Phương pháp giải PT vô tỷ

®Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m Ngêi thôc hiÖn:

PhÇn I: Nh÷ng vÊn ®Ò chung

I. LÝ do chän ®Ò tµi

1. C¬ së lÝ luËn:

ThÕ hÖ trÎ ViÖt Nam nãi chung, giíi häc sinh nãi riªng cã may m¾n lµ ®îc

sinh ra vµ lín lªn trong thêi ®¹i mµ c¸c cuéc c¸ch m¹ng khoa häc kÜ thuËt c«ng nghÖ

®ang trµo d©ng nh vò b·o, th«ng tin bïng næ tõng phót tõng giê, c¸i míi nµy cha kÞp

®¨ng quang ®· ph¶i nhêng chç cho c¸i míi kh¸c ®Õn thay thÕ. VËy th× mçi thÇy c«

gi¸o, mçi häc sinh ph¶i hµnh ®éng nh thÕ nµo?

ViÖc häc tËp hiÖn nay ®ang cã xu híng ®i vµo chiÒu s©u “häc ph¶i ®i ®«i víi

hµnh”, do vËy ph¶i cã nh÷ng ph¬ng ph¸p d¹y vµ häc cã hiÖu qu¶ tèi u nhÊt nh»m t×m

ra nh÷ng con ®êng ng¾n nhÊt, hay nhÊt trong viÖc häc tËp ®Ó gióp chóng ta n¾m

v÷ng ®îc kiÕn thøc vµ ®i ®µo s©u lîng kiÕn thøc ®· häc. §Ó ®¹t ®îc ®iÒu ®ã th× mçi

ngêi gi¸o viªn, mçi häc sinh ph¶i trau dåi kiÕn thøc, su tÇm vµ hÖ thèng cho chÝnh

m×nh nh÷ng ph¬ng ph¸p häc tËp vµ nghiªn cøu riªng.

Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu, viÖc ®i ph©n lo¹i c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i

mét d¹ng to¸n hay bÊt k× mét lÜnh vùc nµo, nã gióp chóng ta cã nhiÒu c¸ch nh×n,

c¸ch lý gi¶i cho cïng mét vÊn ®Ò, nã gióp chóng ta nh×n nhËn, xem xÐt mét c¸ch kÜ

lìng h¬n, díi nhiÒu gãc ®é, ®Ó chóng ta t×m ®îc c¸ch gi¶i quyÕt cho nhanh nhÊt,

hiÖu qu¶ nhÊt.

2. C¬ së thùc tiÔn:

HiÖn nay, trong c¸c trêng THCS vµ ngay c¶ bËc phæ th«ng viÖc gi¶i mét ph-

¬ng tr×nh v« tØ vÉn lµ mét vÊn ®Ò cÇn bµn, ®a sè c¸c gi¸o viªn ®· truyÒn ®¹t hÕt cho

häc sinh nh÷ng kiÕn thøc, nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i nhng cha cã tÝnh hÖ thèng cao, cha

®i s©u vµo ph©n tÝch nh÷ng u ®iÓm, nh÷ng tån t¹i vµ kh¶ n¨ng øng dông cña tõng ph-

¬ng ph¸p chÝnh, bëi lÏ ®ã mµ nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶ng gi¶i cña gi¸o viªn thêng hay

chång chÐo lªn nhau khiÕn cho viÖc tiÕp thu cña häc sinh thêng bÞ ®éng vµ cha cã

tÝnh quyÕt to¸n trong viÖc t×m cho m×nh mét ph¬ng ph¸p tèi u nhÊt khi ®øng tríc

mét bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ.

MÆt kh¸c, ®a sè c¸c em häc sinh kh«ng cã kh¶ n¨ng hÖ thèng cho m×nh

nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i lo¹i ph¬ng tr×nh nµy, hay cßn phÇn lín c¸c em kh«ng biÕt

c¸ch gi¶i thÕ nµo cho ®óng, cho hay, nhÊt lµ víi häc sinh bËc THCS. C¸c em thêng

1

®Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m Ngêi thôc hiÖn:

gi¶i theo ph¬ng ph¸p lòy thõa vµ chän Èn nhng ®a sè c¸c em kh«ng ph¸n ®o¸n ®îc

ph¬ng tr×nh sau cã t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho hay kh«ng?

ChÝnh bëi nh÷ng lÝ do trªn mµ t«i chän ®Ò tµi nµy ®Ó phÇn nµo th¸o gì nh÷ng víng

m¾c trªn, gióp cho qu¸ tr×nh d¹y vµ häc ®îc tèt h¬n vµ ®¹t hiÖu qu¶ mong muèn.

II. Môc ®Ých nghiªn cøu ®Ò tµi:

Mét lµ, gióp häc sinh n¾m ®îc c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i mét bµi gi¶i ph¬ng tr×nh

v« tØ. Trªn c¬ së ®ã, t×m ®îc nh÷ng víng m¾c, khã kh¨n mµ c¸c em thêng gÆp ph¶i

trong qu¸ tr×nh gi¶i lo¹i bµi tËp nµy.

Hai lµ, hÖ thèng ®îc c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ, trªn c¬ së ®ã ph©n

tÝch nh÷ng u viÖt hay h¹n chÕ cña tõng ph¬ng ph¸p.

Ba lµ, th«ng qua hÖ thèng vÝ dô, gióp c¸c em thÊy ®îc c¸ch lùa chän mét hoÆc

nhiÒu ph¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó gi¶i mét bµi to¸n sao cho nhanh vµ ®¹t hiÖu qu¶ tèi -

u nhÊt.

III. §èi tîng vµ kh¸ch thÓ nghiªn cøu:

1. §èi t îng nghiªn cøu:

Nghiªn cøu nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ.

§¸nh gi¸ tÝnh u viÖt, h¹n chÕ vµ kh¶ n¨ng øng dông cña tõng ph¬ng ph¸p gi¶i.

2. Kh¸ch thÓ nghiªn cøu :

TËp trung nghiªn cøu trong ch¬ng tr×nh ®¹i sè líp 8, líp 9 vµ trong ch¬ng tr×nh to¸n

phæ th«ng.

3. Ph¹m vi nghiªn cøu:

Do yªu cÇu cña ®Ò tµi nªn chØ tËp trung nghiªn cøu phÇn ®¹i sè ë líp 8 vµ líp

9 cßn l¹i lµ trong ch¬ng tr×nh to¸n cÊp III.

IV. NhiÖm vô nghiªn cøu cña ®Ò tµi:

Ph¶i hÖ thèng ®îc c¸ch gi¶i mét ph¬ng tr×nh v« tØ.

Ph¶i ph©n tÝch ®îc nh÷ng u viÖt vµ h¹n chÕ cña tõng ph¬ng ph¸p, tõ ®ã ®a ra kh¶

n¨ng øng dông cña tõng ph¬ng ph¸p ®èi víi mét bµi gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ.

Ph¶i ph©n tÝch vµ t×m ra tõng chç thiÕu sãt, chç sai mµ häc sinh thêng hay m¾c ph¶i

vµ ®a ra cho häc sinh nh÷ng c¸ch kh¾c phôc.

2

®Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m Ngêi thôc hiÖn:

V. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu ®Ò tµi:

1 - Ph¬ng ph¸p ®äc vµ ph©n tÝch tµi liÖu.

2 - Ph¬ng ph¸p tæng hîp nh÷ng kinh nghiÖm s¸ng kiÕn cña nh÷ng gi¸o

viªn d¹y giái.

3 - Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t thùc tÕ.

PhÇn II: Néi dung chÝnh cña ®Ò tµi

Ch¬ng I: Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n

I. Nh÷ng vÊn ®Ò chung cña ph¬ng tr×nh:

1. TËp x¸c ®Þnh cña ph ¬ng tr×nh:

a. §Þnh nghÜa: TËp x¸c ®Þnh cña mét ph¬ng tr×nh lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña

mét Èn lµm cho mäi biÓu thøc trong ph¬ng tr×nh cã nghÜa. TËp x¸c ®Þnh ®îc viÕt t¾t

lµ TX§.

VÝ dô :

a. Ph¬ng tr×nh x2

– 7x + 1 = 6x2

+ 2 Cã tËp x¸c ®Þnh lµ D = R

b. Ph¬ng tr×nh

cã tËp x¸c ®Þnh lµ: D = { ∀x ∊ R/x + 4 ≠ 0} = R - {- 4}

c. cã tËp x¸c ®Þnh lµ: D = { ∀x ∊ R/x - 2 ≥ 0} = R – [- 4]

2. Hai ph ¬ng tr×nh t ¬ng ® ¬ng:

2.1. §Þnh nghÜa :

Hai ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng chung mét tËp nghiÖm

trong cïng mét tËp sè.

2.2. VÝ dô :

a. Cho hai ph¬ng tr×nh :

x

2

- 7x + 6 = 0 vµ 2x2

– 14x + 12 = 0 lµ hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng v× chóng

cã cïng tËp nghiÖm S = {1; 6}.

b. Hai ph¬ng tr×nh:

x + 1 = 0 vµ (x + 7).(x - 5) = 0 lµ hai ph¬ng tr×nh kh«ng t¬ng ®¬ng v× tËp

nghiÖm cña ph¬ng tr×nh thø nhÊt lµ S = {- 1} cßn cña ph¬ng tr×nh thø hai lµ S = {-

1; 5}.

c. Hai ph¬ng tr×nh:

x

2

+ 1 = 0 vµ x2

+ x + 6 = 0 lµ hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng v× chóng cã cïng chung

mét tËp nghiÖm lµ S = φ.

3. NghiÖm cña ph ¬ng tr×nh:

3

1

6

2

=

+

−

x 4

x x

2 2

2

x − =x +

®Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m Ngêi thôc hiÖn:

Cho ph¬ng tr×nh f(x) = g(x). NghiÖm cña ph¬ng tr×nh xÐt trªn tËp A lµ sè α ∊ A sao

cho f(α) = g(α).

II. C¸ch gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh c¬ b¶n:

1. Ph ¬ng tr×nh vµ bÊt ph ¬ng tr×nh bËc nhÊt:

- ax + b = 0 ⇔ (víi a ≠ 0)

- ax + b > 0 ⇔ (víi a > 0)

(víi a < 0)

2. BÊt ph ¬ng tr×nh bËc hai:

a. Ph¬ng tr×nh bËc hai cã:

∆ = b2

– 4ac

∆’ = b’2 – ac.

∆ < 0 – ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.

∆ = 0 – ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp.

∆> 0 – ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt.

b. Quy t¾c xÐt dÊu tam thøc bËc hai:

Cho f(x) = ax2

+ bx + c (a ≠ 0)

* ∆ ≤ 0 th× f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a.

* ∆ ≥ 0 th× f(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2.

NÕu f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a khi víi ∀ x ∉ (x1; x2);

f(x) kh¸c dÊu víi hÖ sè a víi ∀ x ∉ (x1; x2);

3. Ph ¬ng tr×nh vµ bÊt ph ¬ng tr×nh tÝch:

f(x).g(x) = 0 ⇔ f(x) = 0 hoÆc g(x) = 0

f(x). g(x) > 0 ⇔ f(x) > 0 hoÆc f(x) < 0

g(x) > 0 g(x) < 0

4. C¸c phÐp biÕn ®æi t ¬ng ® ¬ng:

a. f(x) = g(x) + h(x) ⇔ f(x) – g(x) = h(x)

b. f(x) = g(x) ⇔ f(x) c = g(x) c (víi c ± ± ∊ R)

c. f(x) = g(x) ⇔ k.f(x) = k.g(x) ⇔ (víi k ∊ R*

)

d. f(x) = g(x) ⇔ (f(x))2k + 1 = (g(x))2k + 1 (víi k ∊ N).

e. f(x) = g(x) (víi f(x) ≥ 0; g(x) ≥ 0) ⇔ [f(x)]2k = [g(x)]2k (víi k ∊ N)

III. Ph¬ng tr×nh v« tØ:

1. §Þnh nghÜa:

4

a

b

x = −

a

b

x > −

a

b

x < −

( )

2

' b

b =

2a

b

x =

2a

- b

x

± ∆

=

k

g(x)

k

f(x)

=

®Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m Ngêi thôc hiÖn:

Ph¬ng tr×nh v« tû lµ ph¬ng tr×nh cã chøa dÊu c¨n thøc

2. C¸ch gi¶i chung:

Bíc 1: t×m tËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh.

Bíc 2: t×m c¸ch khö c¨n thøc vµ t×m nghiÖm.

Bíc 3 : so s¸nh víi tËp x¸c ®Þnh vµ kÕt luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.

3.VÝ dô :

Gi¶i ph¬ng tr×nh :

(1)

§iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa 2x + 3 ≥ 0 ⇔ (2)

víi ®iÒu kiÖn x ≥ 0 (3)

ph¬ng tr×nh (1) ⇔ (2x + 3) = x2

(4)

⇔ x

2

– 2x – 3 = 0.

V× a – b + c = 0 nªn (4) cã nghiÖm lµ: x1 = - 1; x2 = 3

x1 = - 1 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (3)

x2 = 3 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn (2) vµ (3)

VËy nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh lµ x = 3.

4. Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí:

4.1. §iÒu kiÖn tån t¹i mét c¨n thøc:

tån t¹i khi ∀ A ≥ 0 (k ∊ N)

tån t¹i khi ∀ A ∊ R (k ∊ N)

= ∣A∣ = A khi A ≥ 0

- A khi A ≤ 0

4.2. Mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng:

a. BÊt ®¼ng thøc C«si:

NÕu a1, a2..... an lµ c¸c sè kh«ng ©m ta cã:

®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a1 = a2 =.... = an.

b. BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki:

NÕu a1, a2..... an vµ b1, b2..... bn lµ c¸c sè tuú ý ta cã:

(a1

2

+ a2

2 +..........+ an

2

).(b1

2

+ b2

2

+........+ bn

2

) ≥ (a1b1 + a2b2 + ........ + anbn)

2

.

5

2x +3 =x

2

3

x ≥ −

k A

2

2k +1 A

2 A

n

1 2 n

1 2 n

a .a ...a

n

a a .........a

≥

+ +