Phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

TRƯƠNG HÀ HẢI

PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG

MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN BIÊN

CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Chuyên ngành: Toán học tính toán

Mã số : 62.46.30.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. GS.TS Đặng Quang Á

2. TS. Vũ Vinh Quang

HÀ NỘI - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án là mới, trung

thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác.

Những kết quả viết chung với các cán bộ hướng dẫn đã được sự đồng ý

khi đưa vào luận án.

Nghiên cứu sinh

i

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các

Thầy hướng dẫn, PGS. TS. Đặng Quang Á và TS. Vũ Vinh Quang. Tôi

vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình, quí báu mà các Thầy đã dành cho tôi

trong suốt quá trình thực hiện luận án. Nhờ những ý tưởng mà các Thầy

đã gợi ý, những tài liệu bổ ích mà các Thầy đã cung cấp cùng với sự hướng

dẫn, chỉ bảo nhiệt tình của các Thầy về công việc nghiên cứu, tôi đã hoàn

thành đề tài của mình. Đặc biệt, từ tận đáy lòng, tôi xin cảm ơn PGS.

TS Đặng Quang Á. Thầy đã dành cho tôi rất nhiều sự quan tâm, chỉ dẫn

và kiên trì dìu dắt tôi từ một học viên còn rất non nớt trong công việc

nghiên cứu khoa học cho đến khi hoàn thành được luận án. Chính nhờ sự

quan tâm và động viên của Thầy đã giúp tôi cảm thấy tự tin hơn, vượt

qua được những khó khăn, vất vả trong suốt quá trình nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy và các cán bộ nghiên cứu trong

Viện Công nghệ thông tin. Trong thời gian qua, Viện CNTT đã tạo cho

tôi môi trường làm việc hết sức thuận lợi và thường xuyên có những lời

động viên, nhắc nhở giúp tôi thực hiện tốt công việc nghiên cứu đề tài.

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy trong Viện Toán đã góp ý và nhiệt

tình chỉ bảo, cho tôi tham dự các buổi Seminar khoa học và các Hội thảo

Toán học giúp tôi bổ sung những kiến thức Toán học cần thiết cho luận

án trong quá trình nghiên cứu.

ii

Tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Trường ĐH Công nghệ thông tin

và Truyền thông - Đại học Thái nguyên đã động viên và tạo điều kiện về

mặt thời gian cũng như công việc giúp tôi tập trung vào công việc nghiên

cứu.

Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn của tôi đến tất cả các đồng nghiệp và

bạn bè của tôi đã chia sẻ buồn, vui và những kinh nghiệm hết sức quí báu

trong cuộc sống lẫn công việc nghiên cứu khoa học.

Cuối cùng, luận án sẽ không thể hoàn thành nếu như không có sự động

viên và hỗ trợ về mọi mặt của gia đình. Luận án này và những công việc

tôi đang cố gắng thực hiện, là để gửi tới cha mẹ, anh chị em và những

người thân trong gia đình với tất cả lòng biết ơn sâu sắc nhất.

Xin chân thành cảm ơn.

iii

Danh mục các chữ viết tắt và các

ký hiệu

DDM Phương pháp chia miền

BAM Phương pháp xấp xỉ biên

SFBIM Phương pháp tích phân biên

LPIS Giá đỡ thẳng bên trong

R

n Không gian Euclide n chiều

Ω Miền giới nội trong không gian R

n

∂Ω Biên của miền Ω

∆ Toán tử Laplace

∇ Toán tử Gradient

C

k

(Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục

L

2

(Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích

Hs

(Ω) Không gian Sobolev với chỉ số s

k.kV Chuẩn xác định trên không gian V

(., .)V Tích vô hướng xác định trên không gian V

I Toán tử đơn vị

Dαu Đạo hàm riêng của u cấp |α|

HA Không gian năng lượng của toán tử A

iv

Danh sách hình vẽ

1.1 Các véc tơ pháp tuyến và tiếp tuyến tại điểm P . . . . . . . . . 16

1.2 Miền Ω và các ký hiệu biên tương ứng. . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 Miền Ω và các miền con Ω1, Ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.5. . . . . . . . . . . 48

2.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.3. . . . . . . . . . . 49

2.4 Miền hình học dạng L với các miền con Ω1 và Ω2 . . . . . . . . 49

2.5 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong miền dạng L . . . . . . . . . . . . 50

2.6 Miền Ω với lớp cách nhiệt Ωδ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán trong môi trường 3 lớp

không đồng nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.8 Miền Ω với các miền con và các phần biên tương ứng . . . . . . 55

2.9 Đồ thị nghiệm xấp xỉ ứng với các hàm: a) Hàm u1; b) Hàm

u2; c) Hàm u3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.10 Hình miền và các điều kiện biên của bài toán Motz . . . . . . . 65

2.11 Nghiệm xấp xỉ của bài toán Motz . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.12 Dáng điệu đạo hàm tại điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1 Miền Ω và các phần biên của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Miền Ω với các điều kiện biên hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Miền Ω và các miền con của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4 Bài toán vết nứt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

v

3.5 Đồ thị nghiệm của bài toán vết nứt . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6 Dáng điệu đạo hàm bậc hai biểu diễn ứng suất dọc theo vết

nứt: theo DDM (bên trái) và theo SFBIM (bên phải) . . . . . . 85

3.7 Bản với một giá đỡ bên trong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.8 Bản với hai giá đỡ bên trong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.9 Bài toán có một LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét

trong 1/4 bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.10 Bài toán có hai LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét

trong 1/4 bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.11 Miền Ω và các miền con Ω1, Ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.12 Mặt võng của 1/4 bản với giá đỡ có độ dài khác nhau . . . . . 96

3.13 Độ dốc của bản theo hướng x và y dọc theo giá đỡ . . . . . . . 96

3.14 Mặt võng của toàn bản có một LPIS . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.15 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e/π = 0.1 . . . 97

3.16 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e/π = 0.3 . . . 97

3.17 Miền Ω và các miền con Ω1, Ω2, Ω3 . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.18 Độ dốc của bản theo hướng x dọc theo LPIS . . . . . . . . . . 101

3.19 Độ dốc của bản theo hướng y xét tại điểm giữa của LPIS . . . 101

3.20 Mặt võng của 1/4 bản với hai LPIS . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.21 Mặt võng của toàn bản có hai LPIS . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.22 Độ dốc của bản theo hướng x với LPIS đặt tại vị trí tùy ý . . 102

3.23 Độ dốc của bản theo hướng y xét tại điểm giữa của LPIS . . . 102

3.24 Mặt võng của 1/4 bản với giá đỡ đặt tại vị trí tùy ý . . . . . . 102

3.25 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1/π =

0.1, e2/π = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

vi

3.26 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1/π =

0.2, e2/π = 0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

vii

Danh sách bảng

2.1 Sự hội tụ của quá trình lặp với r = 0.5 . . . . . . . . . . . . . 48

2.2 Sự hội tụ của quá trình lặp với r = 0.3 . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Sự hội tụ của quá trình lặp giải bài toán trong miền dạng L . . 50

3.1 Sự hội tụ của quá trình lặp với 3 hàm u1, u2, u3 . . . . . . . . 82

3.2 Sự hội tụ của quá trình lặp trong Ví dụ 3.2.5 . . . . . . . . . . 83

3.3 Sự hội tụ của quá trình lặp giải bài toán vết nứt . . . . . . . . 84

3.4 Sự hội tụ của quá trình lặp với 3 hàm u1, u2, u3. . . . . . . . . 93

3.5 Sự hội tụ của quá trình lặp trong trường hợp không biết

trước nghiệm đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.6 Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn nhất và tọa độ tương ứng của

bản với 1 LPIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.7 Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn nhất và tọa độ tương ứng của

bản với 2 LPIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

viii

Mục lục

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu . . . . . . . . . iv

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ . . . . . . . 8

1.1. Không gian Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1. Một số ký hiệu và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2. Không gian Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3. Công thức Green và bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai và phương trình song

điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1. Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai với các điều

kiện biên hỗn hợp, không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2. Bài toán biên của phương trình song điều hòa. . . . . . . . . . . 15

1.3. Các vấn đề cơ bản về phương pháp lặp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1. Lược đồ lặp hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2. Định lý cơ bản về sự hội tụ của các sơ đồ lặp . . . . . . . . . . . 20

ix

1.4. Xây dựng thư viện chương trình giải bài toán biên hỗn hợp yếu 21

1.4.1. Bài toán biên Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2. Bài toán với điều kiện biên Neumann trên ít nhất một cạnh .

25

Chương 2. Phương pháp gần đúng giải một số bài toán biên của

phương trình elliptic cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1. Phương pháp gần đúng giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn

31

2.1.1. Mô hình bài toán mặt phân cách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2. Một số hướng tiếp cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3. Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.4. Một trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.5. Các ví dụ thử nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2. Phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình

elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.1. Mô tả phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.2. Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.3. Một trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2.4. Kết quả thử nghiệm và so sánh với một số phương pháp 63

2.2.5. Áp dụng giải bài toán Motz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Chương 3. Phương pháp giải gần đúng bài toán biên của phương

trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh . .

68

3.1. Một số hướng tiếp cận giải phương trình song điều hòa. . . . . . . . 68

x

3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên

hỗn hợp mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.1. Phát biểu bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.2. Mô tả phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2.3. Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.4. Sơ đồ lặp kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2.5. Các ví dụ thử nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2.6. Giải gần đúng một bài toán vết nứt trong cơ học. . . . . . . . 83

3.3. Phương pháp kết hợp giải gần đúng bài toán về độ uốn của bản có

giá đỡ bên trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3.1. Mô hình bài toán độ uốn của bản có giá đỡ bên trong . . . 86

3.3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán với bản có một LPIS 89

3.3.3. Phương pháp kết hợp giải bài toán có hai LPIS . . . . . . . . . 97

Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Danh mục các công trình đã công bố . . . . . . . . . . . . 109

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

xi

MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán vật lý và cơ học được mô hình hóa bởi các phương trình

đạo hàm riêng. Trong lý thuyết các bài toán biên đối với các phương trình

này thì các bài toán biên hỗn hợp, trong đó dạng các điều kiện biên thay

đổi trong phạm vi của một mặt hay một đường đủ trơn trên biên của miền

được đặc biệt quan tâm, vì tại vị trí phân cách các dạng điều kiện biên

thường xuất hiện kỳ dị của các đại lượng nào đó, ví dụ như luồng nhiệt,

điện thế, ứng suất, môment lực hay lực cắt,...Theo G. I. Popov và N. A.

Rostovtsev, các bài toán trên được gọi là các bài toán hỗn hợp thực sự

"Sobstvenno smexannye" [57]. Trong luận án này, để thuận tiện chúng tôi gọi

các bài toán này là các bài toán hỗn hợp mạnh (theo nghĩa trên một phần

biên trơn có sự thay đổi các loại điều kiện biên). Nói chung rất khó để có

thể tìm được lời giải đúng của các bài toán này. Vì vậy, việc giải gần đúng

các bài toán hỗn hợp bằng các phương pháp số trở thành công cụ phổ biến

như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp

phần tử biên, phương pháp không lưới,... Bản chất của các phương pháp

số là rời rạc hóa bài toán vi phân trong miền hoặc trên biên và kết quả

dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính nói chung là cỡ lớn.

Chất lượng của các phương pháp cho mỗi bài toán được đặc trưng bởi độ

chính xác của lời giải gần đúng của bài toán, độ phức tạp tính toán tức

khối lượng tính toán và dung lượng bộ nhớ cần thiết để thu được lời giải

1