Tác động nhóm trên tập hợp và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ ANH ĐÀO

TÁC ĐỘNG NHÓM

TRÊN TẬP HỢP VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 1: TS. Lê Hải Trung

Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Gia Định

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc

sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 25 tháng 5 năm

2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Tác động nhóm là một phần của lý thuyết nhóm, có nhiều ứng

dụng quan trọng không những trong lý thuyết nhóm mà còn cả một

số lĩnh vực khác của toán học. Nhằm tìm hiểu tác động của nhóm

trên một tập hợp và những ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài luận văn

thạc sĩ của mình là: ‘‘ Tác động nhóm trên tập hợp và ứng dụng ”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cấu trúc nhóm và p – nhóm

- Nghiên cứu tác động của nhóm trên một tập hợp

- Khảo sát những ứng dụng của tác động nhóm trên một tập

hợp.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Các nhóm hữu hạn và p – nhóm hữu hạn.

- Tác động của nhóm trên một tập hợp.

- Những ứng dụng của tác động nhóm trong lý thuyết nhóm,

trong đại số tuyến tính.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Thu thập và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên

quan đến nội dung đề tài. Đặc biệt là các tài liệu về tác động nhóm.

- Phân tích, khảo sát các tư liệu thu thập được.

3. Trao đổi thảo luận với người hướng dẫn.

5. Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Nhóm và p – nhóm

Chương này trình bày sơ lược về cấu trúc nhóm, p – nhóm và

một số kiến thức cần thiết làm tiền đề cho chương sau.

2

Chương 2: Tác động nhóm và ứng dụng.

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày tác động

của nhóm trên một tập hợp cùng một số ứng dụng của nó trong lý

thuyết nhóm và đại số tuyến tính.

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Nguyễn Ngọc Châu, người trực tiếp hướng dẫn tác giả thực hiện luận

văn này và là người đã định hướng cho tác giả nhiều phương pháp

học tập, nghiên cứu. Nhân đây, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn

Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học,Khoa Toán học trường đại học

Sư Phạm – Đại học Đà nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả

trong suốt quá trình học tập; gia đình, bạn bè đã cùng chia sẻ, động

viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, và nghiên cứu.

3

CHƢƠNG 1

NHÓM VÀ p – NHÓM

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả của lý

thuyết nhóm và đại số tuyến tính để chuẩn bị cho chương sau, các

chi tiết liên quan có thể tìm xem trong các tài liệu về lý thuyết nhóm

và đại số tuyến tính

1.1. NHÓM VÀ p- NHÓM HỮU HẠN

1.1.1. Định nghĩa (nhóm)

1.1.2. Định nghĩa

Một nhóm có cấp là một lũy thừa của một số nguyên tố p được

gọi là một p – nhóm.

1.1.3. Định nghĩa

Giả sử G là một nhóm. Một tập con không rỗng

S G 

được

gọi là một nhóm con của G nếu S khép kín đối với luật hợp thành

trong G (tức là

xy S  với mọi

x y S , 

) và khép kín đối với

phép lấy nghịch đảo trong G (tức là

1

x S  

với mọi

x S 

).

Ta dùng kí hiệu

S G để chỉ S là một nhóm con của G. Đối

với nhóm G bất kì,

e

và G luôn là các nhóm con của G. Các

nhóm con khác (nếu có) được gọi là nhóm con thực sự (hay không

tầm thường) của G.

1.1.4. Mệnh đề [7]

1.1.5. Định nghĩa

i) Nhóm H được gọi là p – nhóm con của G nếu H vừa là

một nhóm con của G vừa là một p – nhóm.

ii) Nhóm H được gọi là một p - nhóm con Sylow của G nếu

H là một p – nhóm con của G và |H| =

n

p

là lũy thừa cao nhất

của p chia hết |G|.

4

1.1.6. Định nghĩa

Nhóm con thực sự M của G được gọi là nhóm con cực đại của G

nếu không có nhóm con H nào của G để M < H < G.

1.1.7. Mệnh đề [5]

Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của một nhóm G cũng là

nhóm con của G.

1.1.8. Định nghĩa

Cho G là một nhóm và X là một tập con khác rỗng của G.

Nhóm con của G sinh bởi tập hợp X là giao của tất cả các nhóm

con của G có chứa X, kí hiệu

X .

X

= {

1 2

1 2

n

n

x x x

 





/

i

x X  ,

i



=



1, n là một số nguyên

dương}.

1.1.9. Nhận xét

X

là nhóm con nhỏ nhất của G có chứa X. Nếu

X

= G

thì ta nói G là nhóm được sinh bởi X và X là tập sinh của G.

1.1.10. Định nghĩa

Một nhóm có ít nhất một tập sinh hữu hạn được gọi là nhóm

hữu hạn sinh.

1.1.11. Định nghĩa

Một nhóm X gọi là cyclic nếu và chỉ nếu X được sinh ra bởi

một phần tử a



X, kí hiệu

a

. Phần tử a được gọi là một phần

tử sinh của X.

Nhóm cyclic cấp n được kí hiệu là C(n).

1.1.12. Định nghĩa

Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn vị 1,

a G

. Nếu

*

1, m

a m    thì a gọi là có cấp vô hạn. Nếu m là số nguyên

dương nhỏ nhất sao cho

1

m

a 

thì m được gọi là cấp của a. Cấp

của phần tử a được kí hiệu là ord(a).

Từ định nghĩa trên ta có ord(a) =

a

, và ord(a) = 1

 a = 1.

5

1.1.13. Bổ đề

Cho X là một nhóm với phần tử đơn vị e, a



X có cấp là n.

Khi đó

k

a

= e khi và chỉ khi n | k.

1.1.14. Mệnh đề

Cho X và Y là những nhóm cyclic có cấp là m và n. Khi đó

X



Y là nhóm cyclic khi và chỉ khi (m, n) = 1.

1.1.15. Định nghĩa

Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Khi đó

với mỗi

a G , các tập hợp

aH ah h H { , }  

và

Ha ha h H { , }  

lần lượt được gọi là lớp kề trái và lớp kề phải

của H trong G bởi phần tử a.

1.1.16. Mệnh đề [5]

1.1.17. Định nghĩa

Cho G là một nhóm và H



G. Ta gọi tập gồm tất cả các lớp

kề trái của H trong G là tập thương của G trên H và kí hiệu G / H

G / H = {xH / x



G}.

Lực lượng của tập G/H các lớp kề trái của H trong G được

gọi là chỉ số của nhóm con H trong nhóm G, và được kí hiệu là

G H: .

1.1.18. Định nghĩa

Cho G là một nhóm với phép toán nhân, một nhóm con A của

G được gọi là một nhóm con chuẩn tắc của G, kí hiệu A



G nếu

1

g G x A g xg A , , .

     

1.1.19. Mệnh đề [7]

Giả sử A là một nhóm con của một nhóm G. Các điều kiện

sau đây là tương đương:

i) A là một nhóm con chuẩn tắc

ii)

xA Ax 

với mọi

x G .