Tác động nhóm và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

______________

HOÀNG VĂN TUẤN

TÁC ĐỘNG NHÓM VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số : 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – 2017

Công trình được hoàn thành tại

Đại học Đà Nẵng

______________

Người hướng dẫn Khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: ……………………………………………………

Phản biện 2: ……………………………………………………

Luận văn sẽ được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn thạc sĩ khoa

học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày … tháng … năm 2017.

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Tác động nhóm là một trong các nội dung cơ bản của lý thuyết nhóm,

có nhiều ứng dụng quan trọng không những trong lý thuyết nhóm mà còn cả

trong một số lĩnh vực khác của toán học. Trong các giáo trình lý thuyết nhóm

bậc đại học, nội dung tác động nhóm chưa đề cập nhiều, vì vậy nhằm tìm

hiểu tác động nhóm và những ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài luận văn thạc

sĩ của mình là: Tác động nhóm và ứng dụng.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cấu trúc nhóm và p – nhóm hữu hạn

- Nghiên cứu tác động của nhóm trên một tập hợp, trên một nhóm

- Khảo sát những ứng dụng của tác động nhóm

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nhóm, nhóm hữu hạn và p - nhóm hữu hạn

- Tác động của nhóm trên một tập hợp và trên một nhóm

- Những ứng dụng của tác động nhóm

4. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan đến

nội dung đề tài. Đặc biệt là các tài liệu về tác động nhóm

- Phân tích, khảo sát các tư liệu thu thập được

- Tự nghiên cứu và trao đổi với giáo viên hướng dẫn để thực hiện đề tài

5. Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được chia thành 3 chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại những kiến thức cơ bản của cấu trúc nhóm,

p - nhóm và một số khái niệm, kết quả của đại số hiện đại để làm cơ sở cho

các chương sau.

1.1. Nhóm và p – nhóm hữu hạn

2

1.2. Một số khái niệm và kết quả trong số học và đại số tuyến tính

Chương 2: Tác động nhóm

Chương này trình bày những kiến thức cơ sở của tác động nhóm trên một

tập và trên một nhóm, cùng một số tính chất và kết quả liên quan.

2.1. Tác động nhóm trên một tập hợp

2.2. Ví dụ về tác động nhóm trên một tập hợp

2.3. Tác động nhóm trên một nhóm

2.4. Ví dụ về tác động nhóm trên một nhóm

Chương 3: Ứng dụng của tác động nhóm

Chương này trình bày một số ứng dụng của tác động nhóm trong lý

thuyết nhóm, trong số học và trong đại số tuyến tính.

3.1. Ứng dụng của tác động nhóm trong lý thuyết nhóm

3.2. Một số ứng dụng của tác động nhóm trong số học và đại số tuyến

tính

3

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại những kiến thức cơ bản của cấu trúc nhóm,

p - nhóm và một số khái niệm, kết quả của đại số hiện đại để làm cơ sở cho

các chương sau.

1.1. Nhóm và p - nhóm hữu hạn

Định nghĩa 1.1.1. Cho một tập không rỗng G và một phép toán hai

ngôi trên G được ký hiệu bởi •, cặp (G, •) được gọi là một nhóm nếu

(i) Với mọi x, y, z ∈ G,(x • y) • z = x • (y • z)

(ii) Tồn tại một phần tử ký hiệu e ∈ G, gọi là phần tử đơn vị, sao cho

x • e = e • x = x, với mọi x ∈ G.

(iii) Với mỗi x ∈ G có một phần tử nghịch đảo trong G, nghĩa là có một

phần tử x

−1 ∈ G sao cho x • x

−1 = x

−1 • x = e

Nếu với mọi x, y ∈ G, x • y = y • x thì (G, •) được gọi là một nhóm abel

(hay nhóm giao hoán).

Nếu không sợ nhầm lẫn với phép toán, ta còn nói G là một nhóm thay

cho nhóm (G, •).

Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn nếu G là một tập hữu hạn. Lúc đó

số phần tử của tập hợp G được gọi là cấp của nhóm G và ký hiệu là |G|. Nếu

nhóm G không phải là nhóm hữu hạn thì ta nói G là nhóm (có cấp) vô hạn.

Định nghĩa 1.1.2. Một nhóm có cấp là một lũy thừa của một số nguyên

tố p được gọi là một p - nhóm.

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử G là một nhóm. Một tập con không rỗng

S ⊂ G được gọi là một nhóm con của G nếu S khép kín đối với luật hợp

thành trong G và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo trong G, tức là:

• ∀x, y ∈ S, xy ∈ S

• ∀x ∈ S, x−1 ∈ S.

4

Mệnh đề 1.1.4. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm X.

Các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) A là một nhóm con của X.

(ii) Với ∀x, y ∈ A, xy−1 ∈ A.

Định nghĩa 1.1.5.

(i) Nhóm H được gọi là p - nhóm con của G nếu H vừa là một nhóm con

của G vừa là một p - nhóm.

(ii) Nhóm H được gọi là p - nhóm con Sylow của G nếu H là một

p - nhóm con của G và |H| = p

n

là lũy thừa cao nhất của p chia hết |G|.

Định nghĩa 1.1.7. Cho G là một nhóm và X là một tập con khác rỗng

của G. Nhóm con của G sinh bởi tập X là giao tất cả các nhóm con của G

chứa X, ký hiệu hXi

hXi = {x1

ε1 x2

ε2

...xn

εn /xi ∈ X, εi = ±1, n ∈ N}.

Định nghĩa 1.1.9. Một nhóm X gọi là cyclic nếu và chỉ nếu X được

sinh ra bởi một phần tử a ∈ X, kí hiệu hai. Phần tử a được gọi là một phần

tử sinh của X.

Nhóm cyclic cấp n được ký hiệu là C(n) hoặc Cn.

Mệnh đề 1.1.10. Mọi nhóm con của một nhóm cyclic là nhóm cyclic.

Định nghĩa 1.1.11. Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn vị e, a ∈ G.

Nếu a

m 6= e, ∀m ∈ N

∗

thì a gọi là có cấp vô hạn. Nếu m là số nguyên dương

nhỏ nhất sao cho a

m = e thì m được gọi là cấp của a. Cấp của phần tử a được

ký hiệu là ord(a).

Từ định nghĩa trên ta có ord(a) =

hai

, ord(a) = e ⇔ a = e.

Định nghĩa 1.1.12. Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G.

Khi đó với mỗi a ∈ G, các tập hợp aH = {ah, h ∈ H} và Ha = {ha, h ∈ H}

lần lượt được gọi là lớp kề trái và lớp kề phải của H trong G bởi phần tử a.

Mệnh đề 1.1.13. Hai lớp kề trái của H hoặc trùng nhau hoặc không có

phần tử nào chung, các lớp kề phải cũng vậy. Như thế, nhóm G được phân

hoạch thành hợp rời của các lớp kề trái (tương ứng, các lớp kề phải).

5

Định nghĩa 1.1.14. Cho G là một nhóm và H ≤ G. Ta gọi tập gồm tất

cả các lớp kề trái của H trong G là tập thương của G trên H và kí hiệu G/H.

G/H = {xH/x ∈ G}.

Lực lượng của tập G/H các lớp kề trái của H trong G được gọi là chỉ số

của nhóm con H trong nhóm G, và được ký hiệu là [G : H].

Định nghĩa 1.1.15. Cho G là một nhóm với phép toán nhân, một nhóm

con A của G được gọi là một nhóm con chuẩn tắc của G, kí hiệu A / G nếu:

∀g ∈ G, ∀x ∈ A, g−1xg ∈ A.

Mệnh đề 1.1.16. Giả sử A là một nhóm con của nhóm một nhóm G.

Các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) A là một nhóm con chuẩn tắc.

(ii) xA = Ax với mọi x ∈ G.

Khi A là nhóm con chuẩn tắc của G, thì các lớp kề trái, lớp kề phải của

A được gọi là các lớp kề của A trong G.

Mệnh đề 1.1.17. Cho G là một nhóm. Ký hiệu

Z(G) = {a ∈ G : ax = xa, ∀x ∈ G}.

Khi đó Z(G) là một nhóm con chuẩn tắc của G, gọi là nhóm con tâm của

nhóm G.

Mệnh đề 1.1.18. Nếu H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G thì

G/H cùng với phép nhân (xH).(yH) = (xy)H, với ∀x, y ∈ G lập thành một

nhóm.

Định nghĩa 1.1.19. Nhóm G/H được gọi là nhóm thương của nhóm G

theo nhóm con chuẩn tắc H.

Mệnh đề 1.1.20. Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của Z(G).

Khi đó, nếu G/H là nhóm cyclic thì G là nhóm abel.

Định lý 1.1.21. (Lagrange) Giả sử G là một nhóm hữu hạn và H là

một nhóm con bất kỳ của nó. Khi đó |G| là một bội của |H|.