Phương trình hàm và các ứng dụng.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGÔ THỊ THU HIỀN

PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Cao Văn Nuôi

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ khoa học tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 10 tháng 01 năm

2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài.

Phương trình hàm là một trong những môn toán học có nội

dung khá rộng hấp dẫn đối với học sinh,sinh viên cũng như những

người đang tìm hiểu về lĩnh vực này. Lịch sử phương trình hàm có

lâu đời và được phát triển rộng mở hơn với những nhà toán học nổi

tiếng như Nicole Oressure, Vincent, Cauchy, Jean d’ Alembertm

v.v…với những dạng phương trình hàm như phương trình hàm

Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm Pexider vv…và

các ứng dụng của chúng. Từ những dạng phương trình hàm cơ bản

trên, các bài toán về phương trình hàm không ngừng nâng cao và vận

dụng nhiều kiến thức về đại số, giải tích, đòi hỏi chúng ta phải có

kiến thức cơ sở toán học và sự vận dụng các kĩ năng tốt nhất để tìm

ra lời giải.

Tài liệu về phương trình hàm ở nước ta không nhiều và thiếu

vắng một hệ thống cơ sở lí thuyết về bộ môn này cho sinh viên

trường Đại học sư phạm.Phần lớn chúng được hệ thống lại bằng việc

tập hợp những bài toán nổi tiếng của những nhà toán học từ đó khái

quát ra những dạng cụ thể và tiếp tục nâng cao hơn trong các kì thi

toán quốc tế và các kỳ thi vô địch toán ở các địa phương.

Trong quá trình nghiên cứu tài liệu về phương trình hàm vì

thấy nó đóng vai trò quan trọng trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán

nên tôi chọn đề tài

“ Phương trình hàm và các ứng dụng” để làm luận văn tốt

nghiệp bậc cao học của mình. Đây cũng là bước đầu để tiếp cận sâu

hơn về bộ môn thú vị này.

2

2. Mục tiêu nghiên cứu đề tài.

Tiếp cận và nắm được cách giải của các dạng toán cơ bản về

phương trình hàm.Phát triển kĩ năng giải toán phương trình hàm và

phân loại những bài toán về những dạng cụ thể phục vụ cho việc

nghiên cứu và giảng dạy sau này.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

- Đối tượng nghiên cứu: Các dạng phương trình hàm cơ bản.

- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu theo các biến trên tập hợp

số hữu tỉ, số thực và các dạng của phương trình hàm.

4. Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp nghiên cứu mà tôi dùng ở đây là các phương

pháp suy diễn của toán học để phân tích mỗi dạng phương trình hàm

cơ bản và hệ thống các lớp kiến thức từ đơn giản đến phức tạp. Xây

dựng các lời giải thành một hệ thống với những cơ sở toán học được

dùng như giải tích, đại số vv…

5. Bố cục đề tài.

Chia làm 3 chương

Chương 1: Lịch sử về phương trình hàm.

Chương 2: Các phương trình hàm cơ bản.

Chương 3: Ứng dụng của phương trình hàm.

6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu.

Tài liệu về phương trình hàm cơ bản giành cho học sinh phổ

thông và các cuộc thi toán quốc gia, quốc tế.

3

CHƯƠNG 1

LỊCH SỬ VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

1.1. SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Trong phần đại số ở trường trung học phổ thông, chúng ta đã

làm quen với các phương trình đại số một biến hay nhiều biến số

thực. Phương trình hàm cũng giống như phương trình đại số, ngoại

trừ đó là các biến của hàm số thay cho các số thực. Để tìm ra lời giải

cho các bài toán về phương trình hàm cần sử dụng nhiều tư duy toán

học từ cơ bản đến phức tạp, vì thế phương trình hàm thường xuất

hiện khá đều đặn trong các kì thi toán cấp quốc gia và quốc tế.Trong

chương này chúng ta sẽ khái quát về phương trình hàm, đưa ra những

bài toán của các nhà toán học nổi tiếng song song với việc tìm

hiểuhoàn cảnh ra đời.

1.1.1. Nicole Oresme.

Nicole Oresme là nhà toán học Pháp được xem là nổi tiếng

nhất trong thế kỉ XIV.Ông sinh năm 1323 và mất năm 1382.

Ông có nhiều cải cách về cơ học và tạo ra lĩnh vực vật lí cổ điển.

Đồng thời ông cũng có nhiều công trình nghiên cứu toán học nổi

tiếng, và một trong những nghiên cứu của ông có liên quan đến việc

tìm một hàm thỏa mãn phương trình hàm như sau

   

   

, , , ,

y x f y f x

x y z

z y f z f y

 

  

 

trong đó các

x y z , ,

là các biến riêng biệt.

Ông đã đưa ra lời giải cho hàm số thỏa mãn phương trình

hàm này là một hàm tuyến tính có dạng

f x ax b     .

4

1.1.2. Gregory of Saint-Vincent.

Trong số những nhà toán học lúc này đáng chú ý là Sain￾Vincent(1584-1667), người đã sử dụng phương trình hàm

f xy f x f y        

, để làm việc trên các hypebol và đưa ra

các định lí đầu tiên của hàm logarit.

Ông đã có một công trình lớn trong đó đưa ra nhiều phương

pháp tính diện tích và tiết diện các mặt nón. Đặc biệt Sain-Vincent đã

chỉ ra cách thức tính diện tích một hypebol

1

y x





bằng hình học,

trong khi bây giờ chúng ta có thể sử dụng tích phân để tính diện tích

một hypebol một cách đơn giản, thì ông lại sử dụng những cơ sở

hình học để phân tích và tìm ra diện tích của hypebol này.

Và ông đã tìm ra phương trình hàm

f xy f x f y        

Tuy nhiên việc giải và nghiên cứu phương trình hàm này phải chờ

đến nhà toán học Augustin Louis Cauchy.

1.1.3. Augustin Louis Cauchy.

Mặc dù định nghĩa tuyến tính của Nicole Oresme có thể làm

sáng tỏ về phương trình hàm, nhưng điều đó chưa làm cho lí thuyết

phương trình hàm được biết đến nhiều. Các vấn đề về phương trình

hàm được công bố chính thức từ những nghiên cứu của Augustin

Louis Cauchy.Ông sinh năm 1789 tại Paris, Pháp. Ông nghiên cứu

nhiều mặt của toán học, nhưng được biết đến chủ yếu là vi phân và

Ông cũng là một trong những người đầu tiên tìm ra lí thuyết về tích

phân hiện đại. Phương trình hàm gắn bó với tên tuổi của ông đó là

f x y f x f y x y           , , .

5

Và nó được định nghĩa là phương trình hàm Cauchy, hàm

f

thỏa

mãn yêu cầu trên có dạng

f x ax   

.Và đáp số này là duy nhất

thỏa mãn phương trình trên.

Các nhà toán học trong thời này đã sớm sử dụng công thức

 

2 1 1 1 ... , ,

1 2 1

n n n

n n n

x x x x x n

n

                             

trong đó các hệ số nhị thức của tổng này là

 1 2 ... 1    

.

!

n n n n n i

i i

     

  

 

Công thức trên được gọi là công thức Newton, và nhờ đó Cauchy đã

tìm ra phương trình hàm

f z w f z f w z w          , , .

Phương trình này được gọi là phương trình hàm Cauchy mũcó

nghiệm là

  ,

z

f z b b   .

1.1.4. Jean D’ Alembert.

Jean D’ Alembert cũng là một trong những nhà toán học đứng

đầu trong lĩnh vực phương trình hàm. Phương trình hàm mang tên

ông đó là

    2 ,0 .    

2

g x y g x y g x g y y x



      

Cauchy đưa ra nghiệm cho phương trình hàm này là thích hợp nhất.

Khi đó nghiệm của phương trình D’ Alembert chính xác là

6

 

0

cos .

, 0

2

x x

g x ax

b b b









 





 



1.2. TOÁN HỌC TRONG THI CỬ VÀ TOÁN HỌC GIẢI TRÍ.

Phương trình hàm là một trong những môn toán học vừa mang

tính giải trí lại vừa thách đố trí tuệ thông qua những kì thi toán quốc

gia và quốc tế.Sau đây là một số bài toán về phương trình hàm qua

các kì thi Olimpic toán quốc tế theo từng năm.

Bài toán 1.

Cho

f g,

là các hàm số thực xác định với mọi

x y,

và thỏa mãn

phương trình hàm

f x y f x y f x g y x y          2 , , .    

Chứng tỏ nếu

f

không đồng nhất bằng 0 và

  f x x    1,  

thì

  g y  1  

.

Bài toán 2.

Chứng minh điều kiện cần và đủ trên hằng số

k

tồn tại một hàm liên

tục thỏa mãn

  

9

f f x kx x    , .

1.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐỒNG DẠNG.

Chúng ta có thể thu được các phương trình hàm một biến đơn

giản từ các phương trình hàm hai hay nhiều biến. Thí dụ phương

trình hàm Cauchy

7

f x y f x f y x y          , , .

Khi thay

y x  . Phương trình hàm trên trở thành:

f x f x 2 2 .    

Hàm số đó liên tục nhưng không tuyến tính, nó không thỏa mãn

phương trình hàm Cauchy.

Xét ví dụ sau.Cho

f : 

thỏa mãn các phương trình

   

2

2

f x f x    ,

  f x f x     1 1.   

Chứng minh rằng

f x x x      , .

1.4. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM.

Trong thực tế không thể kì vọng mỗi phương trình hàm có duy

nhất một nghiệm.Thông thường có nhiều nghiệm cho mỗi phương

trình hàm.Chẳng hạn như phương trình hàm

f x f x    1  .

Cụ thể, cho

g

là hàm liên tục xác định trên

0,1.

Đặt

f x g x x       , trong đó

 x

là số nguyên lớn nhất nhỏ

hơn hoặc bằng

x .Ta thấy

f

thỏa mãn phương trình hàm trên bởi vì

x x x x      1 1    .

Việc thử giải các phương trình hàm, nhiều nghiệm có thể xuất

hiện trong phép lấy đạo hàm. Nó phải được thay vào phương trình

hàm ban đầu và kiểm tra lại giả thiết lời giải. Nếu phép lấy đạo hàm

chỉ ra có duy nhất một hàm số có thể là nghiệm thì chúng ta cũng cho

thấy hàm số đó chưa hẳn là nghiệm của phương trình hàm ban đầu.

8

Mặt khác chúng ta nên tìm một hướng giải độc lập với cách giải ban

đầu cho đến khi tìm ra nghiệm hoàn toàn.

CHƯƠNG 2

CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN

2.1. PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

2.1.1. Phương trình hàm Cauchy

Bài toán.(Tổng quát về phương trình hàm Cauchy)

Cho

f : 

là một hàm liên tục thỏa mãn

f x y f x f y x y ( ) ( ) ( ), , .     

Chứng tỏ rằng tồn tại một số thực

a

sao cho:

f x ax x ( ) ,   

Mệnh đề 2.1.Cho

f : 

thỏa mãn phương trình hàm Cauchy

f x y f x f y x y ( ) ( ) ( ), , .     

Khi đó tồn tại một số thực

a

sao cho

f q aq q ( ) ,    .

Mệnh đề 2.2.Giả sử

f : 

và

g : 

là các hàm liên

tục sao cho

f q g q q ( ) ( ),    .

Khi đó

f x g x x ( ) ( ),    .

Định lí 2.3. Cho

f : 

là một hàm liên tục thỏa mãn phương

trình Cauchy

f x y f x f y x y ( ) ( ) ( ), , .     

Khi đó tồn tại một số thực

a

sao cho

f x ax x ( ) ,    .

Định lí 2.4.Cho

f : 

thỏa mãn phương trình hàm Cauchy,

giả sử tồn tại những đoạn số thực

c d, 

sao cho

f

bị chặn dưới

9

trên đoạn

c d, 

. Nói cách khác, tồn tại một số thực

A

sao cho

f x A   

với mọi

c x d  

thì tồn tại một số thực

a

sao cho

f x ax   

với mọi số thực

x .

2.1.2. Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy.

Mệnh đề 2.5.Giả sử

f : 

thỏa mãn phương trình hàm

Cauchy

f x y f x f y x y           , , .

Và

f

cũng là hàm đơn điệu tăng. Có nghĩa là

f x f y x y       , .

Khi đó

f x ax   

với

a  0

nào đó.

Mệnh đề 2.6.Giả sử

f : 

thỏa mãn các phương trình hàm

sau

f x y f x f y         , f xy f x f y       ,

với mọi

x y,

. Thì

f x x    0,

hoặc

f x x x    , .

Một số bài toán về phương trình Cauchy.

Bài toán 1. Tìm các hàm số

f x 

xác định và đồng biến trên

thỏa mãn điều kiện

f x y f x f y x y           , , .

Kết luận:

f x ax x a       , , 0

tùy ý.

Bài toán 2.Xác định các hàm số

f x 

liên tục trên

\ 0 

thỏa

mãn điều kiện