QUAN HỆ VUÔNG GÓC- ĐẦY ĐỦ CÁC DẠNG BÀI

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 1

BÀI 1: VECTO TRONG KHÔNG GIAN

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa và các phép toán

 Định nghĩa, tính chất, các phép tốn về vectơ trong không gian được xây dựng hồn tồn

tương tự như trong mặt phẳng.

 Lưu ý:

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:  

  

AB BC AC

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:  

  

AB AD AC

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có:   

   

AB AD AA AC ' '

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.

Ta có:  

  

IA IB 0 ;  

  

OA OB OI 2

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:

     

       

GA GB GC OA OB OC OG 0; 3

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:

       

         

GA GB GC GD OA OB OC OD OG 0; 4

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:           

a vaø b cuøng phöông a k R b ka ( 0) ! :

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý. Ta có:



 



 

  

;

1

OA kOB MA kMB OM

k

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ

 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt

phẳng.

 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ   

a b c , , , trong đó  

a vaø b không cùng

phương. Khi đó:   

a b c , , đồng phẳng  ! m, n  R:  

  

c ma nb

 Cho ba vectơ   

a b c , , không đồng phẳng, 

x tuỳ ý.

Khi đó: ! m, n, p  R:   

   

x ma nb pc

3. Tích vô hướng của hai vectơ

 Góc giữa hai vectơ trong không gian:

 

AB u AC v u v BAC BAC      

    , ( , ) (0 180 )  0 0 

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 2

 Khi xác định góc của 2 vecto ko cùng gốc ta phải cố gắng đưa về cùng gốc để xác

định góc bằng cách dựng vecto bằng vecto ban đầu

 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

+ Cho 

  

u v, 0 . Khi đó: 

     

u v u v u v . . .cos( , )

+ Với  

   

u hoaëc v 0 0. Qui ước: 

 

u v. 0

+       

u v u v. 0

B. BÀI TẬP

DẠNG 1: Chứng minh đẳng thức vecto

Pp: Dùng các quy tắc, công thức đã học để cm:

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung

điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng:

a. AD BC AC BD MN     2

    

b. GA GB GC GD     0

    

c. PA PB PC PD PG     4

    

với P là một điểm bất kì.

Giải:

a. Ta có: MN MA AD DN   

   

và

MN MB BC CN   

   

Suy ra: 2 ( ) ( ) MN MA MB AD BC DN CN      

      

Vì MA MB DN CN     0

    

nên 2MN AD BC  

  

Ta suy ra: AD BC AC BD MN     2

    

b. Vì GA GB GM GC GD GN GM GN       2 , 2 , 0

        

nên GA GB GC    0

   

c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) 0 PA PG PB PG PC PG PD PG        

        

Do đó: PA PB PC PD PG     4

    

Bài 2: (VD 2, SGKCB-87) Cho tứ diện ABCD, gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC, và G là trọng tâm của tam giác BC. Chứng minh

a) 1

( )

2

MN AB DC  

  

b) AB AC AD AG    3

   

Hình 6 .3

D

C

B

G

N

M

A

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 3

Bài 3: (B7, SGKCB-92) Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của cạnh AC, BD của tứ diện

ABCD, gọi I là trung điểm của MN P là điểm bất kì trong không gian. chứng minh rằng

 

1

) 0 )

4

a AB IB IC ID b PI PA PB PC PD        

Bài 4: ( B3,SGCB-74) Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M tùy ý. Chứng minh

2 2 2 2 a MA MC MB MD b MA MC MB MD ) . . )    

HD: Gọi 0 là tâm của hình chữ nhật 0A=0B=0C=0D

Bài 5: ( VD2, T.T.V.ANH-146)Cho hình chóp SABCD đáy là hbh tâm O, chưng minh

a SA SB SC SD SO b ) 4 ) IS+IA+IB+IC+ID=O    

Bài 6: (BÀI 3.1 SBT CB-118) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, gọi O và O’

theo thứ tự là tâm của hình vuông.

a) Hãy biểu diễn các vecto AO AO , ' theo các vecto có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của

hình lập phương

b) Chứng minh AD D C D A AB    ' ' ' '

DẠNG 2. chứng minh 3 vecto đồng phẳng và phân tích một vecto theo 3 vecto ko đồng

phẳng

Pp:

 Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:

+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

Nếu có m, n  R:  

  

c ma nb thì   

a b c , , đồng phẳng

 Để phân tích một vectơ



x theo ba vectơ   

a b c , , không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao

cho:   

   

x ma nb pc

BÀI TẬP

Bài 1: (VD4, SGKCB-89) Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và

CD trên các cạnh AD, BC lấy cá điểm P và Q sao cho 2 2

; .

3 3

AP AD BQ BC   Chứng minh

M,N, P,Q cùng thuộc mp.

HD: 3 3

4 4

MN MP MQ  

Bài 2: (VD5. SGKCB-91) Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB a AD b AE c    ; ;

Gọi I là trung điểm của BG. Hãy biểu thị AI qua vecto a b c , ,

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 4

Bài 3: (B9, SGK-92) Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên SA

lấy điểm M sao cho MS MA  2 . trên BC lấy điểm N sao cho 1

2

NB NC   . Chứng minh

ba vecto AB MN SC , , đồng phẳng

HD: 1 2

2 3

MN SC AB  

Bài 4: ( VD1, SBTCB-117) Cho tứ diện ABCD. Trên AD lấy điểm M sao cho

AM MD  3 và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho NB NC  3 , Chứng minh ba vecto

AB DC MN , , đồng phẳng

HD: 1 3

4 4

MN AB DC  

Bài 5:( B2,GCB-77) Cho bốn A,B,C,D. Trên đoạn AD lấy điểm M sao cho  

 

MA MD 2 và

trên đoạn BC lấy điểm N sao cho  

 

NB NC 2 . Chứng minh rằng ba vectơ

  

AB MN DC , , đồng

phẳng.

HD: Chứng minh  

   1 2

3 3

MN AB DC .

Bài 6( B3.3 SBTCB-118) Cho hình tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho

( 0) AM BN k k

AC BD

   . Chứng minh rằng ba vectơ PQ PM PN , ,

  

đồng phẳng.

Giải:

Vì Q là trung điểm của cạnh DC nên ta có:

1 1 ( ) [( ) ( )

2 2

1

[( ) ( )]

2

PQ PC PD AC AP BD BP

AC BD AP BP

     

   

      

   

Vì AP BP   0

  

nên 1

( ) 0

2

PQ AC BD   

   

Theo giả thiết ta có 1

AC AM

k



 

và 1

BD BN

k



 

Do đó 1

( )

2

PQ AM BN

k

 

  

Vì: AM AP PM  

  

và BN BP PN  

  

nên 1

( )

2

PQ AP PM BP PN

k

   

    

Vậy: 1 1

2 2

PQ PM PN

k k

 

  

Từ hệ thức trên ta suy ra ba vectơ PQ PM PN , ,

  

đồng phẳng

Bài 7: (B10, SGKCB-92) Cho hình hộp ABCD.EFGH, Gọi K là giao điểm của AH và DE, I

là giao điểm của BH và DF. chứng minh ba vecto AC KI FG , ,

Q

P

Hình 6.4

D

C

B

G N

M

A