Sử dụng cặp phương pháp nystrom và adams-moulton trong dự báo và hiệu chỉnh nghiệm số của bài toán cauchy.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

− − − ? − − −

TRẦN THỊ THU TRANG

SỬ DỤNG CẶP PHƯƠNG PHÁP

NYSTRO¨M VÀ ADAMS- MOULTON

TRONG DỰ BÁO VÀ HIỆU CHỈNH

NGHIỆM SỐ CỦA BÀI TOÁN

CAUCHY

Chuyên ngành: Cử Nhân Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn

Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 5/2014

Mục lục

Lời nói đầu 4

1 Các kiến thức cơ bản về phương pháp số giải phương trình

vi phân 6

1.1 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . 7

1.2 Tiếp cận lời giải số bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Đại cương về phương pháp số giải phương trình vi phân . 9

1.3.1 Cấp chính xác của phương pháp số . . . . . . . . 10

1.3.2 Tính phù hợp của phương pháp số . . . . . . . . . 12

1.3.3 Tính zero- ổn định của phương pháp số . . . . . . 14

1.3.4 Sự hội tụ của phương pháp số . . . . . . . . . . . 15

1.4 Đa thức nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2 Đa thức nội suy Newton lùi với các mốc cách đều . 17

1.5 Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Phương trình Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Phương pháp lặp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Phương pháp Nystro¨m và phương pháp Adams - Moulton 24

2.1 Phương pháp tuyến tính đa bước . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Cấp chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2 Tính phù hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

− 2 −

2.1.3 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Phương pháp Nystro¨m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Xây dựng công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Một vài phương pháp Nystro¨m . . . . . . . . . . . 32

2.2.3 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.4 Cấp chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Phương pháp Adams- Moulton . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.1 Xây dựng công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.2 Một vài phương pháp Adams- Moulton . . . . . . 41

2.3.3 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.4 Cấp chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Dự báo và hiệu chỉnh với cặp phương pháp Nystro¨m và

Adams- Moulton trong giải số phương trình vi phân 50

3.1 Kết hợp phương pháp Nystro¨m 2 bước với phương pháp

Adams - Moulton 2 bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.2 Áp dụng thuật toán giải một số ví dụ . . . . . . . 52

3.2 Kết hợp phương pháp Nystro¨m 3 bước với phương pháp

Adams - Moulton 2 bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.2 Áp dụng thuật toán giải một số ví dụ . . . . . . . 59

3.3 Kết hợp phương pháp Nystro¨m 3 bước với phương pháp

Adams - Moulton 3 bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.2 Áp dụng thuật toán giải một số ví dụ . . . . . . . 68

Chương trình giải trên Maple 79

Kết luận 90

Tài liệu tham khảo 91

− 3 −

Lời nói đầu

Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quy luật trong tự

nhiên và kỹ thuật. Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường

tiếp cận theo hai hướng đó là nghiên cứu định tính và định lượng. Khóa

luận này nghiên cứu định lượng phương trình vi phân bằng phương pháp

số. Giải tích số là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các

phương pháp giải các bài toán (chủ yếu là gần đúng) bằng cách dựa trên

những số liệu cụ thể và cho kết quả cũng dưới dạng số. Giải tích số có thể

giải gần đúng các bài toán mà các phương pháp thông dụng khác không

thể giải được.

Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn có nhiều

bài toán thuộc lĩnh vực khoa học kỹ thuật quy về việc tìm nghiệm của

phương trình vi phân, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự

quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu toán học

ứng dụng. Trong lĩnh vực này đã có khá nhiều tên tuổi mang dấu ấn như

Milne- Simpson, Euler, J.D. Lambert, Nystro¨m, Arieh Iserles, Buttcher,...

Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra

những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính

chính xác cao. Đề tài này nghiên cứu phương pháp dự báo- hiệu chỉnh

với cặp phương pháp hiển Nystro¨m và phương pháp ẩn Adams- Moulton

nhằm tăng độ chính xác của nghiệm xấp xỉ của bài toán Cauchy đối với

phương trình vi phân.

− 4 −

Khóa luận bao gồm 3 chương và một phụ lục

• Chương 1 Trình bày một số khái niệm cơ bản của phương pháp số

giải phương trình vi phân và kiến thức liên quan.

• Chương 2 Tập trung trình bày cặp phương pháp tuyến tính đa bước

sử dụng làm cặp phương pháp dự báo- hiệu chỉnh là phương pháp

Nystro¨m và phương pháp Adams- Moulton.

• Chương 3 Trình bày thuật toán sử dụng cặp phương pháp dự báo￾hiệu chỉnh trên để giải số phương trình vi phân và việc lập trình trên

Maple để giải quyết một số ví dụ cụ thể và minh họa bằng hình vẽ.

• Phụ lục Trình bày một số đoạn code được lập trình trên Maple để

giải phương trình vi phân.

Em xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Hoàng Thành, người đã giới

thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và tận tình hướng dẫn em trong suốt quá

trình thực hiện khóa luận.

Em cũng xin chân thành cảm ơn Thầy Tôn Thất Tú, đã giúp đỡ cách

lập trình và làm quen với Maple ứng dụng giải số phương trình vi phân.

Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa

Toán, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng đã cho em những kiến

thức toán học bổ ích trong suốt quá trình học tập tại trường.

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế

nên khi thực hiện khóa luận không tránh khỏi những sai sót. Em rất

mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và

các bạn. Xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Thu Trang

− 5 −

Chương 1

Các kiến thức cơ bản về phương

pháp số giải phương trình vi phân

1.1 Phương trình vi phân

Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân là một phương trình trong đó ẩn

là một hàm số và trong phương trình vi phân luôn chứa thực sự đạo hàm

(hoặc đạo hàm cấp cao) của ẩn hàm.

Một phương trình vi phân bậc n thường có dạng tổng quát

F(x, y, y

0

, ..., y(n)

) = 0. (1.1)

Hay

y

(n) = f(x, y, y

0

, ..., y(n−1)).

Cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm thực sự

có mặt trong phương trình đó.

Định nghĩa 1.2. Hàm y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình vi

phân (1.1) nếu như trong phương trình (1.1) thay y = ϕ(x), y

0 = ϕ

0

(x),

..., y

(n) = ϕ

(n)

(x) ta nhận được F(x, ϕ(x), ϕ0

(x), ..., ϕ(n)

(x)) = 0.

− 6 −

1.1.1 Bài toán Cauchy

Bài toán tìm giá trị ban đầu hay còn gọi bài toán Cauchy là bài toán

tìm nghiệm y(x) = (y1(x), y2(x), ..., yn(x)) thỏa mãn điều kiện







y

0 = f(x, y)

y(a) = η

(1.2)

trong đó f : [a, b]×R

n → R

n

, y : [a, b] → R

n

, η = (y1(a), y2(a), ..., yn(a)).

1.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định nghĩa 1.3. (Xem [7]) Cho f : [a, b] × R

n → R

n

là ánh xạ liên tục

trên D = [a, b] × R

n

và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y, nghĩa

là tồn tại L ≥ 0 (L gọi là hằng số Lipschitz) sao cho

kf(x, y) − f(x, y1)k ≤ L ky − y1k ∀(x, y),(x, y1) ∈ D.

Định lý 1.1. (Xem [7]) (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm) Giả sử hàm

số f(x,y) trong bài toán Cauchy liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz

theo biến y trên hình chữ nhật

D =

(

(x, y) ∈ R

2

|x − x0| ≤ a; |y − y0| ≤ b

)

Khi đó nghiệm của bài toán Cauchy (1.2) là tồn tại và duy nhất trong đoạn

I := [x0 − h; x0 + h] với h := min 

a,

b

M



và M := max

(x,y)∈D

|f (x, y)|.

1.2 Tiếp cận lời giải số bài toán Cauchy

Xét bài toán (1.2) thỏa các giả thiết của định lý tồn tại và duy nhất

nghiệm.Chia [a, b] thành N phần bằng nhau bởi các điểm chia

a = x0, x1, x2, · · · , xN = b.

− 7 −

Giả sử y(x) là nghiệm của bài toán (1.2). Khi đó nghiệm số của (1.2) là

{y1, y2, · · · , yN } trong đó yn là xấp xỉ của y(xn) tại xn( yn ≈ y (xn)).

Phương pháp số giải bài toán (1.2) là một hệ sai phân của k + 1 giá

trị xấp xỉ {yn+1−i}

k

i=1 của {y(xn+1−i)}

k

i=1 để từ đó ta có thể tính tuần

tự các giá trị xấp xỉ y1, y2, ..., yN nếu biết k giá trị ban đầu. Tham số

h =

b − a

N

được gọi là bước nhảy.

Ví dụ 1.1. Hệ sai phân

yn+1 = yn + h



2

3

f(xn+1, yn+1) + 1

2

f(xn, yn)



là phương pháp số để giải bài toán (1.2).

Ví dụ 1.2. Hệ sai phân

yn+1 = yn−1 + 2hf(xn, yn)

là phương pháp số để giải bài toán (1.2).

Ví dụ 1.3. Cho







y

0 = f(x, y) = y

y(0) = 1

với x ∈ [0, 1], h = 0, 1

• Giải số bằng phương pháp Euler hiển







yn+1 = yn + hf(xn, yn)

y(x0) = y0

Ta có y0 = y(0) = 1

y1 = y0 + 0, 1(y0) = 1, 1(y0) = 1, 1

y2 = y1 + 0, 1(y1) = 1, 1(y1) = 1, 21

y3 = y2 + 0, 1(y2) = 1, 1(y2) = 1, 331

y4 = y3 + 0, 1(y3) = 1, 1(y3) = 1, 4641

y5 = y4 + 0, 1(y4) = 1, 1(y4) = 1, 61051

− 8 −

• Giải số bằng phương pháp Euler ẩn yn+1 = yn + hf(xn+1, yn+1)

Ta có y0 = 1

y1 = y0 + 0, 1(y1) = 1 + 0, 1(y1) ⇔ y1 = 1, 11111

y2 = y1 + 0, 1(y2) = 1, 11111 + 0, 1(y2) ⇔ y2 = 1, 234561

y3 = y2 + 0, 1(y3) = 1, 234561 + 0, 1(y3) ⇔ y3 = 1, 3717171

y4 = y3 + 0, 1(y4) = 1, 3717171 + 0, 1(y4) ⇔ y4 = 1, 52408881

y5 = y4 + 0, 1(y5) = 1, 52408881 + 0, 1(y5)

2 ⇔ y5 = 1, 693347691

1.3 Đại cương về phương pháp số giải phương trình

vi phân

Định nghĩa 1.4. (Xem [7]) Phương pháp số tổng quát thường có dạng

yn+1 =

X

k

i=1

αiyn+1−i + hφf (yn+1,yn, ..., yn+1−k, xn+1−k, h) (1.3)

trong đó k gọi là số bước của phương pháp (1.3), h gọi là bước nhảy của

phương pháp (1.3).

Nếu φf không phụ thuộc vào yn+1 thì ta gọi phương pháp số (1.3) là

phương pháp hiển.

Nếu φf phụ thuộc vào yn+1 thì ta gọi phương pháp số (1.3) là phương

pháp ẩn.

Nếu k = 1 thì phương pháp được gọi là phương pháp số một bước.

Nếu k > 1 thì phương pháp được gọi là phương pháp số đa bước hay

phương pháp số k-bước.

Ví dụ 1.4. Phương pháp số

yn+1 = yn + hf(xn, yn)

là phương pháp hiển 1 bước (Còn gọi là phương pháp Euler hiển).

− 9 −