Quan hệ đồng chất trên tập các p - nhóm hữu hạn.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HUỲNH THỊ KIM THOA

QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN TẬP

CÁC p – NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS.Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng6 năm

2014

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

 Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

Thư viện trường Đại học Sư phạm , Đại học Đà Nẵng

1

  G G

  H H

G G

 





  

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Năm 1939, P.Hall đã đề xuất một quan điểm phân loại các

nhóm hữu hạn như sau:

Hai nhóm

G và

H

được gọi là đồng chất ( isoclinic ) nếu

tồn tại hai đẳng cấu

φ: ( ) ( ) G Z G H Z H 

và

ψ: , , G G H H    

sao cho biểu đồ sau giao hoán:

G Z G G Z G ( ) ( )  H Z H H Z H ( ) ( ) 

G

 H



nghĩa là

    H G   φ×φ .

Trong đó Z G  và

G G,  lần lượt là nhóm con tâm và

nhóm con giao hoán tử của

G

;

 là ánh xạ được xác định bởi

 x y Z, Z 

 x y , 

, với

Z Z G    hoặc

Z Z H   .

Từ định nghĩa trên dễ dàng kiểm tra được quan hệ đồng chất là

một quan hệ tương đương trên tập các nhóm. Mỗi lớp tương đương

được gọi là một lớp đồng chất. Nếu G và H là hai nhóm thuộc

cùng một lớp, ta ký hiệu G  H.

Ý tưởng của P.Hall là để xác định các nhóm, trước hết hãy phân các

nhóm thành từng lớp đồng chất, sau đó trong mỗi lớp phân loại nhóm theo

quan hệ đẳng cấu. Từ ý tưởng này, các p - nhóm cấp

n

p

, với n = 5, 6, 7

đã được xác định và phân loại đẳng cấu bởi nhiều nhà lý thuyết nhóm.

Nhằm tìm hiểu quan hệ đồng chất cũng như bài toán phân loại

nhóm, tôi chọn đề tài: “ Quan hệ đồng chất trên tập các p – nhóm

hữu hạn ”.

2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài

- Nghiên cứu quan hệ đồng chất trên tập các nhóm.

2

- Tìm hiểu những bất biến của lớp đồng chất, chẳng hạn số lớp

liên hợp, lớp lũy linh của một nhóm hữu hạn.

- Phân loại đồng chất các 2 – nhóm không giao hoán có cấp 16.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Quan hệ đồng chất trên tập các nhóm.

- Nhóm lũy linh, lớp lũy linh.

- Quan hệ liên hợp trong một nhóm.

- Các 2 - nhóm không giao hoán có cấp 16.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Thu thập và nghiên cứu các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên

quan đến nội dung luận văn, đặc biệt là tài liệu về tính lũy linh, quan

hệ liên hợp trong một nhóm và quan hệ đồng chất trên tập các nhóm.

- Khảo sát những bất biến của lớp đồng chất để ứng dụng vào

việc phân loại đồng chất các nhóm.

- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn để thực hiện đề

tài luận văn.

5. Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại một cách sơ lược những kiến thức cơ bản

về cấu trúc nhóm. Trình bày quan hệ liên hợp trong một nhóm, nhóm

lũy linh và những tính chất của chúng.

Chƣơng 2. Quan hệ đồng chất trên tập các nhóm

Chương này trình bày quan hệ đồng chất trên tập các nhóm.

Đặc biệt, quan hệ này khi xét trên tập các p - nhóm hữu hạn thì các

lớp đồng chất có những bất biến quan trọng, chẳng hạn: số lớp liên hợp, các

nhóm con giao hoán tử bậc cao, lớp lũy linh của một p - nhóm. Phần cuối

của chương cho một ví dụ minh họa về quan hệ đồng chất trên các p -

nhóm không giao hoán có cấp 16.

3

CHƢƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Để làm cơ sở cho chương sau, chương này nhắc lại một cách sơ

lược một số kiến thức cần thiết về cấu trúc nhóm. Đặc biệt là quan hệ

liên hợp trong một nhóm, và khái niệm nhóm lũy linh. Các chi tiết

liên quan có thể tìm hiểu trong các tài liệu về lý thuyết nhóm.

1.1. NHÓM

Định nghĩa 1.1

Ta gọi nhóm là một cặp

 G,



, trong đó

G là một tập hợp

khác rỗng và “



” là phép toán hai ngôi trên

G thỏa mãn ba điều

kiện sau:

i) Phép toán “



” có tính chất kết hợp, tức là

 a b c a b c        ,   a b c G , ,

ii) Có một phần tử

e G 

được gọi là phần tử trung lập, có

tính chất

a e e a a a G       ,

iii) Với mỗi

a G 

, có một phần tử

,

a G 

được gọi là

nghịch đảo của a sao cho

, ,

a a a a e    

Nếu phép toán hai ngôi của nhóm

G

có tính chất giao hoán thì

ta nói

G

là một nhóm giao hoán hay nhóm aben.

Nếu

G

là tập hợp hữu hạn, ta nói

G là nhóm hữu hạn; nếu

G là tập hợp vô hạn, ta nói

G

là nhóm vô hạn.

Số phần tử của tập

G

được ký hiệu là

G

, và được gọi là cấp của

nhóm

G .

Từ đây về sau nếu không nói gì khác, ta quy ước phép toán hai

ngôi trên một nhóm được ký hiệu là phép nhân “



”.

Định nghĩa 1.2

Một nhóm có cấp là một lũy thừa của số nguyên tố p được gọi

là một p - nhóm hữu hạn.

4

1.2. NHÓM CON

Định nghĩa 1.3

Một tập hợp con ổn định

A

( nghĩa là

   a b A ab A , ,

)

của một nhóm

G

được gọi là nhóm con của

G

nếu

A

cùng với

phép toán cảm sinh là một nhóm, ký hiệu

A G  .

Định lý 1.1

Giả sử

A là một tập con khác rỗng của một nhóm

G

. Các

điều kiện sau là tương đương

i)

A là một nhóm con của

G

ii)

   a b A ab A , , và

1

a A  

iii)

1

a b A ab A , ,

   

Định nghĩa 1.4

Giả sử

U là một tập con khác rỗng của nhóm

G

. Nhóm

con bé nhất ( theo quan hệ bao hàm ) của

G

mà chứa

U gọi là

nhóm con sinh bởi

U

, ký hiệu

U .

Nếu

U a a a   1 2 , , ...,

n

thì nhóm con sinh ra bởi

U

còn

được ký hiệu là

1 2 , , ...,

n a a a .

Nếu

G U  thì

U gọi là một hệ sinh của

G

hay

G

được sinh bởi

U .

Định nghĩa 1.5

Một nhóm

G

được gọi là xyclic nếu

G

được sinh bởi chỉ một

phần tử a  G. Phần tử a được gọi là phần tử sinh của G.

Nhóm xyclic cấp n được ký hiệu là Cn.

Định nghĩa 1.6

Giả sử

G

là một nhóm với đơn vị e và

a G  .

Nếu

m

a e 

, với mọi số nguyên

m  0

, thì ta nói a có cấp

vô hạn. Nếu trái lại, thì số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho

m

a e 

được gọi là cấp của a.

5

Ký hiệu cấp của phần tử a là

ord  a  .

Nếu

ord  a m  

thì

 

0 1 1 1, , ..., m

a a a a



 

và ta còn

viết

m

a a e  .

ord 1  a   khi và chỉ khi

a e  .

Định lý 1.2 ( Định lý Lagrange )

Cấp của một nhóm hữu hạn

G

là bội của cấp của mọi nhóm

con của nó.

Hệ quả 1.1

G là nhóm hữu hạn,

a G  , ord  a 

là ước của

G .

1.3. NHÓM CON CHUẨN TẮC VÀ NHÓM THƢƠNG

Định nghĩa 1.7

Giả sử

S

là một nhóm con của nhóm

G

. Với mỗi

a G  ,

các tập hợp

aS as s S    :  , Sa sa s S    :  lần lượt được

gọi là lớp kề trái và lớp kề phải của

S

bởi phần tử a.

Định nghĩa 1.8

Số các lớp kề trái của

S trong

G được gọi là chỉ số của

nhóm con

S trong G, ký hiệu

 G S : .

Định nghĩa 1.9

Cho

G là một nhóm và

S G 

. Ta gọi tập thương của

G

trên

S

là tập hợp gồm tất cả các lớp kề trái của

S trong

G

, ký

hiệu

G S .

Nhận xét Nếu

G là nhóm hữu hạn,

S G 

thì

G S G S  . :  

 G S G S G S G S : / . /    

Định nghĩa 1.10

Cho

 G,



là một nhóm và

S G 

. Ta nói

S là nhóm con

chuẩn tắc của

G nếu

aS Sa a G    ,

. Ký hiệu S G  .