Phương trình bất đẳng thức trong phương trình và hệ phương trình lượng giác

BË GIO DÖC V€ €O T„O

„I HÅC € NŽNG

NGUY™N V‹N BœNH

PH×ÌNG PHP B‡T ǑNG THÙC

TRONG PH×ÌNG TRœNH V€

H› PH×ÌNG TRœNH L×ÑNG GIC

Chuy¶n ng nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ C‡P

M¢ sè: 60 46 01 13

TÂM TT LUŠN V‹N TH„C Sž KHOA HÅC

  N®ng - N«m 2016

Cæng tr¼nh ÷ñ ho n th nh t¤i

„I HÅC € NŽNG

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa hå : GS.TSKH. NGUY™N V‹N MŠU

Ph£n bi»n 1: PGS.TSKH. Trn Què Chi¸n

Ph£n bi»n 2: TS. Ho ng Quang Tuy¸n

Luªn v«n ¢ ÷ñ b£o v» t¤i hëi çng h§m Luªn v«n tèt nghi»p th¤ s¾

huy¶n ng nh Ph÷ìng ph¡p to¡n sì §p håp t¤i   N®ng v o ng y 13 th¡ng 8

n«m 2016

* Câ thº t¼m th§y thæng tin luªn v«n t¤i:

- Trung t¥m Thæng tin - Hå li»u, ¤i hå   N®ng

- Th÷ vi»n tr÷íng ¤i hå S÷ ph¤m, ¤i hå   N®ng

1

M †U

1. L½ do hån · t i

B§t ¯ng thù l  mët trong nhúng v§n · ê iºn nh§t õa to¡n hå , ¥y

ng l  mët trong nhúng phn to¡n sì §p µp v  thó và nh§t. Nëi dung xuy¶n

suèt õa luªn v«n l  h» thèng ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thù trong ph÷ìng tr¼nh

v  h» ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡ .

iºm ° bi»t, §n t÷ñng nh§t õa b§t ¯ng thù trong to¡n sì §p l  khâ

v  r§t khâ, nh÷ng â thº dòng hóng º gi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh

l÷ñng gi¡ , khæng v÷ñt qua giîi h¤n õa h÷ìng tr¼nh to¡n hå phê thæng. Vi»

i t¼m ¡ b i to¡n, líi gi£i v  ph¥n lo¤i hóng l  ni·m say m¶ õa khæng ½t

ng÷íi, ° bi»t l  nhúng ng÷íi ang trü ti¸p gi£ng d¤y to¡n. C¡ b i to¡n â

sû döng ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thù r§t a d¤ng v· · t i, phong phó v· hõng

lo¤i v  phò hñp vîi nhi·u èi t÷ñng thuë ¡ §p hå kh¡ nhau.

· t i "Ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thù trong ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh

l÷ñng gi¡ " nh¬m ¡p ùng mong muèn õa b£n th¥n v· mët · t i phò hñp m 

sau n y â thº phö vö thi¸t thü ho vi» n¥ng ao h§t l÷ñng gi£ng d¤y õa

m¼nh trong nh  tr÷íng phê thæng.

· t i n y li¶n quan ¸n nhi·u huy¶n ·, trong â â ¡ v§n · v· °

tr÷ng, t½nh h§t v  biºu di¹n õa h m sè, sû döng ¡ b§t ¯ng thù quen thuë

nh÷: AM-GM, Cau hy - Bunhia ovski,. . . .

2. Mö ½ h nghi¶n ùu

Nh¬m h» thèng têng quan ¡ b i to¡n v· gi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng

tr¼nh l÷ñng gi¡ â ¡ h gi£i khæng m¨u mü .

N­m ÷ñ mët sè kÿ thuªt v· vi» sû döng mët sè lîp b§t ¯ng thù º gi£i

ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡ .

3. èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n ùu

Nghi¶n ùu ¡ b i to¡n â sû döng ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thù º gi£i v 

h» thèng ¡ ki¸n thù li¶n quan.

Nghi¶n ùu tø ¡ t i li»u, gi¡o tr¼nh õa GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu, ¡

t i li»u bçi d÷ïng hå sinh giäi, tõ s¡ h huy¶n to¡n, t¤p h½ to¡n hå v  tuêi

tr´, . . .

4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n ùu

Nghi¶n ùu trü ti¸p tø ¡ t i li»u õa thy h÷îng d¨n, õa ¡ çng nghi»p

ng nh÷ ¡ b¤n hå vi¶n trong lîp.

5. Þ ngh¾a khoa hå

T¤o ÷ñ mët · t i phò hñp ho vi» gi£ng d¤y, bçi d÷ïng gi¡o vi¶n v  hå

2

sinh trung hå phê thæng.

· t i âng gâp thi¸t thü ho vi» n¥ng ao h§t l÷ñng d¤y hå ¡ huy¶n

· to¡n trong tr÷íng THPT, em l¤i ni·m am m¶ s¡ng t¤o tø nhúng b i to¡n

ì b£n nh§t.

6. C§u tró luªn v«n

Luªn v«n bao gçm phn mð u, 3 h÷ìng, phn k¸t luªn v  danh mö t i

li»u tham kh£o.

Ch÷ìng 1. Ki¸n thù hu©n bà: Nh­ l¤i mët sè b§t b¯ng thù ì b£n: b§t

¯ng thù AM-GM, b§t ¯ng thù Cau hy-Bunhia ovski, b§t ¯ng thù Jensen

(xem [4℄), b§t ¯ng thù l÷ñng gi¡ trong tam gi¡ (xem [5℄).

Ch÷ìng 2. Ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡ gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p

so s¡nh: X²t mët sè b i to¡n sau.

+Gi£i ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡ gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p sû döng t½nh h§t õa

b§t ¯ng thù , b§t ¯ng thù ì b£n, b§t ¯ng thù l÷ñng gi¡ trong tam gi¡ .

+Sû döng b§t ¯ng thù l÷ñng gi¡ trong tam gi¡ º s¡ng t¤o v  x¥y düng

thuªt gi£i ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡ hai ©n.

+Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p so s¡nh.

+B i to¡n t¼m ü trà, nhªn d¤ng tam gi¡ .

Ch÷ìng 3. Mët sè b i to¡n li¶n quan: X²t mët sè ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng

tr¼nh hén hñp hùa ¡ biºu thù l÷ñng gi¡ v  ¤i sè.

3

CH×ÌNG 1

KIN THÙC CHU‰N BÀ

 h÷ìng n y ung §p mët sè b§t ¯ng thù quan trång º phö vö ho

vi» hùng minh b§t ¯ng thù li¶n quan v  ° bi»t l  æng ö º gi£i quy¸t

ho ¡ phn sau.

1.1. B‡T ǑNG THÙC AM-GM

ành lþ 1.1. Gi£ sû x1, x2, . . . , xn l  ¡ sè khæng ¥m. Khi â

x1 + x2 + · · · + xn

n

>

√n x1x2 . . . xn. (1.1)

¯ng thù x£y ra khi v  h¿ khi x1 = x2 = · · · = xn.

1.2. B‡T ǑNG THÙC CAUCHY - BUNHIACOVSKI

ành lþ 1.2. Vîi måi bë sè (xi),(yi) ta luæn â

X

n

i=1

xiyi

!2

≤

X

n

i=1

xi

2

! X

n

i=1

yi

2

!

. (1.2)

D§u ¯ng thù x£y ra khi v  h¿ khi hai bë (xi),(yi) t l» vîi nhau,

tù l  tçn t¤i °p sè thü α, β khæng çng thíi b¬ng 0 sao ho

αxi + βyi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n.

1.3. B‡T ǑNG THÙC JENSEN

ành lþ 1.3. Gi£ sû h m sè f(x) li¶n tö tr¶n I(a, b) (trong â I(a, b) ÷ñ

ngm hiºu l  mët trong ¡ tªp [a, b], [a, b),(a, b],(a, b)). Khi â i·u ki»n n

v  õ º h m sè f(x) lçi tr¶n I(a, b) l 

f

x1 + x2

2



6

f(x1) + f(x2)

2

, ∀x1, x2 ∈ I(a, b). (1.3)

1.4. MËT SÈ B‡T ǑNG THÙC L×ÑNG GIC TRONG TAM

GIC

1.4.1. D¤ng èi xùng

4

B i to¡n 1.1. Chùng minh r¬ng trong måi tam gi¡ ABC , ta ·u â

cos A + cos B + cos C 6

3

2

. (1.4)

B i to¡n 1.2. Chùng minh r¬ng trong måi tam gi¡ ABC ta ·u â

cos

A

2

+ cos

B

2

+ cos

C

2

6

3

√

3

2

. (1.5)

B i to¡n 1.3. Chùng minh r¬ng trong måi tam gi¡ ABC ta ·u â

cos A cos B cos C 6

1

8

. (1.6)

B i to¡n 1.4. Chùng minh r¬ng trong måi tam gi¡ ABC , ta ·u â

cos

A

2

cos

B

2

cos

C

2

6

3

√

3

8

. (1.7)

B i to¡n 1.5. Chùng minh r¬ng trong måi tam gi¡ ABC , ta ·u â

sin A + sin B + sin C 6

3

√

3

2

. (1.8)

B i to¡n 1.6. Chùng minh r¬ng trong måi tam gi¡ ABC , ta ·u â

sin

A

2

+ sin

B

2

+ sin

C

2

6

3

2

. (1.9)

B i to¡n 1.7. Chùng minh r¬ng trong måi tam gi¡ ABC , ta ·u â

sin

A

2

sin

B

2

sin

C

2

6

1

8

. (1.10)

B i to¡n 1.8. Chùng minh r¬ng trong måi tam gi¡ ABC, ta ·u â

sin A sin B sin C 6

3

√

3

8

. (1.11)

5

B i to¡n 1.9. Chùng minh r¬ng trong måi tam gi¡ ABC , ta ·u â

sin2 A + sin2 B + sin2 C 6

9

4

. (1.12)

B i to¡n 1.10. Chùng minh r¬ng tam gi¡ nhån ABC , ta ·u â

tan A + tan B + tan C > 3

√

3. (1.13)

B i to¡n 1.11. Chùng minh r¬ng måi tam gi¡ ABC , ta ·u â

tan

A

2

+ tan

B

2

+ tan

C

2

>

√

3. (1.14)

B i to¡n 1.12. Chùng minh r¬ng måi tam gi¡ ABC , ta ·u â

tan

A

2

tan

B

2

tan

C

2

6

1

3

√

3

. (1.15)

B i to¡n 1.13. Chùng minh r¬ng trong tam gi¡ nhån ABC , ta luæn â

tan A tan B tan C > 3

√

3. (1.16)

B i to¡n 1.14. Cho tam gi¡ ABC . Chùng minh r¬ng vîi n l  sè nguy¶n

d÷ìng ta luæn â

tan2n A

2

+ tan2n B

2

+ tan2n C

2

>

1

3

n−1

. (1.17)

B i to¡n 1.15. Chùng minh r¬ng trong måi tam gi¡ ABC , ta ·u â

cot A + cot B + cot C >

√

3. (1.18)

B i to¡n 1.16. Chùng minh r¬ng trong måi tam gi¡ ABC , ta ·u â

cot

A

2

+ cot

B

2

+ cot

C

2

> 3

√

3. (1.19)

B i to¡n 1.17. Chùng minh r¬ng trong måi tam gi¡ ABC, ta luæn â

cot

A

2

cot

B

2

cot

C

2

> 3

√

3. (1.20)

6

B i to¡n 1.18. Chùng minh r¬ng trong tam gi¡ nhån ABC, ta luæn â

cot A cot B cot C 6

1

3

√

3

. (1.21)

1.4.2. D¤ng khæng èi xùng

B i to¡n 1.19. Vîi måi tam gi¡ ABC, ta ·u â

a) cos 2A + cos 2B + k cos 2C >

−2k2 − 1

2k khi k > 0. (1.22)

b) cos 2A + cos 2B + k cos 2C 6

−2k2 − 1

2k khi k < 0. (1.23)

¯ng thù x£y ra khi v  h¿ khi







cos C =

cos(A − B)

2k

cos2

(A − B) = 1

⇔







cos C =

1

2k

A = B

hay tam gi¡ ABC ¥n t¤i C v  â cos C =

1

2k

.

B i to¡n 1.20. Vîi måi tam gi¡ ABC, ta ·u â

a) sin2 A + sin2 B + k sin2 C 6

(2k + 1)2

4k khi k > 0. (1.24)

b) sin2 A + sin2 B + k sin2 C >

(2k + 1)2

4k khi k < 0. (1.25)

D§u ¯ng thù x£y ra khi v  h¿ khi







cos C =

cos(A − B)

2k

cos2

(A − B) = 1

⇔







cos C =

1

2k

A = B

hay tam gi¡ ABC ¥n t¤i C v  â cos C =

1

2k

.

B i to¡n 1.21. Cho ¡ sè d÷ìng x, y, z sao ho 1

x

+

1

y

6

1

z

. Khi â vîi måi

tam gi¡ ABC, ta ·u â

x cos A + y cos B + z cos C 6 x + y − z. (1.26)

¯ng thù x£y ra khi v  h¿ khi A = B = 0, C = π.

Vªy ¯ng thù trong b i to¡n x£y ra khi v  h¿ khi tam gi¡ ABC suy bi¸n vîi

A = B = 0, C = π.

7

CH×ÌNG 2

PH×ÌNG TRœNH,

H› PH×ÌNG TRœNH L×ÑNG GIC

GIƒI BŒNG PH×ÌNG PHP SO SNH

T i li»u li¶n quan ¸n ph÷ìng ph¡p v· gi£i ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh

r§t nhi·u, án ö thº èi vîi gi£i ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡ l 

r§t ½t. Qua thíi gian nghi¶n ùu, t¼m tái v  ph¥n lo¤i tæi xin tr¼nh b y mët

sè nëi dung v· vi» sû döng b§t ¯ng thù gi£i ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh

l÷ñng gi¡ òng nhi·u b i to¡n v½ dö minh håa v  mët sè vªn döng.

2.1. PH×ÌNG TRœNH L×ÑNG GIC GIƒI BŒNG PH×ÌNG

PHP SO SNH

2.1.1. Ph÷ìng ph¡p sû döng t½nh h§t õa b§t ¯ng thù

B i to¡n 2.1. Gi£i ph÷ìng tr¼nh

￾

sin x +

√

3 cos x

sin 3x = 2.

B i to¡n 2.2. Gi£i ph÷ìng tr¼nh

cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x cos 2x cos 3x + 2.

B i to¡n 2.3. Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + 5

4

cos 2x.

B i to¡n 2.4. Gi£i ph÷ìng tr¼nh

1

4

(sin10x + cos10x) = sin6x + cos6x

sin2

2x + 4cos22x

8

B i to¡n 2.5. Gi£i ph÷ìng tr¼nh

cos5x + sin5x + sin 2x + cos 2x = 1 + √

2.

B i to¡n 2.6. Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin13x + cos14x = 1.

B i to¡n 2.7. Gi£i ph÷ìng tr¼nh

cos4x + sin4x +

1

cos4x

+

1

sin4x

= 8 +

sin x

2

.

2.1.2. Ph÷ìng ph¡p sû döng b§t ¯ng thù ì b£n

B i to¡n 2.8. Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin8

2x + cos82x =

1

8

. (1)

B i to¡n 2.9. Vîi 2 ≤ n ∈ N , Gi£i ph÷ìng tr¼nh



tan x +

1

4

cot x

n

= sinnx + cosnx.

B i to¡n 2.10. Gi£i ph÷ìng tr¼nh

1

sin x

+

1

cosx

= 2√

2, ∀x ∈



0;

π

2



.

B i to¡n 2.11. Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin5x +

√

3 cos x =

√

3.