Phương trình hàm cauchy cộng tính và tính ổn định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THANH THẢO

PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

CỘNG TÍNH VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: PGS. TSKH Trần Quốc Chiến

Phản biện 2: GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng

8 năm 2016

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết về phương trình hàm là một lĩnh vực được ra đời và

phát triển mạnh mẽ trong lịch sử của ngành Giải tích Toán học.

Trong đó, phương trình hàm Cauchy là một trong những dạng

phương trình hàm cơ bản, đóng vai trò nòng cốt về phương pháp luận

cũng như phương pháp giải cho hầu hết các dạng toán liên quan.

A.M. Legendre được xem như là người đầu tiên đưa ra lời giải của

phương trình hàm Cauchy, đồng thời cũng là người khởi nguồn cho

việc nghiên cứu về lớp hàm cộng tính. Có thể thấy tính chất của hàm

cộng tính có mối liên hệ chặt chẽ đến cách xác định lời giải của

phương trình hàm Cauchy cộng tính. Vì vậy việc nghiên cứu các tính

chất của hàm cộng tính có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết của

phương trình hàm Cauchy nói riêng và phương trình hàm nói chung.

Bên cạnh một số cách tiếp cận phương trình hàm như: nghiên

cứu định tính (xác định một số đặc trưng của hàm số) hoặc nghiên

cứu định lượng (ước lượng số nghiệm, xác định các dạng nghiệm cụ

thể), nghiên cứu nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, xác định

nghiệm liên tục hay gián đoạn... thì tính ổn định nghiệm của phương

trình hàm cũng là một trong số những hướng nghiên cứu chính khi

tiếp cận phương trình hàm.

Chính vì tất cả các lí do nêu trên, tôi chọn đề tài: “Phương trình

hàm Cauchy cộng tính và tính ổn định” để nghiên cứu.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

– Nghiên cứu các tính chất của hàm cộng tính và mối liên hệ giữa

hàm cộng tính với phương trình hàm Cauchy cộng tính.

2

– Nghiên cứu tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng

tính.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm Cauchy cộng tính.

3.2. Phạm vi nghiên cứu: Tính chất của hàm cộng tính và tính ổn

định của phương trình hàm Cauchy cộng tính.

4. Phương pháp nghiên cứu

– Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, các bài

báo khoa học và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của

luận văn) để thu thập thông tin nhằm phục vụ cho việc phân tích, làm

rõ các vấn đề có trong đề tài.

– Nghiên cứu các tài liệu thu thập được, tổng hợp và hệ thống lại,

đồng thời trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của Thầy hướng dẫn,

của chuyên gia và của các đồng nghiệp.

5. Nội dung

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo thì

nội dung luận văn gồm hai chương

Chương 1. Phương trình hàm Cauchy cộng tính

Chương 2. Tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính.

3

CHƯƠNG 1

PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH

1.1. GIỚI THIỆU

Sự nghiên cứu về hàm cộng tính bắt nguồn từ A.M. Legendre –

người đầu tiên tìm cách xác định lời giải của phương trình hàm

Cauchy

fx y fx fy ( ) () () += +

với mọi x y, . ∈ Đến năm 1821, A.L. Cauchy bắt đầu đề xuất những

nghiên cứu có tính hệ thống về phương trình hàm Cauchy cộng tính

trong sách Cours d’Analyse của mình. Hàm cộng tính chính là

nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính nêu trên. Vì vậy

trong chương này, chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu về hàm cộng

tính.

Đầu tiên ta định nghĩa như thế nào là một phương trình hàm. Sau

đó xem xét phương trình hàm Cauchy cộng tính và chỉ ra rằng những

hàm cộng tính liên tục hoặc khả tích địa phương là tuyến tính. Hơn

nữa, chúng ta nghiên cứu dáng điệu của các hàm cộng tính phi tuyến

không liên tục, từ đó chỉ ra rằng chúng biểu hiện một dáng điệu rất

lạ: đồ thị của chúng trù mật trong mặt phẳng. Tiếp theo, chúng ta đề

cập một cách ngắn gọn về cơ sở Hamel và ứng dụng của nó trong

việc xây dựng lớp hàm cộng tính không liên tục. Chúng ta cũng sẽ

xem xét dưới những tiêu chuẩn khác để nghiệm của phương trình

hàm Cauchy cộng tính là tuyến tính. Bên cạnh đó, chương này cũng

sẽ đề cập đến một số hàm cộng tính phức tạp khác. Kết thúc chương

là tập hợp các nhận xét, nơi chúng ta nêu ra một số vấn đề mở rộng

và phát triển liên quan tới phương trình hàm Cauchy cộng tính.

1.2. PHƯƠNG TRÌNH HÀM

4

Phương trình hàm là những phương trình mà yếu tố chưa biết

chính là các hàm. Giải một phương trình hàm nghĩa là tìm tất cả các

hàm thỏa mãn phương trình hàm đã cho. Và để thu được một lời giải

hoàn chỉnh, các hàm phải được hạn chế trong một điều kiện tự nhiên

đặc biệt (chẳng hạn như giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo

được hay đơn điệu).

1.3. NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG

TÍNH

Trong phần này, chúng ta giới thiệu về phương trình hàm Cauchy

cộng tính và xác định nghiệm chính quy của nó.

Định nghĩa 1.1. Một hàm f :   → được gọi là một hàm cộng

tính nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính

fx y fx fy ( ) ( ) ( ) (1.1) += +

với mọi x y, ∈ .

Định nghĩa 1.2. Một hàm f :   → được gọi là một hàm tuyến

tính khi và chỉ khi nó có dạng

f x cx ( ) = (∀ ∈x )

với c là một hằng số tùy ý.

Đồ thị của một hàm tuyến tính f x cx ( ) = là một đường thẳng

(không thẳng đứng) đi qua gốc tọa độ và do đó được gọi là tuyến

tính. Dễ thấy rằng, các hàm tuyến tính đều thỏa mãn phương trình

hàm Cauchy. Vậy câu hỏi nảy sinh ở đây là, ngoài hàm tuyến tính ra

thì còn có hàm nào khác cũng thỏa mãn phương trình hàm Cauchy

nữa hay không?

Chúng ta bắt đầu với việc chứng minh rằng, chỉ những nghiệm

hàm liên tục của phương trình hàm Cauchy mới là hàm tuyến tính.

Kết quả này đã được Cauchy khẳng định vào năm 1821.

5

Định lý 1.1. Cho f :   → là một hàm liên tục thỏa mãn

phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1). Khi đó f tuyến tính; vì

vậy, f x cx ( ) = với c là một hằng số tùy ý.

Lưu ý rằng trong Định lý 1.1, chúng ta sử dụng tính liên tục của

hàm f để kết luận f khả tích. Tính khả tích của hàm f làm cho

nghiệm hàm của phương trình hàm Cauchy cộng tính trở nên tuyến

tính. Vì vậy, mọi hàm cộng tính khả tích đều tuyến tính.

Định nghĩa 1.3. Một hàm f :   → được gọi là khả tích địa

phương khi và chỉ khi nó khả tích trên mọi khoảng hữu hạn.

Có thể kết luận rằng mọi nghiệm khả tích địa phương của

phương trình hàm Cauchy cộng tính đều tuyến tính thông qua một

chứng minh đã biết của Shapiro (1973).

Mặc dù chứng minh của Định lý 1.1 là khá ngắn gọn và chỉ vận

dụng các tính toán thông thường, tuy nhiên nó chưa làm sáng tỏ vấn

đề liên quan giữa tính cộng tính và tính tuyến tính. Bây giờ chúng ta

sẽ đưa ra một chứng minh khác để có thể hiểu rõ hơn về dáng điệu

của nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính. Trước tiên, ta bắt

đầu với định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 1.4. Một hàm f :   → được gọi là thuần nhất hữu

tỷ khi và chỉ khi

f rx rf x ( ) () = (1.5)

với mọi x∈ và với mọi số hữu tỷ r .

Định lý sau đây sẽ chỉ ra bất kỳ nghiệm nào của phương trình

hàm Cauchy cộng tính cũng thuần nhất hữu tỷ.

Định lý 1.2. Cho f :   → là một nghiệm của phương trình

hàm Cauchy cộng tính (1.1). Khi đó f là một hàm thuần nhất hữu

tỷ. Hơn nữa, f tuyến tính trên tập hợp số hữu tỷ  .

6

Định lý 1.3. Cho f là một nghiệm của phương trình hàm

Cauchy cộng tính (1.1). Nếu f liên tục tại một điểm thì nó liên tục

tại mọi điểm.

Định lý 1.4. Cho f là một nghiệm của phương trình hàm

Cauchy cộng tính (1.1). Nếu f liên tục tại một điểm thì f tuyến

tính; vì vậy, f x cx ( ) = với mọi x∈ .

1.4. NGHIỆM KHÔNG LIÊN TỤC CỦA PHƯƠNG TRÌNH

CAUCHY CỘNG TÍNH

Trong phần trước, chúng ta đã chỉ ra rằng một nghiệm liên tục

của phương trình Cauchy cộng tính thì tuyến tính. Hay nói cách khác,

hàm cộng tính liên tục thì tuyến tính. Thậm chí, khi chúng ta nới lỏng

điều kiện liên tục thành liên tục tại một điểm, thì hàm cộng tính vẫn

tuyến tính. Trong nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộng tính không liên

tục là một vấn đề bỏ ngỏ. Các nhà toán học không thể chứng minh

được mọi hàm cộng tính là liên tục, cũng không thể chỉ ra một ví dụ

về hàm cộng tính không liên tục. Mãi đến năm 1905, một nhà toán

học người Đức là G. Hamel đã thành công trong việc minh chứng sự

tồn tại của hàm cộng tính không liên tục.

Bây giờ chúng ta tìm hiểu về nghiệm phi tuyến của phương trình

Cauchy cộng tính. Đầu tiên, chúng ta chứng tỏ rằng nghiệm phi tuyến

của phương trình Cauchy cộng tính biểu thị một dáng điệu rất kì lạ.

Định nghĩa 1.5. Đồ thị của một hàm f :   → là tập hợp

G xy x y f x = ∈= {( , )| , ( ) .  }

Định lý 1.5. Đồ thị của mọi nghiệm hàm phi tuyến f :   →

của phương trình Cauchy cộng tính trù mật khắp nơi trong mặt

phẳng 2  .

7

Vậy đồ thị của một hàm cộng tính liên tục là một đường thẳng đi

qua gốc tọa độ. Trong khi đó, đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến

trù mật trong mặt phẳng 2  .

Tiếp theo, ta giới thiệu khái niệm của cơ sở Hamel để xây dựng

một hàm cộng tính gián đoạn.

Xét tập hợp

S s s u v w uvw = ∈ =+ + ∈ {   | 2 3, , , }

với mỗi phần tử của tập hợp là một tổ hợp tuyến tính hữu tỷ của

1, 2, 3 . Hơn nữa, tổ hợp hữu tỷ này là duy nhất. Vì vậy, giả sử

một phần tử s S ∈ có hai tổ hợp tuyến tính hữu tỷ khác nhau, ví dụ

như

suv w uv w =+ + =+ + 2 3 ' ' 2 ' 3,

thì u uv v = = ', ' và w w= ' . Để chứng minh điều này chúng ta lưu ý

rằng giả thuyết này dẫn tới

( ') ( ') 2 ( ') 3 0. uu vv ww − +− + − =

Đặt a uu = − ( '), b vv = − ( ') và c ww = − ( ') , ta thấy rằng biểu thức

trên được thu gọn thành

ab c ++= 2 3 0.

Tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng a bc = = = 0 . Thật vậy, biểu thức trên

cho ta

bc a 23, + =−

bình phương hai vế, ta được

2 22 2 6 2 3. bc a b c =− −

Điều này kéo theo b hoặc c phải bằng không. Thật vậy, vì nếu b và

c đồng thời khác không, chúng ta có thể chia hai vế cho 2bc và thu

được

8

2 22 2 3 6

2

abc

bc

− − =

Điều này mâu thuẫn với 6 là một số vô tỷ. Nếu b = 0 , thì

a c + = 3 0 ; suy ra c = 0 (vì 3 a

c = − là một số hữu tỷ trái với thực

tế rằng 3 là một số vô tỷ). Tương tự, nếu c = 0 , ta có được b = 0 .

Vì vậy cả b và c đều bằng không. Điều này ngay lập tức dẫn đến

a = 0 .

Nếu chúng ta đặt

B = {1, 2, 3 , }

thì mỗi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính hữu tỷ duy nhất của

các phần tử thuộc tập hợp B . Khi đó, tập hợp B được gọi là một cơ

sở Hamel của tập hợp S . Về mặt hình thức thì một cơ sở Hamel

được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 1.6. Cho S là một tập các số thực và B là một tập

hợp con của S . Khi đó B được gọi là một cơ sở Hamel của S nếu

mọi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính hữu tỷ (hữu hạn) duy

nhất của B .

Nếu tập hợp S là tập hợp số thực  , sử dụng tiên đề chọn có thể

chỉ ra rằng tồn tại một cơ sở Hamel của tập hợp  . Chứng minh của

điều này nằm ngoài phạm vi của tài liệu.

Có thể nhận xét rằng, tồn tại một mối liên kết khăng khít giữa các

hàm cộng tính và cơ sở Hamel. Để mô tả một hàm cộng tính, ta chỉ

cần cho các giá trị trên một cơ sở Hamel, và các giá trị này có thể

phân bố tùy ý. Đây chính là nội dung của hai định lý tiếp theo.

Định lý 1.6. Cho B là một cơ sở Hamel của  . Nếu hai hàm

cộng tính có cùng giá trị tại mỗi phần tử của B , thì chúng bằng

nhau.