Phương trình dạng maxwell đa kích thước

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

———————————

NGUYỄN ANH

PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MAXWELL

ĐA KÍCH THƯỚC

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Đà Nẵng - Năm 2020

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN ANH

PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MAXWELL

ĐA KÍCH THƯỚC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Người hướng dẫn khoa học: TS. CHỬ VĂN TIỆP

Đà Nẵng - Năm 2020

Mục lục

Mục lục 1

1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Ký hiệu và kiến thức phụ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Định lý Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Thuần nhất hóa phương trình dạng Maxwell 8

2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Bài toán dạng Maxwell đa kích thước . . . . . . . 8

2.1.2 Hội tụ đa kích thước . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.3 Thuần nhất hóa bài toán dạng Maxwell đa kích thước 14

2.2 Hiệu chỉnh và sai số thuần nhất hóa . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Bài toán hai kích thước . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Bài toán đa kích thước . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Tính trơn của χ

r

, ω

r và u0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình dạng

Maxwell 49

3.1 Phần tử hữu hạn rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1 Tích tenxơ đầy đủ phần tử hữu hạn . . . . . . . . 51

3.1.2 Tích tenxơ thưa phần tử hữu hạn . . . . . . . . . 54

3.2 Một số kết quả số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Vật liệu tổng hợp đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành

khoa học kỹ thuật như cơ học, vật lý, hóa học, sinh học.... Trong các vật

liệu tổng hợp, những tính chất vật lý (chẳng hạn như tính dẫn nhiệt, tính

đàn hồi, tính dẫn điện, từ tính...) không liên tục và dao động giữa các

thành phần khác nhau cấu tạo nên vật liệu đó. Khi các thành phần này

được trộn lẫn với nhau, các tính chất này dao động rất nhanh dẫn tới

các cấu trúc vi mô của nó trở lên rất phức tạp.

Việc nghiên cứu tính chất của những vật liệu tổng hợp nêu trên dẫn

đến việc giải các phương trình đạo hàm riêng phụ thuộc vào nhiều kích

thước khác nhau. Tuy nhiên việc giải các phương trình đạo hàm riêng

loại này rất phức tạp vì hệ số của chúng dao động rất nhanh.

Một trong những cách để khắc phục khó khăn đó là dùng lý thuyết

thuần nhất hóa để nghiên cứu các tính chất vĩ mô của vật liệu thông

qua các cấu trúc vi mô đó. Về mặt toán học, lý thuyết thuần nhất hóa

nghiên cứu giới hạn của một dãy các bài toán và nghiệm của chúng khi

một tham số dẫn tới 0. Tham số này là tỉ số giữa kích thước vi mô của

các thành phần cấu tạo nên vật liệu và kích thước vĩ mô của toàn bộ

khối vật liệu.

L

l

ε =

l

L → 0

u

ε(x) u

0

(x)

curl (a

ε(x)curl u

ε(x)) + b

ε(x)u

ε(x) = f(x) curl (a

0

(x)curl u

0

(x)) + b

0

(x)u

0

(x) = f(x)

2