Quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong giải toán hình học không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN HỒNG MINH

QUAN HỆ SONG SONG

VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG

GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 12

năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Hình học là một trong những môn học xuất hiện khá sớm. Khi

mới ra đời, hình học là môn khoa học thực nghiệm nảy sinh từ việc

đo đạc, tính toán các đại lượng về khoảng cách giữa các điểm, diện

tích các thửa ruộng, thể tích các thùng chứa,... Thời cổ đại, con

người đã tích lũy được nhiều kiến thức hình học khá phong phú,

chẳng hạn công thức Py-ta-go, định lý Ta-lét, công thức tính thể

tích hình chóp,... Dần dần, hình học trở thành một khoa học suy

diễn chặt chẽ, tức là thay vì dùng thực nghiệm để kiểm tra sự đúng

đắn của các sự kiện hình học, người ta chứng minh bằng lập luận

dựa vào các tính chất hình học. Ngày nay, hình học là một bộ phận

không thể tách rời và là công cụ quan trọng trong việc xây dựng

nên những bộ môn toán học hiện đại, đồng thời có nhiều ứng dụng

trong nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác.

Trong chương trình toán trung học phổ thông, hình học không

gian là một trong những môn học khó, trong đó quan hệ song song

và quan hệ vuông góc là những nội dung cơ bản. Các phương pháp

giải toán hình học không gian thường được dùng là: phương pháp

vectơ, phương pháp tọa độ, phương pháp dùng quan hệ song song,

quan hệ vuông góc, phương pháp tổng hợp,... Nhằm tìm hiểu quan

hệ song song và quan hệ vuông góc trong hình học không gian, tôi

chọn đề tài "Quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong

giải toán hình học không gian" cho luận văn thạc sĩ khoa học

của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

- Tìm hiểu quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong hình

học không gian.

- Nghiên cứu việc vận dụng quan hệ song song và quan hệ vuông

góc vào giải toán hình học.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong hình học không

gian.

2

- Các bài toán hình học không gian trong chương trình toán

trung học phổ thông.

- Phương pháp giải toán hình học không gian bằng quan hệ song

song và quan hệ vuông góc.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp các tài liệu về hình học không gian có liên

quan đến đề tài, đặc biệt các tài liệu về quan hệ song song và quan

hệ vuông góc.

- Nghiên cứu các tài liệu thu thập được để thực hiện đề tài.

- Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn.

5. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung luận văn được

chia thành 03 chương:

Chương 1. Quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong hình học

không gian

Chương này trình bày sơ lược quan hệ song song, quan hệ vuông

góc trong hình học không gian, nhằm làm cơ sở cho các chương sau.

Chương 2. Quan hệ song song trong giải toán hình học không gian

Chương này trình bày việc vận dụng quan hệ song song để giải

một số lớp bài toán hình học không gian.

Chương 3. Quan hệ vuông góc trong giải toán hình học không gian

Phần đầu chương này trình bày việc vận dụng quan hệ vuông

góc để giải toán hình học không gian. Phần cuối chương giới thiệu

một số bài toán được giải bằng cả hai quan hệ song song và quan

hệ vuông góc.

3

CHƯƠNG 1

QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ

VUÔNG GÓC TRONG HÌNH HỌC

KHÔNG GIAN

Chương này trình bày sơ lược quan hệ song song, quan hệ vuông

góc trong không gian, đủ để làm cơ sở cho các chương sau. Các kiến

thức liên quan và các chứng minh chi tiết có thể xem trong các tài

liệu về hình học không gian.

1.1. QUAN HỆ SONG SONG

Định nghĩa 1.1.1. Trong không gian, hai đường thẳng bất kỳ được

gọi là song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và không có điểm

chung.

Định lí 1.1.1. Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm A

nằm ngoài đường thẳng d. Lúc đó tồn tại duy nhất một đường thẳng

a đi qua A và song song với đường thẳng d.

Định lí 1.1.2. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một

đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định lí 1.1.3. (Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng). Nếu ba

mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao

tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Định nghĩa 1.1.2. Trong không gian, đường thẳng d và mặt phẳng

(P) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Định lí 1.1.4. Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song

với một mặt phẳng là đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng

và song song với một đường thẳng nào đó chứa trong mặt phẳng.

Định lí 1.1.5. Nếu hai mặt phẳng cùng song song hoặc chứa một

đường thẳng, và chúng cắt nhau thì giao tuyến song song hoặc trùng

với đường thẳng trên.

4

Định lí 1.1.6. Cho điểm A và hai đường thẳng a, b chéo nhau. Lúc

đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua A sao cho (P) song

song hoặc chứa a và song song hoặc chứa b.

Định lí 1.1.7. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).

Nếu đường thẳng b song song với đường thẳng a thì b song song hoặc

thuộc mặt phẳng (P).

Định nghĩa 1.1.3. Trong không gian, hai mặt phẳng (P) và (Q)

được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Định lý sau cho phép đưa việc chứng minh hai mặt phẳng song

song về chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

Định lí 1.1.8. Cho hai mặt phẳng (P), (Q). Lúc đó (P) và (Q)

song song với nhau khi và chỉ khi trong mặt phẳng (Q) tồn tại hai

đường thẳng a, b cắt nhau sao cho a và b đều song song với mặt

phẳng (P).

Định lí 1.1.9. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một

và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Định lí 1.1.10. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng

cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến

song song với nhau.

1.2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Định nghĩa 1.2.1. Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không

gian là góc giữa hai đường thẳng a

0

và b

0

cùng đi qua một điểm và

lần lượt song song song với a và b.

Định nghĩa 1.2.2. Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau

nếu góc giữa chúng bằng 90◦

.

Định nghĩa 1.2.3. Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một

mặt phẳng nếu đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng nằm

trong mặt phẳng.

5

Khi đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta còn nói mặt

phẳng (P) vuông góc với a hoặc a và (P) vuông góc với nhau và kí

hiệu a ⊥ (P) hoặc (P) ⊥ a.

Định lí 1.2.1. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng

cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc

với mặt phẳng ấy.

Định nghĩa 1.2.4. Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo

phương l vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc

lên mặt phẳng (P).

Định lí 1.2.2. (Định lí ba đường vuông góc). Cho đường thẳng a

không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong

mặt phẳng (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là

b vuông góc với hình chiếu a

0

của a trên mặt phẳng (P).

Định nghĩa 1.2.5. Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng

(P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) bằng

90◦

.

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc

giữa a và hình chiếu a

0

của nó lên (P) gọi là góc giữa đường thẳng

a và mặt phẳng (P).

Định nghĩa 1.2.6. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường

thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Định nghĩa 1.2.7. Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng

(P) (hoặc đến đường thẳng d) là khoảng cách giữa hai điểm M và

H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặc

trên đường thẳng d).

Định nghĩa 1.2.8. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng

(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến

mặt phẳng (P).

Định nghĩa 1.2.9. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là

khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng

kia.

6

Định nghĩa 1.2.10. Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau

a, b và cùng vuông góc với mỗi đường ấy được gọi là đường vuông

góc chung.

Định nghĩa 1.2.11. Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường

thẳng chéo nhau tại I và J thì đoạn thẳng IJ gọi là đoạn vuông góc

chung của hai đường thẳng đó.

Định nghĩa 1.2.12. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Định nghĩa 1.2.13. Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu

góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.

Định lí 1.2.3. Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với

nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt

kia.

1.3. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN

HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Tính chất 1.3.1. Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường

thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

Tính chất 1.3.2. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt

phẳng thì song song hoặc trùng nhau.

Tính chất 1.3.3. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song

với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (P) thì cũng

vuông góc với a.

Tính chất 1.3.4. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng cùng

vuông góc với một đường thẳng khác thì đường thẳng và mặt phẳng

ấy song song với nhau hoặc đường thẳng ấy nằm trong mặt phẳng.

Tính chất 1.3.5. Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai

mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Tính chất 1.3.6. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường

thẳng thì song song hay trùng nhau.

7

CHƯƠNG 2

QUAN HỆ SONG SONG TRONG GIẢI

TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Chương này trình bày việc vận dụng quan hệ song song để giải

một lớp bài toán hình học không gian.

2.1. CHỨNG MINH TÍNH SONG SONG CỦA ĐƯỜNG

THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

2.1.1. Chứng minh hai đường thẳng song song

Để chứng minh hai đường thẳng trong không gian song song với

nhau chúng ta thường dùng một trong các cách sau:

• Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng và sử

dụng các kiến thức về hình học phẳng để chứng minh.

• Cách 2: Sử dụng các định lí, hệ quả về quan hệ song song

trong không gian để chứng minh, cụ thể như sau:







a 6= b

a k c

b k c

⇒ a k b;







d k (P)

d ⊂ (Q)

(P) ∩ (Q) = a

⇒ d k a;







(P) k (Q)

(P) ∩ (R) = a

(Q) ∩ (R) = b

⇒ a k b;







d k (P)

d k (Q)

(P) ∩ (Q) = a

⇒ d k a.

Bài toán 2.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.

Trên các cạnh AB, SB, SC lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho

AM = k.AB, SN = k.SB, SP = k.SC (0 < k < 1). Xác định giao

điểm Q của CD và mặt phẳng (MNP). Chứng minh MQ k AD và

P Q k SD.

8

Lời giải. Theo giả thiết ta có

AM

AB =

SN

SB =

SP

SC ⇒

(

MN k SA

NP k BC

Khi đó ta có

(

M ∈ (MNP) ∩ (ABCD)

NP k BC

⇒ (MNP) ∩ (ABCD) = Mx,

Mx k BC và Mx cắt CD tại Q. Vậy Q = Mx ∩ (MNP).

Ta có MQ k BC, AD k BC. Suy ra MQ k AD.

Áp dụng Định lí Ta-lét, ta có

MQ k AD ⇒

DQ

DC =

AM

AB = k;

NP k BC ⇒

SP

SC =

SN

SB = k.

Do đó DQ

DC =

SP

SC ⇒ P Q k SD. 

2.1.2. Chứng minh hai mặt phẳng song song

Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh:

- Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mặt

phẳng kia, hoặc

- Chứng minh hai mặt phẳng phân biệt và cùng song song với một

mặt phẳng khác.

Bài toán 2.4 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không

cùng nằm trên một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AC và BF,

lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM

AC =

BN

BF

=

1

3

. Các đường

thẳng song song với AB kẻ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại

P và Q.

a) Chứng minh (F AD) k (BCE).

b) Chứng minh (MNQP) k (CDE).