Phương trình truyền sóng và ứng dụng

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG VÀ ỨNG DỤNG

LÊ VĂN ĐÔNG

GVHD: TS.Chử Văn Tiệp

Khoa Toán học

Đại học sư phạm Đà Nẵng

27 - 04 - 2019

(UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 1 / 24

Outline

1 Mở đầu

2 Bài toán dao động của sợi dây vô hạn

3 Bài toán Cauchy trong R

3

4 Phương pháp tách biến

5 Phương trình truyền sóng nhiều chiều

(UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 2 / 24

Mở đầu

Sóng là hiện tượng rất phổ biến trong tự nhiên ví dụ như sóng nước,

sóng âm thanh, sóng siêu thanh, sóng điện từ, sóng ánh sáng, sóng

hấp dẫn, sóng lượng tử.

Giải phương trình truyền sóng

utt − ∆u = f (x,t)

giúp chúng ta hiểu và giải thích được rất nhiều hiện tượng vật lý

trong cuộc sống thường ngày như hiện tượng phản xạ âm thanh, sự

lan truyền của sóng nước, hiện tượng giao thoa ánh sáng, hiện tượng

sóng dừng, cấu tạo hộp cộng hưởng của cây đàn, cây sáo trong âm

nhạc v.v...

(UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 3 / 24

Bài toán dao động của sợi dây vô hạn

Xét phương trình

∂

2u

∂t

2

− a

2 ∂

2u

∂x

2

= f (x,t), ∀x ∈ (−∞, +∞), ∀t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ (−∞, +∞), (1)

∂u

∂t

(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ (−∞, +∞),

trong đó f (x,t), ϕ(x) và ψ(x) là các hàm liên tục trên miền xác định của

chúng. Hàm u = u(x,t) là hàm chưa biết của bài toán và biểu thị biên độ

dao động tại thời điểm t, ở vị trí x.

(UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 4 / 24

Công thức D’Alembert

u(x,t) = 1

2

[ϕ(x + at) + ϕ(x − at)] + 1

2a

Z x+at

x−at

ψ(s)ds

+

1

2a

Z t

0

(Z x+a(t−τ)

x−a(t−τ)

f (ξ, τ )dξ

)

dτ. (2)

Miền phụ thuộc và miền ảnh hưởng của nghiệm

(x,t)

•

(x − at, 0) (x + at, 0) ξ

τ

ξ =

x + a(t

−

τ )

ξ =

x

−

a(t

−

τ )

∆(x,t)

•

(x0, 0)

•

(UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 5 / 24

Ví dụ

Giải phương trình sau

utt − a

2

uxx = −2(2x

2 − 1)e

−x

2

, x ∈ R,t > 0,

u(x, 0) = 0, x ∈ R,

ut(x, 0) = 0, x ∈ R.

u(x,t) = 1

2a

Z t

0

Z x+a(t−τ)

x−a(t−τ)

−2(2ξ

2 − 1)e

−ξ

2

dξdτ

=

1

a

Z t

0

(x + a(t − τ ))e

−(x+a(t−τ))2

− (x − a(t − τ ))e

−(x−a(t−τ))2

dτ

=

1

a

"

e

−(x+a(t−τ))2

2a

+

e

−(x−a(t−τ))2

2a

#

t

0

=

1

2a

2

h

2e

−x

2

− e

−(x+at)

2

− e

−(x−at)

2

i

.

(UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 6 / 24

u(x,t) = 1

2a

2

h

2e

−x

2

− e

−(x+at)

2

− e

−(x−at)

2

i

với a = 1

t = 0 u(x, 0) = 0

t = 1 u(x, 1)

t = 2 u(x, 2)

t = 3 u(x, 3)

(UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 7 / 24

t = 4 u(x, 4)

t = 5 u(x, 5)

t = 6 u(x, 6)

t = 7 u(x, 7)

(UED) Phương trình truyền sóng 27 - 04 - 2019 8 / 24