Phương trình hàm sinh bởi hàm hợp trên tập số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

VŨ VIẾT TRƢỜNG

PHƢƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM HỢP

TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2020

i

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái

Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TSKH. Nguyễn Văn

Mậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy đã trực tiếp hướng dẫn

tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.

Xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học-Đại học

Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin cùng các quý thầy, cô giáo đã trực

tiếp giảng dạy lớp cao học Toán K12 đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập

và nghiên cứu trong suốt thời gian qua.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân, bạn

bè, đồng nghiệp luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao

học và viết luận văn này.

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và

hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các

bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 3 năm 2020

Tác giả

Vũ Viết Trường

ii

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1. Một số kiến thức liên quan đến đặc trưng hàm số. 2

1.1 Các tính chất cơ bản của hàm số và tập hợp . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Đặc trưng hàm và các tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Khái niệm phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Phép lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Đặc trưng của các hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . 8

1.3.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . 13

1.4 Dãy số sinh bởi hàm hợp f(αx + β) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chương 2. Phương pháp giải các phương trình hàm trên tập rời rạc 20

2.1 Sử dụng nguyên lý quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2 Một vài ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Ứng dụng bài toán dãy số vào giải phương trình hàm . . . . . . . . 26

2.2.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Một vài ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Sử dụng đánh giá bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2 Một vài ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Sử dụng nguyên lý cực hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

iii

2.4.2 Một vài ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Hàm số sử dụng tính chất số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2 Một vài ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6 Hàm số và hệ đếm cơ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.2 Một vài ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Chương 3. Các dạng phương trình hàm sinh bởi hàm hợp trên tập

số nguyên qua các kỳ Olympic 49

3.1 Các dạng toán về xác định dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Một số dạng toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

1

Mở đầu

Luận văn nhằm cung cấp một số dạng toán và phương pháp giải phương trình

hàm sinh bởi hàm hợp trên tập số nguyên.

Chuyên đề nằm trong chương trình bồi dưỡng HSG ở các lớp THPT phục vụ

các kỳ thi các tỉnh, quốc gia và khu vực.

Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, các bài toán liên quan tới phương

trình hàm sinh bởi các hàm hợp thường xuyên được đề cập. Những dạng toán này

thường được xem là thuộc loại rất khó vì phần kiến thức về chuyên đề này không

nằm trong chương trình toán lớp 12 bậc trung học phổ thông.

Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên

đề phương trình hàm, tôi chọn đề tài luận văn "Phương trình hàm sinh bởi hàm

hợp trên tập số nguyên".

Tiếp theo, khảo sát một số lớp bài toán từ các đề thi HSG Quốc gia và các tỉnh

thành trong cả nước những năm gần đây.

Cấu trúc luận văn gồm 3 chương:

Chương 1. Một số kiến thức liên quan đến đặc trưng hàm số.

Chương 2. Phương pháp giải các phương trình hàm trên tập rời rạc.

Chương 3. Các dạng phương trình hàm sinh bởi hàm hợp trên tập số nguyên

qua các kỳ Olympic.

Tiếp theo, cuối các chương đều trình bày các bài tập áp dụng và các đề thi HSG

quốc gia và Olympic liên quan.

2

Chương 1. Một số kiến thức liên quan

đến đặc trưng hàm số

Trong chương này, tác giả hệ thống lại các tính chất cơ bản của hàm số, đặc

trưng hàm và các tính chất liên quan, khái niệm hàm số tuần hoàn, phản tuần

hoàn và các đặc trưng của hàm tuần hoàn. Các kết quả trong chương 1 được trích

dẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [4] và [8].

1.1 Các tính chất cơ bản của hàm số và tập hợp

Định nghĩa 1.1 (xem [2]). Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặt

tương ứng mỗi phần tử x của X với một (và chỉ một) phần tử của Y . Phần tử này

được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f (x).

- Tập X được gọi là tập xác định của f. Tập hợp Y được gọi là tập giá trị của

f.

- Ánh xạ f từ X đến Y được kí hiệu là

f : X → Y

x 7→ y = f (x)

- Khi X và Y là các tập số thực, ánh xạ f được gọi là một hàm số xác định

trên X

- Cho a ∈ X, y ∈ Y . Nếu f (a) = y thì ta nói y là ảnh của a và a là nghịch ảnh

của y qua ánh xạ f.

- Tập hợp Y = {y ∈ Y |∃x ∈ X, y = f (x)} gọi là tập ảnh của f. Nói cách khác,

tập ảnh f (X) là tập hợp tất cả các phẩn tử của Y mà có nghịch ảnh.

Định nghĩa 1.2 (xem [2]). Ánh xạ f : X → Y được gọi là đơn ánh nếu với

a ∈ X, b ∈ X mà a 6= b thì f (a) 6= f (b), tức là hai phần tử phân biệt sẽ có hai

ảnh phân biệt.

3

Từ định nghĩa ta suy ra ánh xạ f là đơn ánh khi và chỉ khi với a ∈ X, b ∈ X

mà f (a) = f (b), ta phải có a = b.

Định nghĩa 1.3 (xem [2]). Ánh xạ f : X → Y được gọi là toàn ánh nếu với mỗi

phần tử y ∈ Y đều tồn tại một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x). Như vậy f là

toàn ánh nếu và chỉ nếu Y = f (X).

Định nghĩa 1.4 (xem [2]). Ánh xạ f : X → Y được gọi là song ánh nếu nó vừa

là đơn ánh vừa là toàn ánh. Như vậy ánh xạ f : X → Y là song ánh nếu và chỉ

nếu với mỗi y ∈ Y , tồn tại và duy nhất một phần tử x ∈ X để y = f (x).

Định nghĩa 1.5 (xem [2]). Ánh xạ ngược của f, được kí hiệu bởi f

−1

, là ánh

xạ từ Y đến X gán cho mỗi phần tử y ∈ Y phần tử duy nhất x ∈ X sao cho

y = f (x).

Như vậy f

−1

(x) = y ⇔ f (x) = y.

Nếu f không phải là song ánh thì ta không thể định nghĩa được ánh xạ ngược

của f. Do đó chỉ nói đến ánh xạ ngược khi f là song ánh.

Nhận xét 1.1. Một số lưu ý khi áp dụng tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánh

giải phương trình hàm

+) Nếu f : R → R là đơn ánh thì từ f (x) = f (y) suy ra x = y.

+) Nếu f : R → R là toàn ánh thì với mọi y ∈ R, luôn tồn tại x ∈ R để cho

f (x) = y, tức là phương trình (ẩn x) y = f (x) luôn có nghiệm.

+) Nếu f là một hàm số mà đơn ánh thì ta rất hay dùng thủ thuật tác động f

vào hai vế, hoặc tạo ra f (ϕ (x)) = f (φ (x)) suy ra ϕ (x) = φ (x).

+) Nếu f là toàn ánh thì ta hay dùng: Tồn tại một số b sao cho f (b) = 0 , sau

đó tìm b. Nếu quan hệ hàm là hàm bậc nhất của biến ở vế phải thì có thể nghĩ

đến tính đơn ánh, toàn ánh.

+) Nếu f : R → R là toàn ánh và f (x) = ϕ (x), ∀x ∈ T, ở đây T là tập giá trị

của hàm f thì f (x) = ϕ (x), ∀x ∈ R.

Về sau, trong luận văn này ta chỉ xét các ánh xạ là các hàm số xác định và

nhận giá trị trên tập hợp các số thực.

1.2 Đặc trưng hàm và các tính chất liên quan

1.2.1 Khái niệm phương trình hàm

Phương trình hàm được hiểu là các phương trình mà hai vế của phương trình

được xây dựng từ một số hữu hạn các hàm chưa biết (của một số hữu hạn các