Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa dấu trị tuyệt đối

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

SVTH: Trần Thị Yên – Lớp: 09ST 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG

TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Sinh viên thực hiện: Trần Thị Yên

Lớp: 09 ST

Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Đà Nẵng, tháng 5/2013

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

SVTH: Trần Thị Yên – Lớp: 09ST 2

Mục lục

Lời cảm ơn

Lời nói đầu

Chương I: Một số kiến thức cơ bản............................................................................ 1

1.1. Giá trị tuyệt đối của một biểu thức ........................................................... 1

1.2. Dấu của tam thức bậc hai........................................................................... 2

1.3. Các bất đẳng thức cần nhớ......................................................................... 3

1.4. Cách vẽ đồ thị của một số hàm đơn giản................................................... 3

1.5. Hàm số chẵn, hàm số lẻ và các phép biến đổi tọa độ................................. 7

1.6. Các phép biến đổi đồ thị cho các dạng hàm chứa dấu trị tuyệt đối.......... 9

1.7. Một số hệ phương trình và cách giải.......................................................... 10

Chương II: Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối...................................................... 13

2.1. Phương pháp biến đổi tương đương.......................................................... 14

2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ............................................................................ 22

2.3. Phương pháp đồ thị.................................................................................... 29

2.4. Phương pháp điều kiện cần và đủ.............................................................. 49

Chương III: Bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.............................................. 55

3.1. Phương pháp biến đổi tương đương.......................................................... 55

3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ............................................................................ 60

3.3. Phương pháp đồ thị.................................................................................... 67

3.4. Phương pháp điều kiện cần và đủ.............................................................. 74

Chương IV: Hệ phương trình chứa dấu trị tuyệt đối................................................ 78

4.1. Phương pháp biến đổi tương đương.......................................................... 78

4.2. Phương pháp đặt ẩn phụ............................................................................ 84

4.3. Phương pháp điều kiện cần và đủ.............................................................. 91

4.4. Phương pháp đánh giá............................................................................... 94

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

SVTH: Trần Thị Yên – Lớp: 09ST 3

Lời Cảm Ơn

Lời cảm ơn đầu tiên con xin dành riêng gửi đến Ba, Mẹ - Những người đã nuôi

dưỡng, thương yêu và là điểm tựa vững chắc cho con vượt qua mọi khó khăn trong cuộc

sống.

Tiếp đến, em xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô đã giảng dạy cho em và các

bạn sinh viên những kiến thức và kinh nghiệm quí báu trong suốt 4 năm học tại Trường

Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng. Xin cảm ơn khoa Toán, Trường Đại Học Sư

Phạm – Đại Học Đà Nẵng đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho chúng em trong quá

trình học tập. Đặc biệt, để hoàn thành luận văn này ngoài sự nỗ lực của bản thân, em

xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của Thầy Nguyễn Ngọc Châu.

Trong khuôn khổ một luận văn tốt nghiệp Đại học, cũng như sự hạn chế về thời

gian, về khả năng nên luận văn không tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được

các ý kiến đóng góp của các Thầy, Cô và các bạn sinh viên để luận văn được hoàn thiện

hơn.

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

SVTH: Trần Thị Yên – Lớp: 09ST 4

Lời Nói Đầu

Trong chương trình toán phổ thông thì phương trình, bất phương trình, hệ

phương trình là một mảng kiến thức cơ bản và quan trọng mà học sinh cần phải nắm

được. Đặc biệt các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa dấu trị tuyệt

đối được xem là tương đối khó đối với học sinh. Có nhiều cách giải các phương trình,

bất phương trình, hệ phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, chẳng hạn như: phương pháp

biến đổi tương đương, phương pháp đồ thị, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp điều

kiện cần và đủ, phương pháp đánh giá. Việc lựa chọn và vận dụng phù hợp các phương

pháp sẽ giúp học sinh phát huy được tính sáng tạo, khả năng tìm tòi cách giải các bài

toán phức tạp, từ đó giúp học sinh tăng tư duy trong việc học toán.

Là một giáo viên Toán tương lai, nhằm tìm hiểu các phương pháp giải phương

trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa dấu trị tuyệt đối nên tôi chọn đề tài: “

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa dấu trị tuyệt đối”.

Nội dung luận văn này được chia làm 4 chương:

Chương I: Một số kiến thức cơ bản.

Chương II: Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.

Chương III: Bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.

Chương IV: Hệ phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.

Xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của Thầy Nguyễn Ngọc

Châu và các Thầy, Cô trong khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng

đã giảng dạy cũng như tạo nhiều điều kiện để em hoàn thành được luận văn này.

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

SVTH: Trần Thị Yên – Lớp: 09ST 5

CHƯƠNG I

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về đại số, giải tích, hình

học, nhằm cơ sở cho các chương sau.

1.1. Giá trị tuyệt đối của một biểu thức

1.1.1. Định nghĩa

Cho A là một biểu thức, ta có:

,

,

A

A

A



 



Ví dụ: 3 2 3 2    , vì

3 2 0  

3 2 2 3    , vì

3 2 0  

1.1.2. Tính chất

Cho A, B là những biểu thức, ta có:



A A A    0



A A A     0



A B A B A B      . 0



A B A B A B      . 0



A B A B B A B       ( ) 0



0

0

A

A B A B

B

 

    

 



0

0

A

A B A B

B

 

    

 

nếu

A 0

nếu

A 0

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

SVTH: Trần Thị Yên – Lớp: 09ST 6



0 0

0 0

0 0

2 2

A A

B B

A A B

A B

B A B A

                                       



B A B B A B       0,



A B

A B

A B

  

  

 



A B A B A B      ( )( ) 0



A B A B   



A B A B A B      . 0



A B A B   



A B A B A B B       ( ). 0

1.2. Dấu của tam thức bậc hai

2

f x ax bx c ( )   

(

a  0

)

 0 a f x x R . ( ) 0,     0 . ( ) 0, \

2

b

a f x x R

a

          0

(

1

x , 2

x

là nghiệm của

phương trình

f x( ) 0 

)

1 2 a f x x x x . ( ) 0, ( , ) ( , )       a f x x x x . ( ) 0, ,    1 2 

Nhận xét:



2

0

0,

0

a

ax bx c x R  

      

 



2

0

0,

0

a

ax bx c x R  

      

 

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

SVTH: Trần Thị Yên – Lớp: 09ST 7

1.3. Các bất đẳng thức cần nhớ

1.3.1. Bất đẳng thức côsi

 Với

a b, 0 

ta có

2

a b ab 



Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi

a b 

 Với

abc , , 0 

ta có

3

3

abc abc   

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi

abc  

1.3.2. Bất đẳng thức Bunhia côpxki

 Với

a b x y R , , ,  , ta có:

    

2 2 2 2 2 ax by a b x b    

 Với

a b c x y z R , , , , , 

, ta có:

    

2 2 2 2 2 2 2 ax by cz a b c x y z       

1.4. Cách vẽ đồ thị của một số hàm đơn giản

1.4.1. Parabol

2

y ax bx c   

(

a  0

)

Để vẽ parabol ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh

( , )

2 4

b

I

a a



 

Bước 2: Vẽ trục đối xứng

2

b

x

a

 

Bước 3: Xác định tọa độ giao điểm của parabol với trục tung (là điểm (0;c)) và

trục hoành (nếu có). Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm

đối xứng với điểm (0, c) qua trục đối xứng của parabol để vẽ đồ thị chính xác

hơn.

Bước 4: Vẽ parabol.

(

a  0

bề lõm quay lên trên;

a  0

bề lõm quay xuống dưới)

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

SVTH: Trần Thị Yên – Lớp: 09ST 8

1.4.2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm bậc ba:

3 2 y ax bx cx d    

(

a  0

)

a, Khảo sát sự biến thiên

Bước 1: Tìm tập xác định:

D R

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:

- Tìm đạo hàm của hàm số:

' 2 y ax bx c    3 2

- Xét dấu của đạo hàm. Suy ra chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số

(nếu có).

- Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có).

- Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Tìm điểm uốn, tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. Trong trường

hợp đồ thị không cắt trục tọa độ hoặc việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ

qua mục này.

a  0 a  0

O x

y

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

SVTH: Trần Thị Yên – Lớp: 09ST 9

Bước 4: Vẽ đồ thị dựa vào đặc điểm đã xác định.

b, Dạng đồ thị của hàm số bậc ba

3 2 y ax bx cx d    

(

a  0

)

a > 0 a < 0

Phương trình

y’ = 0

có hai nghiệm

phân biêt

Phương trình

y’ = 0

có nghiệm kép

Phương trình

y’ = 0

vô nghiệm

2

-2

2

2

2

4

2

2

-2

O

O O

O

O

O

x x

x

x

x x

y y

y y

y

y

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

SVTH: Trần Thị Yên – Lớp: 09ST 10

1.4.3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

2

ax bx c

y x

dx e dx e



 

 

   

 

(

a d, , 0  

)

a, Khảo sát sự biến thiên

Bước 1: Tìm tập xác định:

\

e

D R

d

 

    

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:

- Tìm đạo hàm của hàm số:

'

2

( )

d

y

dx e



  



- Xét dấu của đạo hàm. Suy ra chiều biến thiên, tìm cực trị của hàm số (nếu có).

- Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có).

- Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Tìm điểm uốn và các đường tiệm cận (tiệm cận đứng

e

x

d

 

, tiệm cận

xiên

y x    

), tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. Trong trường

hợp đồ thị không cắt trục tọa độ hoặc việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp thì có

thể bỏ qua mục này.

Bước 4: Vẽ đồ thị dựa vào đặc điểm đã xác định.

b, Dạng đồ thị của hàm số

2

ax bx c

y x

dx e dx e



 

 

   

 

(

a d, , 0  

)