆ ∑ ∑

( )

n

i i

x 0 i i 1

rgrable duoi dang :

lim . x 0

∆ → =

∑ω ∆ =

* Định lí 2 (theorem 2nd): If f(x) liên tục (continuous) in [a, b] thì (derive) f(x) khả tích

(intergrable) trên [a, b]

Cm: because f(x) continuous in closed interval (khoảng đóng) [a, b] derive (suy ra) f(x)

liên tục đều (uniformly continuous) in [a, b] do đó (therefore) with any (bất kì) ε > 0 luôn

(always) tìm được (found) 1

ε > 0 sao cho (so that)

[ ] ( ) ( )

( )

i i 1 1 i 1 i i i 1 i

n n n

i i i i i

x 0 i 1 i 1 i 1 i

x x with x , x a,b always have f x f x

. x x b a lim . x 0

− − −

= = =

∆ →

− < ε ∈ − < ε ⇒ ω < ε

⇒ ω ∆ < ε ∆ < ε − ⇒ ω ∆ = ∑ ∑ ∑

Do đó (therefore) f(x) khả tích in [a, b]

* Theorem 3 third: If f(x) bị chặn (bounded) and đơn điệu (monotone) in [a, b] derive f(x)

khả tích (intergrable) in [a, b]:

4

Cm: giả sử f(x) đơn điệu tăng in [a, b],

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( ) [ ]

1

n n

i 1 i i 1 i i 1 1

i 1 i 1

n

i i

x 0 i i 1

because f x don dieu tang nên f b f a 0

f b f a

cho x , i 1,n . x f x f x f b f a

lim . x 0 therefore f x intergrable in a,b

−

= =

∆ → =

ε

ε = − >

−

∆ < ε = ⇒ ω ∆ < ε − = ε − = ε    

⇒ ω ∆ =

∑ ∑

∑

* Examples (VD):

( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]

[ ]

( [ ] )

1

2

0

1 n

2 2

i i

x 0 i 0 i 1

i i 1 i i i

i

2

* Calculate I x .dx because f x continuous lien tuc in 0,1

f x intergrable kha tich in 0,1 x .dx lim c . x

i 1 0 1 choose c x ,x , c x

n n n

chia 0,1 thành n khoang nho bang nhau

khi do x 0 n , therefore :

x .dx

∆ → =

−

=

⇒ = ∆

−

∈ = ⇒ ∆ = =

∆ → ⇔ → ∞

∫

∫ ∑

( ) ( )

1 n n 2

2

3 3 n n n 0 i 1 i 1

i 1 1 1 1 n n 1 2n 1

lim . lim i lim .

→∞ →∞ →∞ = =

n n 6 3 n n

  + +

= = = =     ∫ ∑ ∑

( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]

( )

( )

b

a

o i i i

b

i

a

* Calculate I sin x.dx because f x sin x continuous lien tuc in 0,1

f x intergrable kha tich in 0,1

therefore do dó can be choose phan diem sao cho :

b a x a,...x a ih with h , i 1,n khi do max x x h

n

choose c a i 1 h sin x.dx li

= =

⇒

−

= = + = = ∆ = ∆ =

= + − ⇒ =

∫

∫

( ( ) )

( ( ) ) ( )

( )

n

i

h 0i 1

n

n n

i 1

i

i 1 i 1

m sin c .h

sin a i 1 h .h.2sin h/2

dat A sin c .h sin a i 1 h .h

2sin h/2

→ =

=

= =

+ −

= = + − =

∑

∑

∑ ∑

5

( ) ( )

( )

n

i 1

b

h 0

a

h h cos a i 1 h cos a i 1 h .h

2 2

h

2sin

2

h 1 h h h cos a cos a n h cos a cos b h

2 2 2 2 2

h h 2sin 2sin

2 2

because a nh b

h

2 h

I sin x.dx lim cos a h 2

sin

2

=

→

          + − − − + − +        

=

                    − − + −       − − −                

= =

+ =

  ⇒ = = − 



∑

∫

h

cos b cosa cos b

2

       − − = −       

4/ Các tính chất của tích phân xác định:

1/ Trong định nghĩa ta giả thiết a < b, if a < b thì ta hiểu là hướng lấy tích phân thay đổi.

Khi ấy ta có phân hoạch:

( ) ( )

a b

o 1 n i i 1 i

b a

a x x ... x b x x x 0 f x dx f x dx = > > > = ⇒ ∆ = − < ⇒ = − + ∫ ∫

2/ Tích phân xác định ko phụ thuộc biến: ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x dx f t dt f y dy = = ∫ ∫ ∫

3/ ( )

a

a

f x dx 0 = ∫

( ) ( ) ( )

( ) [ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

b c b

i i i i i i i i

i a i a i c

b c

i i i i i

x 0 x 0 x 0 i i i i a i a

4 / f x dx f x dx f x dx

Cm : gia su a c b and f x kha tich tren a,b . Xét 1 phân diem P trong do diem c

dc chon làm diem chia : f d . x f d . x f d . x d x

lim f d . x lim f d . x lim f d

= = =

∆ → ∆ → ∆ → = =

= +

< <

⇒ ∆ = ∆ + ∆ ∈ ∆

⇒ ∆ = ∆ +

∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑

∑ ∑

( ) ( ) ( )

b

i

i c

b c b

a a c

. x

f x dx f x dx f x dx

=

∆

⇒ = +

∑

∫ ∫ ∫

6