Phương trình hàm trong chương trình toán bậc trung học.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

SIHAVONG VILAYPHONE

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG

CHƯƠNG TRÌNH TOÁN BẬC TRUNG HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học:TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: PGS. TS. Huỳnh Thế Phong

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận

văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào

ngày 10 tháng 01 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phương trình hàm là một lĩnh vực toán học có rất nhiều ứng

dụng trong các lĩnh vực khác. Nó có vai trò quan trọng trong nghiên

cứu tin học, quá trình ngẫu nhiên kể cả trong vật lý và truyền

thông…

Đối với chương trình toán bậc trung học thì phương trình hàm

lại xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi các

cấp, mà đa số học sinh thường ít quen biết với dạng toán này.

Hiện nay, nước Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào của chúng

tôi đang chú trọng phát triển giáo dục, nên với tinh thần đó tôi cố

gắng tìm hiểu về phương trình hàm để phục vụ cho công việc giảng

dạy của mình tốt hơn. Với lý do như vậy tôi chọn đề tài luận văn thạc

sỹ của mình là: “Phương trình hàm trong chương trình toán bậc trung

học”.

2. Mục đích nghiên cứu:

Tìm hiểu lịch sử phát triển của phương trình hàm và phân loại,

ứng dụng chúng trong giải toán bậc trung học.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng mà chúng tôi nghiên cứu là tìm hiểu các loại

phương trình hàm có liên quan đến chương trình toán bậc trung học .

Ngoài ra chúng tôi có nghiên cứu một ít về lịch sử hình thành của

phương trình hàm.

4. Phương pháp nghiên cứu

Trước hết chúng tôi tìm hiểu và thu thập các tài liệu liên quan

về Phương trình hàm. Sau đó chúng tôi sẽ tìm hiểu kỹ lưỡng và sắp

xếp theo các dạng toán cụ thể.

2

5. Cấu trúc của luận văn

Luận văn được chia làm 3 chương như sau:

Chương 1. Lịch sử phát triển của phương trình hàm.

1.1.Sự ra đời của phương trình hàm

1.2. Các phương trình hàm đồng dạng

1.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

1.4. Một số ví dụ minh họa

Chương 2. Các dạng phương trình hàm cơ bản

2.1. Phương trình hàm Cauchy

2.2. Phương trình hàm Jensen

2.3. Phương trình hàm Pexider

2.4. Phương trình hàm Vincze

2.5. Phương trình hàm Euler

2.6. Phương trình hàm D’Alembert

Chương 3. Phương trình hàm trong chương trình toán bậc trung

học

3.1. Các phương trình hàm với giả thiết hàm liên tục

3.2. Các phương trình hàm với giả thiết hàm khả vi.

3.3. Các phương trình đa thức

3.4. Giải phương trình hàm bằng cách dùng chuỗi lũy

thừa

3

CHƯƠNG 1

LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM

1.1. SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Trong đại số ở trường phổ thông trung học, chúng ta tìm hiểu

về phương trình đại số liên quan đến một hoặc nhiều ẩn là các số

thực chưa biết. Phương trình hàm cũng giống như phương trình đại

số, tuy nhiên ẩn của nó là một hoặc nhiều hàm số. Bài toán về

phương trình hàm xuất hiện khá thường xuyên trong các cuộc thi

toán. Vì vậy, luận văn này sẽ nghiên cứu và giải quyết một số vấn đề

liên quan đến phương trình hàm ở bậc phổ thông trung học. Trong

chương này, ta tóm lược đôi nét về lịch sử phát triển của phương

trình hàm trong sự phát triển chung của Toán học.

1.1.1 . Nicole Orsme (1323-1382)

Nicole Orsme là một nhà toán học người Pháp, ông là một

trong những nhà khoa học lớn thời Trung cổ,

Phương trình hàm đã được các nhà khoa học nghiên cứu từ rất

sớm. Ngay từ thế kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme đã xác định

hàm số bậc nhất như một nghiệm của phương trình hàm. Cụ thể là,

ông đã đặt bài toán tìm hàm số f(x) thỏa mãn với mọi x,y,z RŒ ,

đôi một phân biệt, phương trình hàm sau:

( ) ( )

( ) ( )

- -

=

- -

y x f y f x

z y f z f y

(1.1.1)

Và Nicole Orsme đã tìm được nghiệm của phương trình

(1.1.1) là: f(x)=ax+b với a,b là hằng số.

1.1.2. Gregoire de Saint-Vincent (1584-1667)

Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm đã được biết

đến nhiều hơn nhưng lại không có một lý thuyết chung nào cho các

phương trình hàm lúc đó. Trong số nhà toán học lớn có nhà toán học

4

Gregoire de Saint-Vincent, người đi đầu về lý thuyết Logarithm và

đã tìm ra được hàm hypebol trong phương trình hàm f(xy)=f(x)+f(y).

Ông đã xét bài toán diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các

đường

1

y ; x 1; x t; x,y R

x

+

= = = " Œ ông đã kí hiệu diện tích

đó là f(t) và chứng tỏ f(t) thỏa mãn phương trình hàm:

f(xy)=f(x)+f(y), x, y R+ " Œ

Ngày nay thì ta đã biết đó là hàm f ( x x ) log

a

= với a > 0,a

¹ 1

Tuy nhiên, việc giải và tìm ra nghiệm của phương trình hàm

f(x)+f(y)=f(xy) x, y R+ " Œ , thì phải đến 200 năm sau mới tìm

được nhờ công của Augustin-Louis Cauchy (1789-1885).

1.1.3. Augustin-Louis Cauchy (1789-1885)

Năm 1805, khi 16 tuổi Cauchy đã gặp được một thầy dạy

Toán giỏi và đã thi đỗ thứ hai vào trường Đại học Bách Khoa. Năm

1807 ông vào học trường Đại học Cầu đường và tuy mới 18 tuổi

nhưng ông đã vượt qua các bạn học 20 tuổi, mặc dù các bạn này đã

học 2 năm ở trường này rồi. Năm 1813, ông dạy toán ở Trường Bách

Khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp.

Bước vào tuổi 27, ông là nhà toán học xuất sắc thời bấy giờ,

ông nghiên cứu ở nhiều lĩnh vực. Tuy nhiên, ông chủ yếu được biết

đến trên lĩnh vực toán học và được công nhận là một trong những

người sáng lập nên toán học hiện đại.

Mặc dù định nghĩa của Nicole Oresme về tuyến tính có thể

được hiểu như là một ví dụ đầu tiên về một phương trình hàm, nó

không đại diện cho một điểm khởi đầu cho lý thuyết về phương trình

5

hàm. Các chủ để của phương trình hàm được đánh dấu một cách

chính xác hơn từ công việc của Augustin-Louis Cauchy. Một trong

những phương trình hàm nổi tiếng mà ta hay gọi là phương trình

Cauchy có dạng:

f ( x + y) = + f ( x) f y( )," Πx, y R

(1.1.2)

Nghiệm của phương trình (1.1.2) có dạng f(x)=ax+b.

Phương trình (1.1.2) cũng đã được Carl Friedrich Gauss

(1777-1855) và Legandre nghiên cứu khi tìm ra định lí cơ bản của

hình học xạ ảnh và khi nghiên cứu phân phối Gauss về phân bố xác

suất. G. Darbour cũng đã nghiên cứu phương trình (1.1.2) và chỉ ra

rằng chỉ cần f (x ) hoặc liên tục tại một điểm, hoặc bị chặn trên (hoặc

dưới) trên một khoảng đủ nhỏ thì nghiệm của phương trình (1.1.2)

vẫn là f ( x) = k x . Sau đó các nhà toán học còn đưa ra nhiều hạn chế

nữa, nhưng việc chỉ ra hàm số không liên tục và thỏa điều kiện

(1.1.2) mãi đến năm 1905 mới được thực hiện bởi nhà toán học

người Đức Georg Hamel (1877-1954) với việc đưa ra hệ cở sở

Hamel của tập số thực R.

Thật bất ngờ là một trong những phương trình hàm cơ bản lại

có liên quan chặt chẽ đến nhị thức Newton.

Từ hàng thế kỷ trước Newton, các nhà toán học đã biết đến

công thức

1 2 2 1 1 (1 ) 1 ...

n n n

n n n

n

x C x C x C x x

- - + = + + + + +

(1.1.3)

đúng với mọi nŒ R và với mọi xŒ R , trong đó các tổ hợp

k Cn

được

xác định từ tam giác Pascal và được tính theo công thức:

( 1)( 2)...( 1)

!

n n n n i i C

n i

- - - +

= (với i là số tự nhiên)

(1.1.4)

6

1.1.4. Jean d’Alembert (1717-1783)

Jean d'Alembert sinh năm 1717 ở Paris, ông là con ngoài giá

thú của một sĩ quan quân đội và một nhà văn.

Trong lịch sử, Jean d'Alembert có thể được coi là tiền bối về

nghiên cứu phương trình Cauchy. Tuy nhiên, trong vấn đề về phương

trình hàm, nó có vẻ tự nhiên hơn khi xem xét đóng góp của ông sau

Cauchy.

Khi nghiên cứu định luật tổng hợp lực theo quy tắc hình bình

hành, ông đã xét phương trình:

g ( x + y) + g ( x - = y) 2g ( x) g y( )

(1.1.5)

Với 0

2

£ y x £ £

p

Phương trình (1.1.3) bây giờ được gọi là

phương trình d'Alembert. Yêu cầu đặt ra là phải tìm ra tất cả các hàm

g : R R Æ thỏa mãn phương trình (1.1.3), ở đây chúng ta đang gặp

một khó khăn lớn trong việc tìm nghiệm so với phương trình

Cauchy. Phương trình này làm ta liên tưởng đến các tính chất của các

hàm số lượng giác. Xét các hàm số lượng giác đơn giản ta thấy hàm

số g(x)= cos(x) thỏa mãn nhưng hàm số g(x)= sin(x) thì lại không

thỏa mãn. Câu hỏi đặt ra là liệu có còn các nghiệm khác không? Và

người ta đã chỉ ra các nghiệm đó có dạng g(x)= b.cosax, với việc

chọn các hằng số a, b phù hợp. Tuy nhiên, khi thay x = y = 0 vào

phương trình (1.1.3) ta được g(0)=g

2

(0), suy ra g(0)= 0 hoặc g(0)= 1

lần lượt tương ứng với trường hợp b = 0 và b = 1. Với a là một hằng

số tùy ý, nếu g(x) là một nghiệm bất kì của phương trình (1.1.5) thì

g(ax) cũng là một nghiệm.

Như vậy, nghiệm ban đầu có thể mở rộng thành g(x)=0 hoặc

g(x)=cosx.

7

Người ta lại tự hỏi, ngoài các nghiệm trên thì có nghiệm nào

khác không? Câu trả lời là có.Và một lần nữa, vào năm 1821,

Cauchy đã giải được phương trình hàm trên với điều kiện g(x) là hàm

liên tục và được nghiệm là: g(x)=0, g(x)=cosax

hoặc ;

2

( )

b b

x x

g x

-

+

= > 0

Sau đó người ta nghiên cứu và đã viết lại nghiệm trên thành :

g(x)=0, g(x)=cosax hoặc ( > 0)

1.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐỒNG DẠNG

Định nghĩa: phương trình hàm đồng dạng với một phương trình hàm

nhiều biến là phương trình hàm 1 biến đơn thu được từ phương trình

hàm nhiều biến bằng cách cho các biến đó bằng nhau,

Ví dụ: Xét phương trình Cauchy 2 biến :

( + ) = ( ) + ( ), , ∈ ℝ.

Khi thay : = , Ta thu được phương trình đồng dạng với nó là:

(2 ) = 2 ( ), ∈ ℝ.

Trong nhiều trừơng hợp. việc hạn chế nên của biến số cũng giúp ta

tìm ra lời giải một cách rõ ràng và thuận lợi. Để minh thọa cho điều

này ta xét ví dụ thú vị sau đây:

1.3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Đinh lí: 1.3.1 Chúng ta luôn quan tâm rằng với các điều kiện

nào đó mỗi phương trình hàm chỉ có một nghiệm duy nhất. Thông

thường mỗi phương trình hàm có thể có rất nhiều nghiệm.

Ví dụ : Tìm tất cả các hàm số f : [1,+ ∞)Æ[1,+ ∞ ) ,

sao cho : f(xf(y)) = yf(x) , với mọi x , y thuộc [1,+ ∞).

Giải: Ta nhận thấy f(x) = x là nghiệm của bài toán. Ta sẽ

chứng minh nghiệm đó là duy nhất : Cho x = y = 1 thì f(f(1)) = f(1)

Cho y = f(1) thì f(xf(f(1))) = f(1)f(x) ⟹ f(xf(1)) = f(1)f(x) .

8

Mặt khác : f(xf(1)) = f(x) (gt). ⟹f(1)f(x) = f(x) ⟹f(1) = 1, (f(1) ≥

1, ∀ )

Cho x = 1 ta được: f(f(y)) = y (i)

Nếu f(y) = 1 ⟹f(fy)) = f(1) = 1 , từ (i) ⟹y = 1.

Vậy : f(y) > 1 , ∀ > 1.

Nếu x > y ≥ 1 thì f(x) = f(

x

y

y) = f(

x

y

f(f(y)) = f(y)f(

x

y

) (ii)

Do x > y ⟹

x

y

>1 ⟹f(

x

y

) >1

(ii) ⟹ f(x) > f(y) suy ra f(x) đồng biến trên [1,+ ∞).

Giả sử ⟹ ∃x0 ; f(x0) ≠xo ta xét các trường hợp sau :

Trường hợp 1: f(x0) > x0 ⟹ f(f(x0)) > f(x0) ⟺ x0 > f(x0)

vô lý .

Trường hợp 2 : f(x0) < x0 ⟹ f(f(x0)) < f(x0) ⟺ x0 < f(x0)

vô lý .

Vậy f(x) = x , ∀ ∈ ;

1.4. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Bài toán 1.4.1 Tìm các hàm thỏa mãn phương trình

2 ( ) + (

) = , ≠ 0 (1.4.1)

Lời giải.

Thay bởi

ta có: 2 (

) + ( ) =

(1.4.2)

Nhân (1.4.1) với 2 rồi trừ cho (1.4.2) ta có:

3 ( ) = 2 −

⇒ ( ) =

(2 −

)

⇒ ( ) =

Vậy :

⇒ ( ) =

; ≠ 0