Phương trình hàm sinh bởi phép quay và một số áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN TUẤN

PHƯƠNG TRÌNH HÀM

SINH BỞI PHÉP QUAY

VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60 46 40

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN, 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mục lục

Mở đầu 4

1 Đặc trưng các biến đổi cyclic 6

1.1 Phép biến đổi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Mối liên hệ giữa hàm phân tuyến tính và phương trình bậc hai 6

1.1.2 Nhóm cyclic các hàm phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Một số nhóm hữu hạn trên đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Nhóm cyclic trên đường tròn đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Nhóm cyclic các hàm số phân tuyến tính trên đường tròn đơn vị 12

1.2.3 Nhóm cyclic trên đường thẳng thực . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Phương trình hàm sinh bởi phép đối hợp với hệ số hằng 15

2.1 Phương trình hàm tuyến tính và phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . 15

2.2 Phương trình hàm với vế phải là hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Phương trình hàm sinh bởi phép đối hợp với hệ số biến thiên 27

3.1 Nghiệm riêng của phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Nghiệm của phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Nghiệm của phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Một số áp dụng 33

4.1 Xác định dãy cấp số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1.2 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.3 Cấp số tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Xác định một số dãy số phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Phương trình hàm trên tập số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Trong toán học phổ thông mỗi bài toán về phương trình hàm là các loại toán thường

rất khó. Liên quan đến các dạng toán này là các bài toán về đặc trưng hàm số và các

tính chất liên quan.

Để tổng quan các phương pháp giải các dạng toán trên, cần thiết phải hệ thống

hóa các kiến thức cơ bản và nâng cao về các dạng phương trình hàm cũng như các ứng

dụng của chúng.

Đề tài "Phương trình hàm sinh bởi phép quay và một số áp dụng" nhằm đáp ứng mong

muốn của bản thân về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho

việc giảng dạy của mình trong nhà trường phổ thông.

Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, trong đó có các đặc trưng tính chất của hàm số,

các tính chất của dãy số, các tính chất của nhóm cyclic (nhóm quay vòng) và nhiều

kiến thức cơ bản khác.

2. Mục đích nghiên cứu

Nhằm hệ thống và tổng quan các bài toán về phương trình hàm và cho các ứng dụng

khác nhau trong toán phổ thông.

Nắm được một số kĩ thuật về tính toán trên biến đổi tuyến tính và phân tuyến tính,

về đặc trưng hàm số, về tính chất cơ bản của hàm thực và số phức.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các các bài toán về phương trình hàm và xét các ứng dụng liên quan.

Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS - TSKH Nguyễn Văn Mậu, các tài liệu

bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí toán học và tuổi trẻ,. . .

5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn