Sử dụng phép vị tự để giải một số bài toàn trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————————-

ĐẶNG THANH CẦU

SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————————-

Đặng Thanh Cầu

SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Minh

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 4

1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Tâm vị tự của hai đường tròn. . . . . . . . . . . . 4

1.2. Các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Chương 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ 13

2.1. Bài toán chứng minh tính chất hình học . . . . . . . . . 13

2.2. Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4. Bài toán tính đại lượng hình học . . . . . . . . . . . . . 48

Chương 3. TÍCH CỦA PHÉP VỊ TỰ VỚI MỘT PHÉP

BIẾN HÌNH CƠ BẢN 51

3.1. Phép vị tự-quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.2. Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2. Phép vị tự-đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.2. Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3. Tích của hai phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.2. Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

Mở đầu

Phép vị tự chiếm một vị trí quan trọng trong hình học sơ cấp nói

chung và các phép biến hình nói riêng. Việc sử dụng nó để giải quyết

các bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết; đặc biệt trong nhiều bài

toán, nếu không sử dụng phép vị tự thì việc tìm một lời giải trở nên rất

khó khăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép vị tự sẽ giúp cho

bài giải trở nên súc tích và đẹp đẽ hơn.

Phép vị tự là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiện

như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến

hình. Trong mỗi bài toán có sử dụng phép vị tự để giải thì nó là một

mắt xích quan trọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tư duy.

Ngoài ra, phép vị tự còn là một công cụ tư duy hữu ích để phát triển

các bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó. Điều đó

khiến cho người học toán không những phát triển được kiến thức hình

học của mình mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán.

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1. Kiến thức cơ bản. Chương này trình bày định nghĩa

về phép vị tự và các tính chất cơ bản của nó. Ngoài ra, trong chương

còn đề cập đến vấn đề tìm tâm vị tự của hai đường tròn để hỗ trợ cho

việc vẽ hình và giải toán.

Chương 2. Một số bài toán sử dụng phép vị tự. Chương này

trình bày một số bài toán hình học sơ cấp có sử dụng phép vị tự để giải.

Về cơ bản, các bài toán này được chia làm bốn thể loại thường gặp, đồng

thời tác giả cũng đưa ra một số định hướng khi tìm lời giải cho các dạng

toán này.

Chương 3. Tích của phép vị tự với một phép biến hình.

Chương này trình bày lý thuyết cơ bản và một số bài toán sử dụng

phép biến hình là tích của phép vị tự và một phép biến hình để giải.

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình

của TS. Nguyễn Văn Minh, Trường ĐHKT và QTKD - ĐHTN. Là người

học trò đã tiếp thu được nhiều điều từ thầy, tác giả xin được bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự nghiêm khắc chỉ

bảo, hướng dẫn của thầy.

Tác giả xin cảm ơn tới các thầy cô trong Trường Đại học Khoa học -

Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học. Đồng

thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học toán K3A, trường

Đại học Khoa học đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

và làm luận văn này.

Tác giả xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT tỉnh Tuyên Quang, Ban Giám

hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Sơn Dương đã tạo mọi điều kiện

giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn.

Tuy nhiên, do năng lực bản thân và thời gian nghiên cứu có hạn nên

không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ

bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng độc giả quan tâm tới luận

văn này.

Thái Nguyên, ngày ...tháng ... năm 2011

Tác giả

Đặng Thanh Cầu

5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1. Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một

số k 6= 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm

M0

sao cho −−→OM = k

−−→

OM0 được gọi là phép vị tự tâm O tỷ số k. Phép

biến hình này được ký hiệu là V

k

O

. Điểm O được gọi là tâm vị tự, số k

gọi là tỷ số vị tự.

Nếu k > 0 thì phép vị tự gọi là phép vị tự dương hay thuận, nếu

k < 0 thì phép vị tự gọi là phép vị tự âm hay nghịch (Hình 1.1).

1.1.1. Các trường hợp đặc biệt

Hình 1.1

Nếu tỷ số vị tự k = 1 thì

−−→OM =

−−→

OM0

tức là M0 ≡ M, lúc

ấy phép vị tự là phép đồng nhất.

Nếu tỷ số vị tự k = −1 thì

−−→

OM0 = −

−−→OM, tức là O là trung

điểm của MM0 hay phép vị tự là phép đối xứng tâm O.

1.1.2. Tâm vị tự của hai đường tròn.

Với phép vị tự V

k

O

biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I

0

, R0

)

thì ta có R = |k|R0 hay k =

R0

R

hoặc k = −

R0

R

. Khi đó

−→

OI0 = k.−→OI và

ta xét các trường hợp sau:

1. Nếu I 6≡ I

0 và R = R0

thì chỉ có một điểm O duy nhất, do đó

k = −

R0

R

= −1, khi đó O là trung điểm đoạn II0

. Như vậy phép vị tự

với k = −1 chính là phép đối xứng tâm qua điểm O nói trên (Hình1.2).

2. Nếu I ≡ I

0 và R 6= R0

, khi đó phép vị tự tâm I tỷ số R0

R

và

phép vị tự tâm I tỷ số −

R0

R

đều biến đường tròn (I, R) thành (I

0

, R0

).

6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

5

Hai đường tròn này có chung tâm I (Hình1.3). Ta có −−→

IM0 =

R0

R

−−→IM và

−−→

IM00 = −

R0

R

−−→IM.

Hình 1.2 Hình 1.3

3. Nếu I 6≡ I

0

, R 6= R0 và hai đường tròn nằm ngoài nhau, khi đó gọi

O1 là điểm sao cho −−→

O1I

0 =

R0

R

−−→O1I ta được phép vị tự tâm O1 biến đường

tròn (I, R) thành đường tròn (I

0

, R0

) với tỷ số k =

R0

R

(Hình 1.4). Người

Hình 1.4

ta gọi đó là phép vị tự thuận vì k =

R0

R

> 0.

Gọi O2 là điểm sao cho −−→

O2I

0 = −

R0

R

−−→O2I ta được phép vị tự tâm O2

biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I

0

, R0

) với tỷ số k

0 = −

R0

R

. Vì

k

0 = −

R0

R

< 0 nên người ta gọi phép vị tự ứng với k

0 < 0 là phép vị tự

nghịch.

Như vậy ta có hai phép vị tự biến đường tròn (I, R) thành đường tròn

(I

0

, R0

).

Nếu hai đường tròn có tiếp tuyến chung ngoài là T T0

thì vì

−−→

I

0T

0 =

7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn