Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Quan hệ vuông góc trong hình học không gian.
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
ĐẠIăH窺CăĐÀăN允NG
TR姶云NGăĐẠIăH窺CăS姶ăPHẠMă
L姶愛NGăTHỊ H姶云NG
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG HÌNH H窺C KHÔNG GIAN
ChuyênăngƠnh:ăPh逢挨ngăphápăToánăs挨ăcấp
Mã s嘘: 60.46.01.13
TÓMăTẮTăLU一NăV;NăTHẠCăSĨăKHOAăH窺Că
ĐƠăN印ng – N<mă2017
Công trình đ逢ợc hoàn thành t衣i
TR姶云NGăĐẠIăH窺CăS姶ăPHẠMăĐẠIăH窺CăĐÀăN允NG
Ng逢運iăh逢噂ngăd磯năkhoaăh丑c:ăTS.ăL姶愛NGăQU渦CăTUYỂNă
Phản biện 1: TS. PH萎M QUÝ M姶云I
Phản biện 2: TS. NGUY右N THÀNH CHUNG
Luận văn đư đ逢ợc bảo vệ t衣i Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp th衣c sĩ Khoa học họp t衣i Đ衣i học S逢 ph衣m Đà Nẵng vào
ngày 26 tháng 02 năm 2017.
Tìm hi吋u luận văn t衣i:
Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đ衣i học Đà Nẵng
Th逢 viện tr逢運ng Đ衣i học S逢 ph衣m, Đ衣i học Đà nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lịch sử phát triển của xã hội loài người đã minh chứng cho sự ra đời
một cách tự nhiên của bộ môn hình học. Xuất phát từ nhu cầu đo diện
tích các thửa ruộng, đo thể tích các thùng chứa, tính khoảng cách giữa các
điểm,...hình học thuở ban đầu là một môn khoa học thực nghiệm. Cùng với
sự phát triển của các ngành khoa học khác, hình học biến chuyển và trở
thành một khoa học suy diễn chặt chẽ. Ngày nay, hình học là công cụ quan
trọng trong việc xây dựng nên các bộ môn toán học hiện đại. Đồng thời,
hình học cũng có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học, kĩ thuật khác.
Trong chương trình toán ở trung học phổ thông, hình học không gian
là một phần kiến thức vô cùng hấp dẫn và thú vị. Nội dung cơ bản là quan
hệ vuông góc và quan hệ song song. Khi nghiên cứu về quan hệ vuông góc,
đặc biệt là đường vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau, đa số
người học còn e ngại khi tiếp cận.
Với những lý do như trên cùng với sự định hướng của Thầy giáo
TS. Lương Quốc Tuyển, tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài: Quan
hệ vuông góc trong hình học không gian.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm tìm hiểu và làm rõ các vấn đề sau: quan hệ vuông
góc giữa các đối tượng đường thẳng, mặt phẳng và các bài toán liên quan;
các phương pháp xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau.
3. Đối tượng nghiên cứu
2
Đối tượng nghiên cứu là điểm, đường thẳng, mặt phẳng, đoạn vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
4. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của luận văn là hình học không gian ở chương
trình Toán phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn được nghiên cứu dựa trên các phương pháp sau:
- Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến đề tài
luận văn.
- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu đã chọn lọc.
- Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
- Trao đổi, thảo luận với thầy giáo hướng dẫn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, là tài liệu tham khảo tốt cho giáo
viên và học sinh Trung học Phổ thông.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình
bày trong hai chương:
Chương 1 trình bày kiến thức về vector, cơ sở để xây dựng quan hệ
vuông góc; các định nghĩa và tính chất cơ bản liên quan đến quan hệ song
song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa
các đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng.
Chương 2 trình bày phương pháp giải các bài toán có liên quan đến
quan hệ vuông góc như bài toán chứng minh vuông góc hay bài toán vận
dụng yếu tố vuông góc để tính toán các đại lượng hình học; phương pháp
xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
3
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. VECTOR
1.1.1. Vector trong mặt phẳng
1.1.2. Vector trong không gian
1.1.3. Tích vô hướng của hai vector
1.1.4. Tích có hướng của hai vector
1.2. SƠ LƯỢC VỀ QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG
GIAN
1.3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1.3.1. Hai đường thẳng vuông góc
1.3.2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1.3.3. Hai mặt phẳng vuông góc
1.3.4. Khoảng cách
4
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN QUAN HỆ VUÔNG GÓC
2.1. BÀI TOÁN CHỨNG MINH VUÔNG GÓC VÀ TÍNH
TOÁN CÁC ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC CƠ BẢN
2.1.1. Hai đường thẳng vuông góc
Bài toán 1. Tính góc giữa hai đường thẳng.
Phương pháp giải:
1) Tính góc giữa hai vector chỉ phương của hai đường thẳng rồi suy ra góc
giữa hai đường thẳng.
2) Nếu hai đường thẳng trong không gian, thì ta dùng định nghĩa góc giữa
hai đường thẳng đưa về tính một góc cụ thể nào đó trong mặt phẳng.
3) Dùng biểu thức tọa độ của tích vô hướng, tính cosin của góc giữa hai
vector chỉ phương rồi suy ra góc giữa hai đường thẳng.
Bài toán 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Phương pháp giải:
1) Dựa vào các vector chỉ phương ~u của a và ~v của b. Khi đó,
a ⊥ b ⇔ ~u.~v = 0;
2) Đưa về bài toán chứng minh vuông góc trong hình học phẳng;
3) Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng đi qua
hoặc song song với đường thẳng kia;
4) Muốn chứng minh hai đoạn thẳng AB và CD vuông góc với nhau, ta
chỉ cần chứng minh AC2 − AD2 = BC2 − BD2
.
Ví dụ 2.1.1. Trong tứ diện ABCD, các cạnh DB và DC vuông
góc với nhau và chân đường vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC)
trùng với trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng
(AB + BC + CA)
2 ≤ 6(AD2 + BD2 + CD2
).
5
Với tứ diện nào thì xảy ra đẳng thức?
(Vô địch Toán quốc tế - Kì 12, 1970 ).
Lời giải.
Gọi H là trực tâm ∆ABC. Khi đó, vì DH ⊥ (ABC) nên DH ⊥
AB. Mặt khác, vì CH ⊥ AB nên AB ⊥ (CDH). Suy ra AB ⊥ CD.
Hơn nữa, vì DB ⊥ CD nên CD ⊥ (ADB). Suy ra CD ⊥ DA.
Chứng minh tương tự, ta có BD ⊥ DA. Theo giả thiết ta có DB ⊥ DC,
suy ra tứ diện D.ABC là một tứ diện vuông tại D. Do đó, ta có
AB2 = AD2 + BD2
,
BC2 = BD2 + CD2
,
CA2 = CD2 + AD2
.
Hình 2.1
Suy ra
AB2 + BC2 + CA2 = 2(AD2 + BD2 + CD2
). (2.1)
Mặt khác, ta lại có
2.AB.BC = 2.
√
AD2 + BD2
.
√
BD2 + CD2
≤ (AD2 + BD2
) + (BD2 + CD2
)
= AD2 + 2BD2 + CD2
.
(2.2)
Tương tự, ta có
2.AB.CA ≤ 2AD2 + BD2 + CD2
, (2.3)
2.BC.CA ≤ AD2 + BD2 + 2CD2
. (2.4)
Từ (2.2), (2.3) và (2.4) ta suy ra
2(AB.BC + AB.CA + BC.CA) ≤ 4(AD2 + BD2 + CD2
). (2.5)
6
Từ (2.1) và (2.5) ta có
(AB + BC + CA)
2 ≤ 6(AD2 + BD2 + CD2
).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AB = BC = CA, khi và chỉ khi ∆ABC
đều. Như vậy, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi D.ABC là hình chóp tam
giác đều.
2.1.2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài toán 3. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Phương pháp giải:
1) Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong mặt phẳng.
2) Dựa vào tính chất
a k b
a ⊥ (P)
⇒ b ⊥ (P),
hoặc
a ⊥ (P)
(P) k (Q)
⇒ a ⊥ (Q).
3) Chứng minh đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt
(Q) và (R) cùng vuông góc với mặt phẳng (P).
(Q) ⊥ (P)
(R) ⊥ (P)
(Q) ∩ (R) = ∆
⇒ ∆ ⊥ (P).
4) Chứng minh đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (Q) vuông góc với
mặt phẳng (P) theo giao tuyến L và ∆ vuông góc với L.
∆ ⊂ (Q) ⊥ (P)
(Q) ∩ (P) = L
∆ ⊥ L
)
⇒ ∆ ⊥ (P).
5) Dùng phương pháp tọa độ, chứng minh vector pháp tuyến ~n của mặt
phẳng cùng phương với vector chỉ phương ~u của đường thẳng.
Ví dụ 2.1.2. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trong mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) qua AB ta dựng tam giác đều AMB.
7
Một điểm S chạy trên AB cách B một khoảng SB = x. Gọi P là hình
chiếu của M trên SC và E, O theo thứ tự là các trung điểm của AB,
CM.
1) Tìm quỹ tích của P khi S chạy trên AB.
2) Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của SO.
(Trích đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 1986 ).
Lời giải.
1) Bởi vì ∆AMB đều và E là trung điểm AB nên ME ⊥ AB, suy
ra\ME ⊥ (ABCD). Mặt khác, vì MP ⊥ SC nên EP ⊥ SC, suy ra
EP C = 90o
.
Trong (ABCD) điểm P nhìn đoạn thẳng EC cố định dưới một góc
vuông nên điểm P ở trên đường tròn đường kính EC chứa trong (ABCD).
Khi S → A thì P → I, với I là hình chiếu của M trên AC. Khi S → B
thì P → B.
Như vậy, quỹ tích của điểm P khi S chạy trên AB là cung tròn IB
của đường tròn đường kính CE nằm trong (ABCD).
Hình 2.2
2) Trong tam giác MBS, ta có
SM2 = SB2 + MB2 − 2.SB.MB. cos 60o
= x
2 + 4a
2 − 4xa cos 60o
= x
2 + 4a
2 − 2xa.
Bởi vì ∆SBC vuông tại B nên ta có
SC2 = SB2 + BC2 = x
2 + 4a
2
.
Mặt khác, ∆MBC vuông tại B nên ta suy ra
MC2 = MB2 + BC2 = 4a
2 + 4a
2 = 8a
2
.
8
Cuối cùng, vì SO là trung tuyến của ∆SCM nên ta có
SO2 =
SM2 + SC2
2
−
CM2
4
=
x
2 + 4a
2 − 2ax + 4a
2 + x
2
2
−
8a
2
4
= x
2 − ax + 2a
2
=
x −
a
2
2
+
7a
2
4
≥
7a
2
4
.
Như vậy,
SO min ⇔ x =
a
2
, khi đó SO =
a
√
7
2
,
SO max ⇔ x = 2a, khi đó SO = 2a.
Bài toán 4. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp giải:
Kí hiệu góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là (a,\(P)). Khi đó,
1) Nếu a ⊥ (P), thì (a,\(P)) = 90o
;
2) Nếu a không vuông góc với (P), thì (a,\(P)) = (\a, a′
), với a
′
là hình
chiếu vuông góc của đường thẳng a lên mặt phẳng (P);
3) Dùng phương pháp tọa độ, tính cosin của góc giữa vector pháp tuyến
~n của mặt phẳng và vector chỉ phương ~u của đường thẳng, rồi suy ra
góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Bài toán 5. Xác định mặt phẳng qua một điểm cho trước và vuông
góc với một đường thẳng cho trước.
Phương pháp giải:
Để xác định mặt phẳng (α) đi qua O và vuông góc với đường thẳng d,
ta chỉ cần dựng hai đường thẳng cắt nhau, cùng vuông góc với d, trong đó
có ít nhất một đường thẳng đi qua O.
Bài toán 6. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Phương pháp giải:
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có thể áp
dụng một trong bốn phương pháp sau:
9
•Phương pháp xác định trực tiếp
Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), ta cần tìm hình
chiếu vuông góc H của M trên (P). Khi đó, d(M,(P)) = MH.
•Phương pháp đổi điểm
Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), ta chuyển sang
tính khoảng cách từ A đến (P), rồi dùng hệ thức tỉ lệ để suy ra khoảng
cách cần tìm.
Trường hợp 1: Nếu AM k (P), thì d(M,(P)) = d(A,(P)).
Hình 2.3
Trường hợp 2: AM không song song với (P); A, M cùng phía với
(P).
Hình 2.4
Gọi I là giao điểm của AM và (P). Ta có
d(M,(P))
d(A,(P)) =
MI
AI .
Suy ra
d(M,(P)) = MI
AI .d(A,(P)).
Trường hợp 3: AM không song song với (P); A, M không cùng
phía với (P).
10
Hình 2.5
Gọi I là giao điểm của AM và (P). Ta có
d(M,(P))
d(A,(P)) =
MI
AI .
Suy ra
d(M,(P)) = MI
AI .d(A,(P)).
•Phương pháp đổi đỉnh
Ý tưởng của phương pháp đổi đỉnh như sau: Chẳng hạn ta có một khối
chóp S.ABC và việc tính thể tích V của khối chóp này rất dễ dàng. Ta
cần tính khoảng cách từ C đến (SAB). Vì thể tích của khối chóp là không
đổi dù ta có xem điểm nào khác (A, B, C) là đỉnh. Vì vậy, nếu ta tính được
diện tích tam giác ABC thì khoảng cách cần tìm bằng
d
C,(SAB)
=
3V
S∆ABC
.
•Phương pháp tọa độ
Phương pháp tọa độ là sự lựa chọn an toàn nhưng khá mất thời gian,
nếu tính toán chính xác sẽ cho kết quả mà không cần phải suy luận phức
tạp. Sau khi chọn hệ tọa độ thích hợp, ta tính toán tọa độ các điểm cần
thiết, viết phương trình mặt phẳng và sử dụng công thức tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng để suy ra kết quả bài toán.
2.1.3. Hai mặt phẳng vuông góc
Bài toán 7. Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Phương pháp giải:
1) Dùng định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng
lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó