TICH PHAN

Trường THPT Lê Văn Hưu GV: Nguyễn Phi Tuấn

ĐT: 0978414932

..................................................................................................................................................

NGUYÊN HÀM

I.Kiến thức cơ bản:

1.Bài toán mở đầu:

2.Định nghĩa:

-Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x∈ (a;b) thì F'(x)=f(x).

-Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm số f(x).

-Kí hiệu: ∫

f (x)dx =F(x) +C

-Chú ý: F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên [a;b] nếu ∀x∈(a;b) ta có

F'(x)=f(x);F'(a+

)=f(a) và F'(b-

)=f(b).

3.Các tính chất:

3.1.

(

∫

f (x)dx)'= f (x)

3.2.∫

+ =∫

+∫

( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx

3.3.∫

− =∫

−∫

( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx

3.4.∫

= ∫

αf (x)dx α f (x)dx

3.5.∫

f (x)dx =∫

f (t)dt =∫

g(u)du =....

3.6.Nếu f và g là các hàm có nguyên hàm và f≤g thì ∫

≤∫

f (x)dx g(x)dx

3.7. ∫

f (ϕ(x)).ϕ'(x)dx = F(ϕ(x)) + C.

4.Sự tồn tại nguyên hàm:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

5.Bảng nguyên hàm:

NhómI: Đại số

1.∫dx = x +C

2. C

x

∫ x dx +

+

+

=

1

1

α

α

α

3. dx x C

x

∫ = ln +

1

1.∫du = u +C

2. C

u

∫u du +

+

+

=

1

1

α

α

α

3. dx u C

u

∫ = ln +

1

NhómII: Lượng giác

1.∫

sin xdx = −cos x +C

2.∫cos xdx = sin x +C

3. x C

x

∫ = tan +

2

cos

1

4. x C

x

∫ = −cot +

2

sin

1

1.∫

sinudu = −cosu +C

2.∫cosudu = sinu +C

3. u C

u

∫ = tan +

2

cos

1

4. u C

u

∫ = −cot +

2

sin

1

1

Trường THPT Lê Văn Hưu GV: Nguyễn Phi Tuấn

ĐT: 0978414932

..................................................................................................................................................

NhómIII: Siêu việt

1.∫ = +C

x

dx e

x

e

2.∫ = +C

a

x

a

dx x

a

ln

1.∫ = +C

u

dx e

u

e

2.∫ = +C

a

u

a

dx u

a

ln

II. Các phương pháp cơ bản tính nguyên hàm:

1.Phương pháp phân tích:

1.1.Đa thức,hữu tỉ:

Ví dụ 1:Tính dx

ax b

x

∫ n

( + )

2

Áp dụng: dx

x

x

∫

−

27

2

(1 )

Ví dụ 2:Tính ∫

+ +

n

ax bx c

dx

( )

2

Áp dụng:

Bài 1.∫

−3 + 2

2

x x

dx

Bài 2.∫

+ 2 + 2

2

x x

dx

Bài 3.∫

+

2

(x 2)

dx

Bài 4. dx

x x

x x x

.

5 6

2 10 16 1

2

3 2

∫

− +

− + −

Bài 5. dx

x

x x

∫

+

+ −

.

1

2 2

3

2

Bài 6.∫

+ +

2 2

(x 1) (x 2)

dx

Bài 7. dx

x x

x

.

3 2

7 4

∫ 3

− +

−

Bài 8. dx

x x

x x x

.

4 1

4 3

3 2

∫

+

− − −

1.2.Lượng giác:

Dạng 1:

( ) ( )

dx

x a x b

∫

sin + .sin +

1

Bài 1.

dx

x x

∫

+ − )

6

).sin(

4

sin(

1

π π Bài 2.

dx

x x

∫

+ − )

3

).cos(

4

sin(

1

π π

Bài 3.∫

+

dx

2sin x 1

1

Bài 4.∫

x + ) tan xdx

4

tan( π

Dạng 2:

1.3.Vô tỉ:

Bài 1.

2 1 2 3

dx

x x + − + ∫ Bài 2.

1

dx

x x + − ∫

1.4.Mũ-Logarit:

2