PT vo ty LTDH(suu tam)

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1. Bình phương 2 vế của phương trình

a) Phương pháp

 Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A B C D + = + , ta thường bình phương 2 vế ,

điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau

 ( )

3 3 3 3 3 3 A B C A B A B A B C + = ⇒ + + + = 3 .

và ta sử dụng phép thế : 3 3 A B C + = ta được phương trình : 3 A B A B C C + + = 3 . .

b) Ví dụ

Bài 1. Giải phương trình sau : x x x x + + + = + + 3 3 1 2 2 2

Giải: Đk x ≥ 0

Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:1 3 3 1 2 2 1 + + + = + + ( x x x x x ) ( ) ( ) , để giải

phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .

Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 3 1 2 2 4 3 x x x x + − + = − +

Bình phương hai vế ta có : 2 2 6 8 2 4 12 1 x x x x x + + = + ⇔ =

Thử lại x=1 thỏa

 Nhận xét : Nếu phương trình : f x g x h x k x ( ) + = + ( ) ( ) ( )

Mà có : f x h x g x k x ( ) + = + ( ) ( ) ( ) , thì ta biến đổi phương trình về dạng :

f x h x k x g x ( ) − = − ( ) ( ) ( ) sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả

Bài 2. Giải phương trình sau :

3

1 2

1 1 3

3

x

x x x x

x

+

+ + = − + + +

+

Giải:

Điều kiện : x ≥ −1

Bình phương 2 vế phương trình ?

Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?

Ta có nhận xét :

3

1 2

. 3 1. 1

3

x

x x x x

x

+

+ = − + +

+

, từ nhận xét này ta có lời giải như sau :

3

1 2

(2) 3 1 1

3

x

x x x x

x

+

⇔ − + = − + − +

+

Bình phương 2 vế ta được:

3

2 2 1 1 3

1 2 2 0

3 1 3

x x

x x x x

x x

+  = −

= − − ⇔ − − = ⇔ 

+  = +

Thử lại : x x = − = + 1 3, 1 3 l nghiệm

Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : f x g x h x k x ( ) + = + ( ) ( ) ( )

Mà có : f x h x k x g x ( ) . . ( ) = ( ) ( ) thì ta biến đổi f x h x k x g x ( ) − = − ( ) ( ) ( )

2. Trục căn thức

2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung

a) Phương pháp

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm 0

x như vậy phương trình luôn đưa về được

dạng tích ( ) ( ) 0

x x A x − = 0 ta có thể giải phương trình A x( ) = 0 hoặc chứng minh A x( ) = 0 vô nghiệm ,

chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A x( ) = 0 vô nghiệm

b) Ví dụ

1

Bài 1 . Giải phương trình sau : ( )

2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4 x x x x x x x − + − − = − − − − +

Giải:

Ta nhận thấy : ( ) ( ) ( )

2 2 3 5 1 3 3 3 2 2 x x x x x − + − − − = − − v ( ) ( ) ( )

2 2

x x x x − − − + = − 2 3 4 3 2

Ta có thể trục căn thức 2 vế : ( )

2 2 2 2

2 4 3 6

3 5 1 3 1 2 3 4

x x

x x x x x x x

− + −

=

− + + − + − + − +

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .

Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 2 2

x x x + + = + + 12 5 3 5

Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 5

12 5 3 5 0

3

x x x x + − + = − ≥ ⇔ ≥

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

( x A x − = 2 0 ) ( ) , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :

( )

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

4 4 12 4 3 6 5 3 3 2

12 4 5 3

2 1 2 3 0 2

12 4 5 3

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

− −

+ − = − + + − ⇔ = − +

+ + + +

  + +

⇔ − − − = ⇔ =  ÷   + + + +

Dễ dàng chứng minh được : 2 2

2 2 5 3 0,

12 4 5 3 3

x x

x

x x

+ + − − < ∀ >

+ + + +

Bài 3. Giải phương trình : 3 2 3

x x x − + = − 1 1

Giải :Đk 3

x ≥ 2

Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

( )

( )

( ) ( )

2

3 2 3

2 3 2 2 3 3

3 3 3 9

1 2 3 2 5 3 1

2 5 1 2 1 4

x x x x

x x x x

x x x

 

+ − + +   − − + − = − − ⇔ − + =

− + − + − +  

Ta chứng minh : ( ) ( )

2 2

2 2 2 3 3 3

3 3 1 1 2

1 2 1 4 1 1 3

x x

x x x

+ +

+ = + <

− + − + − + +

2

3

3 9

2 5

x x

x

+ +

<

− +

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3

2.2. Đưa về “hệ tạm “

a) Phương pháp

 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C + = , mà : A B C − =α

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x . Ta có thể giải như sau :

A B C A B

A B

α

−

= ⇒ − =

−

, khi đĩ ta có hệ: 2

A B C

A C

A B

α

α

 + =  ⇒ = +

 − =

b) Ví dụ

Bài 4. Giải phương trình sau : 2 2 2 9 2 1 4 x x x x x + + + − + = +

Giải:

Ta thấy : ( ) ( ) ( )

2 2 2 9 2 1 2 4 x x x x x + + − − + = +

x = −4 không phải là nghiệm

Xét x ≠ −4

Trục căn thức ta có : 2 2

2 2

2 8 4 2 9 2 1 2

2 9 2 1

x

x x x x x

x x x x

+

= + ⇒ + + − − + =

+ + − − +

2