Tích phân và ứng dụng trong giải toán trung học phổ thông.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẶNG THỊ THÚY VÂN

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG

GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 1: TS. Phan Đức Tuấn

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

11 tháng 01 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Tích phân là một khái niệm toán học, và cùng với phép toán

ngược của nó là vi phân, đóng vai trò chủ chốt trong lĩnh vực giải

tích. Giả sử, cần tính diện tích của một hình phẳng được bao bởi các

đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn

như: tam giác, hình vuông …. Nếu hình phức tạp hơn, nó được bao

bởi đoạn thẳng lẫn đường cong. Tích phân sẽ giúp ta tính được diện

tích của hình thang cong đó, và nhiều ứng dụng khác. thiện. Các nhà

toán học ở thế kỉ XVII và XVIII không dùng đến khái niệm giới hạn.

Thay vào đó, họ nói “ tổng của một số vô cùng lớn những số hạn vô

cùng nhỏ”. Chẳng hạn, diện tích của hình thanh cong là tổng của một

số vô cùng lớn những diện tích của những hình chữ nhật vô cùng

nhỏ. Hiện nay, một số phần mềm máy tính thương mại có khả năng

tính tích phân là Mathematica, Maple.

Chuyên đề này không thể thiếu trong chương trình toán THPT, và

đại học. Vì vậy xuất phát từ nhu cầu này.Tôi chọn đề tài với tên:”Tích

phân và ứng dụng trong giải toán Trung học phổ thông” để tiến hành

nghiên cứu, nhằm làm tài liệu tham khảo và huy vọng tìm ra những ví

dụ đặc sắc nhằm làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Nhằm nghiên cứu, tìm hiểu định nghĩa, tính chất, phân loại các

dạng tích phân, tích phân suy rộng và một số ứng dụng trong giải

toán THPT.

3. Đối tượng và phạm vi nghiêm cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu tích phân, phương pháp tính tích phân của các

hàm đặc biệt và ứng dụng trong giải toán THPT.

2

3.2. Phạm vi nghiên cứu

Thực hiện nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của Thầy Lê

Hoàng Trí, và các chuyên đề về tích phân, tích phân suy rộng, và

ứng dụng.

4. Phương pháp nghiên cứu

Thu thập, phân tích các tài liệu và thông tin liên quan đến tích

phân và ứng dụng.

Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn để thực hiện đề tài.

5. Bố cục của luận văn

Luận văn gồm 3 chương với cấu trúc như sau:

· Mở đầu

· Chương 1 : Nguyên hàm và tích phân

· Chương 2: Tích phân của các dạng hàm số đặc biệt

· Chương 3: Các ứng dụng của tích phân

· Kết luận

3

CHƯƠNG 1

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

1.1. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f x( ) xác định trên (a b, ) . Hàm số

F x( ) được gọi là nguyên hàm của f x( ) nếu F x( ) xác định và khả

vi trên khoảng (a b, ) và F¢(x) = f x( ) với " Œx (a b, ) .

Định nghĩa 1.1.2. Nếu hàm số f x( ) xác định trên đoạn [a b, ] , thì

F x( ) sẽ được gọi là nguyên hàm của F x( ) nếu F x( ) xác định trên

[a b, ] , khả vi trong (a b, ) và F¢(x) = f x( ) với " Œx (a b, ) , F a( ) +

¢

= f a( ) và F (b) f b( )

-

¢ = .

Định lý 1.1.1. Nếu hàm số f x( ) có một nguyên hàm F x( ) thì tập

hợp d = + {F C; C R Œ } là họ tất cả các nguyên hàm của f x( ) hay

còn gọi là tích phân bất định của f x( ) . Kí hiệu: f ( ) x dx Ú

. Trong

đó: f ( ) x dx là biểu thức dưới dấu tích phân.

1.2.BÀI TOÁN TÌM DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG

Cho hàm số y = f x( ) liên tục và không âm trên đoạn [a b, ].

Xét hình thang cong AabB, được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

f x( ) , trục hoành, và hai đường thẳng x = = a, x b . Vấn đề cần đặt

ra đi tính diện tích hình thang cong AabB này. (Hình 1.1)

Chia đoạn [a b, ] đáy của hình thang, thành một số hữu hạn

đoạn nhỏ bởi các điểm:

4

0 1 2 .....

n

a = x ·x ·x · · = x b . (1.1)

Ta gọi mỗi phép chia này là một phép phân hoạch, kí hiệu p . Trên

mỗi đoạn nhỏ D =k [ x x k k -1

, ] (k n =1, ) , ta lấy một điểm bất kì k

x .

Khi hàm số y = f x( ) không đổi trên đoạn Dk

thì trong suốt đoạn

này giá trị của hàm số là ( ) k

f x và lúc đó diện tích của hình thang

cong con bằng:

f ( ) xk ( x x k k - -1 ) .

Trong trường hợp tổng quát, nếu đoạn Dk

rất nhỏ, ta thấy ( ) k

f x

( x x k k - -1 ) là gí trị gần đúng của diện tích hình thang cong con tức

là:

Sk ª - f ( ) xk ( x x k k -1 ) .

Khi đó, nếu kí hiệu S là diện tích hình thang cong AabB thì:

( 1 )

1 1

( )

n n

k k k k

k k

S S f x x x -

= =

= ª - (1.2)

Rõ ràng nếu ta chọn phép phân hoạch p sao cho d (p ) = max

( x x k k - -1 ) càng nhỏ thì mỗi hình thang con càng gần trùng với hình

chữ nhật có đáy là Dk

và có chiều cao là ( ) k

f x .

Vậy, diện tích hình thang cong AabB là:

( )

( 1 )

0

1

lim ( )

n

k k k d

k

S f x x

p

x - Æ =

= - Â . (1.3)

Theo (1.3) nếu ứng với mỗi số e Ò0 nhỏ bao nhiêu tùy ý,tồn tại

d Ò0 , sao cho với mọi phân hoạch p mà d (p d )· và với mọi cách

lấy các điểm k

x ta đều có:

( )( 1 )

1

n

k k k

k

f x e x x S -

=

 - - · . (1.4)

Định nghĩa 1.2.1. Cho hai số thực a b, với a b £ và { 0 1 p = x x, ,...,

xk -1

, x x k n ,..., } là một phân hoạch của đoạn [a b, ] , nếu 0 1 a = x x· ·.

1

.. ... k k n x x x b -

· · · · = , với 0 1 1 , ,.., k

x x x -

,.. k n x x là các điểm chia của

5

phân hoạch p . P là tập tất cả các phân hoạch của đoạn [a b, ] và

( )

{ }

( 1 )

1,..,n

max k k k

d p x x -

Œ

= - là đường kính của phép phân hoạch p .

Cho hàm f : [a,b R ] Æ . f khả tích trên [a b, ] , nếu tồn tại I R Œ

"e d Ò0, 0 $ Ò ,"p = Œ {x0

, x1 1 ,..., xk -

, xk n ,..., x P } mà ( ) , d p k

· " d x

Π= [ xk k -1

, x ].(k n 1, ) ta có :

( )( 1 )

1

n

k k k

k

f x e x x I

-

=

 - - · .

I được gọi là tích phân xác định của hàm số y = f( ) x trên đoạn [a b, ]

và kí hiệu là:

I = ( )

b

a

Ú

f x dx . (1.5)

1.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Định lý 1.3.1. Cho hai số thực a b, với a b· . Cho hàm f : [a b, ]

Æ R . f khả tích trên [a b, ] . Khi đó f bị chặn trên đoạn [a b, ] .

Định lý 1.3.2. Cho f g, là hai hàm khả tích trên đoạn [a b, ] thì

f g + cũng khả tích trên đoạn [a b, ] , và [ ( ) ( )]

b

a

f x + = g x dx Ú

( ) ( )

b b

a a

f x dx + g x dx Ú Ú .

Định lý 1.3.3. Cho f khả tích trên đoạn [a b, ] , a Œ R thì a f khả

tích trên đoạn [a b, ] và ( ) ( )

b b

a a

a a f x dx = f x dx Ú Ú .

Định nghĩa 1.3.1.[5] Cho f : [a,b R ] Æ bị chặn, a b· . Với mọi phân

hoạch p = Œ {x0 1 , x ,..x P n} . Ta có :

( ) ( 1 )

1

,

n

k k k

k

I f p M x x -

=

= -  với Mk = Œ sup{ f ( x) / , x [ x x k k -1 ]} .

6

( ) ( 1 )

1

,

n

k k k

k

I f p m x x -

=

= -  với mk = Œ inf { f ( x) / , x [ x x k k -1 ]} .

Lần lượt là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới với phép phân

hoạch p .

Trên [a b, ] với a b· thìp = Œ {x0 1 , x ,.., x P n} và p¢ = Œ {x0 1 ¢, x¢ ¢ ,.., x P n}

Phân hoạch p được gọi là mịn hơn p¢ nếu tập tất cả các điểm chia

của p¢ được chứa trong tập các điểm chia của p .

Bổ đề 1.3.1 Cho f : , [a b] Æ ° bị chặn, a b· . Cho p p, ¢Œ P , nếu p

min hơn p¢ thì:

1. I ( f , , p p ) £ I f ( ¢) .

2. I ( f , , p p ) ³ I f ( ¢) .

Trong đó, p mịn hơn p¢ nếu tất cả các điểm chia của p¢ được chứa

trong tập điểm chia của p .

( ) ( 1 )

1

,

n

k k k

k

I f p M x x -

=

= -  với Mk = Œ sup{ f ( x) / , x [ x x k k -1 ]} .

( ) ( 1 )

1

,

n

k k k

k

I f p m x x -

=

= -  với mk = Œ inf { f ( x) / , x [ x x k k -1 ]} .

Bổ đề 1.3.2. Cho f : , [a b] Æ ° bị chặn, a b· . Với mọi p p, ¢Œ P .

Khi đó : I ( f , , p p ) £ I f ( ¢) . .

Định nghĩa 1.3.2. Cho f : , [a b] Æ ° bị chặn, a b· . ( )

*

b

a

f x dx = Ú

inf , ( )

P

I f

p

p

Œ

và ( ) ( )

*

sup ,

b

P

a

f x dx I f

p

p

Œ

= Ú

, lần lượt được gọi là tích

phân trên và tích phân dưới.

Định lý 1.3.4. Cho f : , [a b] Æ ° bị chặn, a b· . Khi đó các điều kiện

sau tương đương

1. f khả tích trên [a b, ] .

7

2. ( ) ( )

*

*

b b

a a

f x dx = f x dx Ú Ú .

3. "e Ò0,$p Œ P : I ( f , , p ) - · I f ( p e ) .

4. "e Ò0,$p ,p ¢ ¢ Œ P : I ( f , , p ) - · I f ( p e ) .

Khi đó ( ) ( ) ( )

*

*

b b b

a a a

f x dx = = f x dx f x dx Ú Ú Ú .

Định lý 1.3.5. Cho f khả tích trên đoạn [a b, ] , mà f ( x) £ g x( )

" Œx [a b, ] . Khi đó ( ) ( )

b b

a a

f x dx £ g x dx Ú Ú .

Định lý 1.3.6. Nếu f ( x) = c, , " Œx [a b] thì ( ) ( )

b

a

f x dx = - c b a Ú

.

Định lý 1.3.7. Cho f khả tích trên đoạn [a,c].(a· · b c) thì f khả

tích trên đoạn [a,b] và [b c, ]. Ngược lại cho f khả tích trên đoạn

[a,b] và [b c, ] thì f khả tích trên đoạn[a,c]. Khi đó

( ) ( ) ( )

c b c

a a b

f x dx = + f x dx f x dx Ú Ú Ú .

Định lý 1.3.8. (Định lý giá trị trung bình)

Cho f liên tục trên đoạn [a b, ] . Khi đó tồn tại cŒ[a b, ] sao cho

( ) ( )( )

b

a

f x dx = - f c b a Ú

.

1.4. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Định nghĩa 1.4.1. Cho hàm f x( ) khả tích trên [a b, ] . Khi đó với

" Œx [a b, ] , hàm f x( ) khả tích trên [a x, ]. Xét hàm F Æ :[a, ] b R

cho bởi:

( ) ( )

x

a

F = x f t dt Ú

. (1.27)

hàm F( ) x được xác định như trên được gọi là tích phân xác định

như hàm của cận trên.

8

Định lý 1.4.1. Nếu f x( ) liên tục trên [a b, ] thì F( ) x là một

nguyên hàm của f x( ) , tức là:

F¢(x) = f (x) , " Œx [a b]. (1.28)

Định lý 1.4.2. Nếu f x( ) khả tích trên [a b, ] thì F(x) liên tục trên

đoạn [a b, ] .

Định lý 1.4.3. Giả sử f x( ) liên tục trên [a b, ] và F(x) là một

nguyên hàm của f x( ) . Khi đó:

( ) (b) (a) ( )

b

b

a

a

Ú

f x dx x =F - F = F . (1.29)

Công thức này được gọi là công thức Newton-Leibnitz.

1.5. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1.5.1. Sử dụng các nguyên hàm cơ bản

1.5.2. Phương pháp phân tích Tính tích phân f( )

b

a

x dx Ú

Biến đổi f x( ) về dạng:

1

( ) ( )

n

i i

i

f x a f x

=

=Â với ( ) i

f x , i n =1, có

nguyên hàm trong bảng công thức và ai

, i n =1, là hằng số

Khi đó: f( )

b

a

x dx Ú

=

1

( )

b n

i i

a i

a f x dx

=

ÚÂ =

1

( )

n b

i i

i a

a f x dx

=

 Ú

(1.32)

1.5.3. Phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Đổi biến x t =j( ) .

Xét tích phân f( )

b

a

x dx Ú

. Trong đó f x( ) liên tục trên [a b, ] . Giả sử

thực hiện phép đổi biến x t =j( ) thỏa mãn các điều kiện:

a. j( )t liên tục trên đoạn [a b, ] .

b. j(a) = = a b ,j b( ) .

9

c. Khi t biến thiên trong đoạn [a b, ] thì x biến thiên nhưng

không ra ngoài khoảng liên tục của hàm số f x( ) . Khi đó:

( ) ( ( )) ( )

b

a

f x dx f t t dt

b

a

= j j¢

Ú Ú (1.33)

Dạng 2: Đổi biến t x =j( ) .

Xét tích phân f( )

b

a

x dx Ú

, với f x( ) liên tục trên đoạn [a b, ] . Nếu đổi

biến t x =j( ) thỏa:

a. j( ) x biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên lục trên

[a b, ]

b. f ( x)dx trở thành g (t)dt , trong đó g t( ) là một hàm số liên

tục trong khoảng đóng È ˘ j (a ),j b( ) Î ˚ thì:

( )

( )

( ) ( )

b b

a a

f x dx g t dt

j

j

= Ú Ú . (1.37)

1.5.4. Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u x( ) và v x( ) là những hàm số có đạo hàm liên tục trên

[a,b]. Khi đó:

d( ) uv = + udv vdu . (1.38)

Lấy tích phân hai vế (1.38) trên đoạn [a,b] ta được:

( )

b b b

a a a

d uv = + udv vdu Ú Ú Ú . (1.39)

Vì : ( )

b

a

d uv Ú

=

b

a

uv . (1.40)

Nên:

b b

b

a

a a

udv = - uv vdu Ú Ú . (1.41)

Công thức (1.41) được gọi là tích phân từng phần.

10

1.6. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TRUY HỒI, ĐẲNG THỨC,

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,

BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

1.6.1 Công thức tích phân truy hồi

Cho tích phân : ( , )

b

a

n

I = Ú

f x n dx .

Thiết lập hệ thức liên hệ giữa

n

I và k

I với n k, k N+

Ò Œ .

1.6.2. Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân

Dạng 1: Chứng minh một đẳng thức tích phân.

Dạng 2: Chứng minh một bất đẳng thức tích phân.

1.6.3. Giải phương trình, bất phương trình tích phân

Dạng 1: Giải phương trình tích phân.

Dạng 2: Bất phương trình tích phân.

1.7. TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1.7.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Trường hợp cận lấy tích

phân là vô hạn) Hàm số f x( ) xác định trên [a,+•) ( a hữu hạn),

nghĩa là hàm số f x( ) xác định với mọi x a ³ và khả tích trên mỗi

đoạn [a A, ] ( A aÒ ). Nếu lim ( )

A

A

a

f x dx

Æ• Ú

tồn tại và hữu hạn thì

( )

a

f x dx

+•

Ú

hội tụ và ( )

a

f x dx

+•

Ú

lim ( )

A

A

a

f x dx

Æ•

= Ú

. Nếu lim ( )

A

A

a

f x dx

Æ• Ú

không tồn tại hoặc vô hạn thì ( )

a

f x dx

+•

Ú

phân kì.

Hàm số f x( ) xác định trên (-•,a] ( a hữu hạn), nghĩa là hàm số

f x( ) xác định với mọi x a £ và khả tích trên mỗi đoạn [B b, ]

(B b· ) . Nếu lim ( )

a

B

B

f x dx

Æ-• Ú

tồn tại và hữu hạn thì ( )

a

f x dx

-•

Ú

hội tụ và