Phương trình truyền nhiệt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ĐỨC MẬU

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

VỚI LÝ THUYẾT NỬA NHÓM

VÀ CHUYỂN ĐỘNG BROWN

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt 5

1.1 Hàm mũ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian

Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Ý tưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.5 Phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . 8

1.2 Khái niệm nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Định nghĩa. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Toán tử sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt và nửa

nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt . 22

1.3.2 Nửa nhóm của bài toán truyền nhiệt . . . . . . . 24

1.3.3 Định lí Hille - Yosida với nửa nhóm truyền nhiệt . 26

1.3.4 Toán tử sinh của nửa nhóm truyền nhiệt . . . . . 30

2 Chuyển động Brown 34

2.1 Khái niệm chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.1 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.2 Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Mối quan hệ của chuyển động Brown với lý thuyết nửa

nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

2.2.1 Chuyển động Brown sinh ra nửa nhóm co . . . . 36

2.2.2 Điều kiện để chuyển động Brown sinh ra nửa

nhóm truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Kết luận 47

Tài liệu tham khảo 48

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Mở đầu

Lý thuyết nửa nhóm của toán tử tuyến tính trên không gian Banach

xuất hiện đầu thế kỉ XX và phát triển mạnh vào những năm 1948 với

định lý sinh Hille – Yosida, và đạt tới hoàn chỉnh vào những năm 1957

với sự ra đời cuốn “ Semigroups and Functional Analysis” của E. Hille

và R. S. Philips.

Vào những năm của thập kỉ 70, 80 thế kỉ XX nhờ vào sự cố gắng

nghiên cứu của nhiều trường Đại học và nhiều trung tâm nghiên cứu lý

thuyết nửa nhóm đã đạt tới trạng thái hoàn hảo.

Lý thuyết nửa nhóm trở thành một công cụ quan trọng trong toán

học nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình hàm, trong vật lí

lượng tử, cơ học . . .

Trong Luận văn này tôi xin trình bày ứng dụng của lý thuyết nửa

nhóm vào phương trình truyền nhiệt và chuyển động Brown dựa trên tài

liệu [1].

Cấu trúc của đề tài gồm hai chương:

Chương I: Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt.

Trong phần này giới thiệu kiến thức chuẩn bị như : Hàm mũ và các tính

chất của hàm mũ, biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình thuần

nhất phương trình không thuần nhất qua hàm mũ. Khái niệm nửa nhóm

liên tục của toán tử, toán tử sinh và các bổ đề liên quan, trình bày bài

toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt tìm hàm u(x, t), t > 0

thỏa mãn phương trình truyền nhiệt. Chứng minh định lí Hille – Yosida

cho toán tử A sinh duy nhất một nửa nhóm co.

Chương II: Chuyển động Brown.

Ta biết chuyển động Brown nói riêng và quá trình Markov đóng một vai

trò quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên. Trong phần này xét các hạt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn