Thực hành giải toán tiểu học: Tập 2

TRẦN DIÊN HIỂN

Thực hành % • , /.

-1

1

" (1) 1

\

\\

\

\

\

(2)\

\

\

\

\

\

(3) ^

\

\

\

--------- ^

(1) \

\ ^ " (2)

(3)

TẬP II

NHÀ XUẤT BÀN ĐẠI HỌC su PHẠM

TRẦN DIÊN HIỂN

THỰC HÀNH

■

GIÀI TOÁN TIỂU HỌC

Tập II

(Tái bản lần thứ sáu)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM

Mâsô':ül.ü1.47ü/lüül - ĐH 2013

M Ụ C L Ụ C

'ĩ" rang

IX. Phương pháp d iện tích và các bài toán

có nội dun g hình học 4

X. Phương pháp tín h ngưỢc từ cuối =.0

XI. Phương pháp ứng dụng sơ đổ 75

XII. Phương pháp dùn g chữ th ay sô 92

XUI. Phương pháp lập bảng 116

XIV. Phương pháp biểu đồ Ven 123

XV. Phương pháp suy luận đơn giản 130

XVI. Phuơng pháp lựa chọn tình huống 13Í)

Trả lới hoặc hướng dẫn giải 147

IX. PH Ư Ơ N G P H Á P D IỆ N TÍC H VÀ CÁC BÀI

TO Á N CÓ NỘ I D U N G H ÌN H HỌC

Các bài toán có nội duiig iiình học ở tiểu học có thể chia

thành 4 nhóm:

Nhóm ỉ . Rãi toán vê nhận dạng các hình hình học.

Nhóm 2. Bài toán vê chu vi và diện tích các hình.

Nhóm 3. Bài tcán về cắt và ghép hình.

Nhúm 4. Bài toán vể Ihể tích.

ũưi‘i dây ta lần ìượt xét các dạng toán điển hình tronf»

mỗi nhóm.

1. liài toán vể nhận dạng các hình hình học

Mộỉ. sỗ kiến thức cần lưu ý:

1. Nôi 2 điểm A và B, ta thu được đoạn thẳng AB. Các

điểm A và B dược gọi là hai đầu mút của đoạn thẳng.

A|--------------------------------

2. Kéo dài mâi (ìoạn thẳng AB vê hai phía ta được

đường thẳng AB.

A n

3. Hình tam giác có 3 đỉnh, 3 cạnh và 3 góc.

Tam giác ABC có 3 đỉnh là A,

B, c, có 3 cạnh là AB, BC và AC và

3 góc là góc A, góc B và góc c.

'I clin ü iiic \ B ( ' C(') 1 U(K \ u0nü

:i)i lii lam üiac \ Lionjj

. ('

4. Hình uV tiiác có 4 cliiili. 4

cạnh vil 4 ịióc.

I'ú giác ABC'D có 4 diiili là A. ' ___ ^

B. c . D; 4 cạiili là AB. BC. CD vá <■

AD; 4 uóc là eóc A. góc IỈ. góc c \;i

üóc 13.

1 lình fhCr nhật là niõt lứ uiác có hôn ÌÍIK' \ uoii<j

I lìiih chứ nliại /\B C I) ci'i luii

cliicii tlài /\D \ à BC hãng Iiliaii \a

s o n g S d ii” vcVi Iih a ii; h a i c liic L i rộ n g

AV và CD hăng nhau và song song

\ớ i nhiiụ

(ì. Hình vuông là tứ giác cù 1

cạnh bằng nhau \’à 4 góc vuông.

l l ì i i l i v u ô n g lii l i ì n h c h ữ n l l ậ t

có 4 cạnh b^ng nhau.

- ìĩinh vuông ABCD có 4 cạnh

AB, I'Ấ', CD và AD đều bàng nh.-u￾7. là tứ giác

C(J liai c<7nh song sc.ig.

A .0

Hình thang ABCD có hai cạnh AD và BC song song. AD

là đáy lón, BC là đáy nhỏ, AB

và CD là các cạnh bên. B|----------------------- ,c

Hình thang ABCD có các

góc A. B vuông là hình thang

vuông. A D

8. Diểm o là tâm của hình tròn.

Dường bao quaiih hình tròn gọi là

đưòng tròn.

Doạn tliẳng nói tâm 0. vói một

đlcm nằm trên đường tròn gọi là bán

kính. Các báii kính của đưòng tròn

đều ìiằng n' r..u. Các io«n OA, Olỉ, CM là các bán kính.

Doạn thẳng nCÌ 2 điểm trên đừòng tròn và đi qna tâm

gọi là đưòng kính, Doạn AB gọi là đưòng kính.

Vi DỤ I

Cho 5 điểm A, B, c, D, E. Hỏi khi nôl chúng lại ta đưỢc

bao nhiêu doạn thảng ?

LỜI GIẢI

Cách 1. (Phương pháp liệt kê). Ta nhận xét:

- Có 4 đoạn thẳng chung đầu mút A là AB, AC, AD và AE,

- Có 3 đoạn thẳng chung đầu mút B là BC, BD và BE.

- Có 2 đoạn thẳng chung đầu mút c là CD và CE.

- Có 1 đoạn thẳng có đầu mút Đ là DE.

(Các doạn thẳng dếm rồi ta không đêni lại nữa).

Vậv sô doạn thẳng có được khi nối 5 diếm đó vài nhau là;

4 + 3 + 2 + 1=10 (doạn thẳng).

Cách 2. (Phương phá]) quy nạp). Ta nhận xét:

- Nếu có 2 điểm thì klii nôi cliúnR lại ta được một àoạn

thẳng. Ta có:

1=0+1

- Ntu có 3 điểm thì khi nỏ'i chúng lại ta được 3 đoạn

tháng. Ta có:

3 = 0 + 1 + 2

Vậy lút ra quy luật ở dây là: Nóu có n điểm thì khi nói

chúng lại ta ciược:

0 + 1 + 2 + ... + (n - 1) = n X (n - 1) : 2 (ùoạn thẳng)

Áp dung quy luật trôn nếu có 5 diổin thì nui chúng lại

ta dược sô' đoạn thẳng là:

5 X (5 - 1) : 2 = 10 (doạn thẳn g).

Cách 3 . Nôi điổm A với inỗi diếlll còn lọi, tn QÕ điídc 4

đoí.n thẳng. Như vậy khi nôi 5 điếm đó 'ới nhau ta sẽ đưỢc

4 X 5 = 20 (đoạn thẳng). Lúc này mỗi đoạn thảng đưỢc kể

dôn 2 lán. Vì vộv sô đoạn thanií c!ếm được khi nôi 5 f*;ểm đã

cho vối nhau là:

20 : 2 = 10 (doạn thầng).

Cách 4. Ta có sơ đồ:

(4)

(3)

(2)

(1)

Sô đoạn thảng đếm được là:

4 + 3 2 + 1 = 10 (đoạn thẳng).

v i DỤ 2

Chc 5 điểm. Hỏi khi nôi 5 điểm đó vói nhau ta đưỢc bao

nhiêu đoạn thảng?

LỜI GIẢI

Trưỏc hốt ta gọi tên õ điểm đó, chẳng hạn là A, B, c , D,

E, rồi giải như trong ví dụ 1.

v i DỤ 3

Cần ít nhâ't bao nhiêu điểm để khi nô'i chúng lại ta đưỢc

6 đoạn thẳng?

LỜI GIẢI

Ta nhận xét:

- Nếu có 3 điểm thì khi nôi chúng lại ta đưỢc 3 đoạn

thẳng

- Nếu có 4 điểm thì khi nôì chúng lại ta đưỢc:

n = 4x(4-l):2 = 6 (đoạn thẳng)

Vậy để nô'i lại được 6 đoạn thẳng ta cần ít nhâ't 4 điểm.

8

v i DỤ 4

Cho tam giác ABC. Trên Cî'nh IK’ ta lấy '1 điểm D, E.

M. N. Nôi đỉnh A vối 4 diểm ''ừa lây, Hỏi dôm đưỢc bao

nhiêu tam giác trên hình vẽ?

I.ỜI GIAI

Cách 1. (Phương pháp liệt

kê)

- Có 5 tam giác chung cạnh

AB là ABD, ABE, ABM, ABN và

ABC.

A

c

- Có 4 tam giác chung cạnh

AD là ADE, ADM, ADN, ADC.

- Có 3 tam giác chung cạnh AE là AEM, AEN, AEG.

- Có 2 tam giác chung cạnh AM là AMN, AMC.

- Có 1 tam giác chung cạnh AN !? ANC.

(Các tam giác đếm rồi ta không đếm lại nữa).

Vậy sô tam giác đếm được trên hình vẽ là;

5 + 4 + 3 + 21-1 = 15 (tam Riác).

Cách 2. (Phương pháp lắp ghép)

N hìn trên hình vẽ ta thây:

- Có 5 tam giác đơn: (1), (2), (3), (4). (5).

- Cỏ 4 tam giác ghép đôi: (1) + (2), (2) + (3), (3) + (4),

(1) + (5).

- Có 3 tain giác ghép 3; (1) + (2) + (3), (2) + (3) + (4),

{■¿) + (4) + (5).

9

- Có 2 tam giác ghép 4: (1) + (2) + (3) + (4), (2) + {'o, -f-

(4) + (5).

- Có 1 tam giác ghép 5: (1) + (2) + (3) + (4) + (5).

Vậy sô" tam giác đếm đưỢc lè;

5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (tam giác)

Cách 3. Ta nhận xét: Nối hai đầu mút của mỗi đoạn

thẳng tạc thành trên cạnh đáy BC vói đỉnh A ta đuợc một

tam giác. Vậy sô” tam giác đém đưỢc trên hình vẽ bằng sô

đoạn thẳng đếm được trên cạnh đáy BC. Trên cạnh dáy BC

có tất cả 6 điểm B, c , D, E, M và N. Áp dụng kết quả trong

ví dụ 1 (phúđng pháp quy nạp) 1-a có sô' đoạn thí-ng đếm

đưỢc là:

n = 6 X (6 - 1) : 2 = 15 (đoạn thẳng).

Vậy ta đếm được 15 tam giác trên hình vẽ.

Cách 4. (Phương pháp quy riạp). Ta nhận xét:

- Nếu trên cạnh BC, tí* lây 1

điểm và nỐì với điểm A thì ta đếm

được 2 tam giác đơn và tổng sô’

tam giác cìếm được là:

3 = 1 + 2

- N ếu trên cạnh BC, ta lấy 2

điểm và nối vối đỉnh A thì ta đếm

đưỢc 3 tam giác đơn và tổng sô'

tam giác đếm đưỢc là:

6 = 1 + 2 + 3

Vậy quy luật ở đây là: Nêu trên cạnh đáy BC ta lấy n

điểm và nô'i chúng với đỉnh A thì ta sẽ đếm được (n + 1) lam

1.0

giác dờn và sô tam giác đếm diídc là:

1 + 2 + 3 + ... + (n + 1) = (n + 2) X (n + 1) : 2 (tam giác)

Áp dụng: Trên cạnh dáy BC lấy '1 điểm thì số tam giác

dơn đếm được là 5 và sô" tam giác đêm (lược là:

(4 + 2) X (4 + 1) : 2 = 15 (tam giác).

Vi n ụ 5

Cho 5 điểm A, B, c , D, E, trong dó không có 3 điểm nào

cùng nằm trên một doạn thang. Khi nối 5 điểm đó vối nhau,

ta được bao nhiêu tam giác?

LỞI GIẢI

Ta nhận xét:

- Có 6 tam giác chung đỉnh A là: ABC, ABD, ABE,

ACD, ACE và ADE.

- Có 3 tam giác chung đỉnh B là: HCD, BCE, BDE.

- Có 1 tam giác đỉnh c là CDE.

(Các tam giác đếm rồi, ta không đôni lại nữa)

Vậy sô’ tam giác đếm được là:

6 + 3 + 1 = 10 (tam giác).

v i DỤ 6

Cần ít nhất bao nhiêu diểm dể khi nôì chúng lại ta được

4 hình tam giác?

LỜI GIẢI

Ta nhận xét:

- Nếu có 3 điểm (không cùng nằm trên một đoí.n thẳng)

11

thì khi nối chúng lại ta được 1 hình tam giác.

- Nếu có 4 điểm (trong đó

không có 3 diểm nào cùng nằm

trên một đoạn thẳng) thì khi nôì

cbúng lại ta đưỢc 4 hình tam giác.

Vậy cần ít nhất 4 điểm để khi

nôi chúng lại ta được 4 hình tam giác.

v i DỤ 7

Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 4 cm, chiểu

rộng AB = 3 cm. Chia chiểu dài thành 4 đoạn bằng nhau và

chiểu rộng thành 3 đoạn bằng nhau rồi nôi các điểm chia

như hình vẽ.

a/ Hỏi đếm đưỢc bao nhiêu hình chữ nhật trèn ìùnh vẽ ?

b/ Tính tổng các chu vi và tổng các diện tích của các

hình vuông tạo thành.

E E I H c

(1) (21 (3) (4)

K T 0

(5) (6) (7) (8)

(9) (10) (11) (!2l

D

LỜI GIẢI

Cách 1:

a/ Trưốc hết, ta đếm các hình chữ nhật tạo bởi hai đoạn

12

BC và MN:

- Có 4 hinh chang cạnh MB là: M13EK, MBIT, MBHO

và MBCN.

- >;ó 3 hình chung cạnh EK là: KKIT, KEHO, KECN.

- Có 2 hình chung cạnh TI là: TIHO và TICN.

- Có l hình có cạnh OH là OHCN.

Vậy sô' hình 'Jliu nhật tạo thành bởi hai đoạn BC và MN là:

4 + 3 + 2 + 1 = 10 (hình)

Tương tự, la tính được su hình chữ nhật được tạo thành

do mỗi cặp đoạn thẳng MN và PQ. PQ và AD, BC và PQ,

BC và AD, MN và AD đều bằng 10.

Vì vậv, sô’ hình chữ nhật dếm được trên hình võ là:

10 X 6 = 60 (hình)

h/ Ta nhận xét:

Trên hình vẽ có:

- 12 hình vuông cạnh Icm là (1), (2), (3), (12).

- () hình vuông cạnh 2cm là (1 + 2 + 5 + 6), (2 + 3 + 6 + 7),

(3 + 4 + 7 + 8), (5 + 6 + 9 + 10), (6 + 7 + 10 + 11) và (7 + 8 +

11 + l ‘¿).

~ 2 hình vuông cạnỉi 3cm là(l + 2 + 3 + S + 6 + 7 + 9 +

10 + 11), (2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 10 + 11 + 12).

Suy ra:

TốnịỊ các chu vi của các hình vuông là:

1 x 4 x 1 2 + 2 x 4 x 6 + 3 x 4 x 2 = 120 (cm)

Tổng các diện tích của các hình vuông là:

13