Phương pháp tọa độ trong giải toán trung học phổ thông

„I HÅC € NŽNG

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M



TIU THÀ HÇNG THÕY

PH×ÌNG PHP TÅA Ë

TRONG GIƒI TON TRUNG HÅC PHÊ THÆNG

Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p

M¢ sè: 60.46.01.13

TÂM TT LUŠN V‹N TH„C Sž KHOA HÅC

  N®ng - N«m 2018

Cæng tr¼nh ÷ñc ho n th nh t¤i

Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - HN

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS. L×ÌNG QUÈC TUYšN

Ph£n bi»n 1:

..................................................................................................

Ph£n bi»n 2:

..................................................................................................

Luªn v«n s³ ÷ñc b£o v» tr÷îc Hëi çng ch§m Luªn v«n tèt nghi»p

th¤c s¾ Khoa håc håp t¤i Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - HN v o

ng y 28 th¡ng 01 n«m 2018

Câ thº t¼m hiºu luªn v«n t¤i

- Trung t¥m Thæng tin - Håc li»u, ¤i håc   N®ng

- Th÷ vi»n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, ¤i håc   N®ng

2

1

MÐ †U

1. Lþ do chån · t i

H¼nh håc l  mët trong nhúng ph¥n nh¡nh quan trång cõa to¡n

håc li¶n quan ¸n c¡c v§n · v· h¼nh d¤ng, k½ch th÷îc v  và tr½ t÷ìng

èi cõa c¡c vªt thº công nh÷ c¡c t½nh ch§t cõa khæng gian. Nâ l  cæng

cö quan trång trong vi»c x¥y düng n¶n c¡c ng nh to¡n håc hi»n ¤i.

Hìn th¸ núa, h¼nh håc giú vai trá r§t quan trång trong íi sèng con

ng÷íi công nh÷ trong khoa håc v  k¾ thuªt. Ch½nh v¼ l³ â, c¡c ki¸n

thùc v· h¼nh håc ng y c ng ÷ñc chó trång hìn v  ÷ñc nghi¶n cùu

s¥u hìn trong tr÷íng THPT.

Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n ð tr÷íng Trung håc phê thæng, h¼nh håc

khæng ch¿ giú vai trá, và tr½ quan trång m  nâ cán l  mët ph¦n ki¸n

thùc væ còng h§p d¨n v  thó và d nh cho håc sinh. Tuy nhi¶n, khæng ½t

håc sinh c£m th§y r¬ng ¥y l  mët mæn håc qu¡ khâ, qu¡ trøu t÷ñng.

Do â, c¡c em r§t e ng¤i khi ti¸p cªn mæn håc n y v  gi¡o vi¶n công

g°p khæng ½t khâ kh«n trong qu¡ tr¼nh truy·n t£i ki¸n thùc. B¶n c¤nh

â, h¼nh håc gi£i t½ch l  cæng cö húu ½ch gióp håc sinh gi£i c¡c b i

to¡n h¼nh håc khæng gian hi»u qu£ v  c¡c em d¹ d ng ti¸p cªn hìn.

Nhí nhúng lþ do nh÷ tr¶n còng vîi sü ành h÷îng cõa th¦y gi¡o

TS. L÷ìng Quèc Tuyºn, chóng tæi quy¸t ành chån · t i: PH×ÌNG

PHP TÅA Ë TRONG GIƒI TON TRUNG HÅC PHÊ THÆNG.

2. Möc ½ch nghi¶n cùu

Möc ti¶u cõa · t i nh¬m nghi¶n cùu v  l m rã c¡c v§n ·: Ph÷ìng

2

ph¡p tåa ë trong m°t ph¯ng, ph÷ìng ph¡p tåa ë trong khæng gian

v  c¡c b i to¡n li¶n quan; c¡c d§u hi»u nhªn bi¸t v  c¡c b÷îc gi£i b i

to¡n h¼nh håc khæng gian gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p tåa ë.

3. èi t÷ñng nghi¶n cùu

èi t÷ñng nghi¶n cùu l  iºm, vector, h» tröc tåa ë, ÷íng th¯ng,

m°t ph¯ng trong h¼nh håc tåa ë.

4. Ph¤m vi nghi¶n cùu

Ph¤m vi nghi¶n cùu cõa luªn v«n l  h¼nh håc ph¯ng v  tåa ë

khæng gian ð ch÷ìng tr¼nh to¡n Trung håc phê thæng.

5. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Luªn v«n ÷ñc nghi¶n cùu düa tr¶n c¡c ph÷ìng ph¡p:

- T i li»u tham kh£o, s¡ch gi¡o vi¶n, s¡ch gi¡o khoa v  m¤ng

internet v· c¡c ki¸n thùc li¶n quan ¸n · t i luªn v«n.

- Ph¥n t½ch, nghi¶n cùu c¡c t i li»u ¢ chån låc.

- Trao êi th£o luªn vîi th¦y gi¡o h÷îng d¨n.

6. Þ ngh¾a khoa håc v  thüc ti¹n

· t i câ þ ngh¾a thüc ti¹n v· m°t lþ thuy¸t v  l  t i li»u tham

kh£o tèt d nh cho håc sinh Trung håc phê thæng.

7. C§u tróc luªn v«n

Ngo i ph¦n mð ¦u v  k¸t luªn, t i li»u tham kh£o, luªn v«n gçm

ba ch֓ng:

3

Ch÷ìng I: Ki¸n thùc cì sð. Tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· vector,

c¡c ki¸n thùc cì sð v· h» tröc tåa ë trong m°t ph¯ng v  trong khæng

gian.

Ch÷ìng II: Ph÷ìng ph¡p gi£i mët sè d¤ng to¡n li¶n quan ¸n

ph÷ìng ph¡p tåa ë. Tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p gi£i v  líi gi£i chi ti¸t

mët sè b i to¡n câ li¶n quan ¸n tåa ë trong m°t ph¯ng v  trong

khæng gian trong ch÷ìng tr¼nh to¡n Trung håc phê thæng.

Ch÷ìng III: Mët v i ¡p döng cõa ph÷ìng ph¡p tåa ë trong

khæng gian.

4

CH×ÌNG 1

KIN THÙC CÌ SÐ

1.1. Vector v  c¡c ph²p to¡n v· vector v  h» tröc tåa ë

A. Vector trong m°t ph¯ng

B. C¡c ph²p to¡n vector

C. Tröc to¤ ë

D. H» tröc to¤ ë trong m°t ph¯ng

1.2. Vector, c¡c ph²p to¡n v  h» tröc tåa ë trong khæng gian

A. Vector trong khæng gian

B. H» to¤ ë trong khæng gian

1.3. Ph÷ìng ph¡p to¤ ë trong m°t ph¯ng

A. ành ngh¾a vector ch¿ ph÷ìng, vector ph¡p tuy¸n cõa ÷íng th¯ng

B. Ph÷ìng tr¼nh cõa ÷íng th¯ng trong m°t ph¯ng

C. Và tr½ t÷ìng èi cõa hai ÷íng th¯ng, chòm ÷íng th¯ng

D. Gâc giúa hai ÷íng th¯ng. Kho£ng c¡ch tø mët iºm ¸n mët

÷íng th¯ng

1.4. Ph÷ìng ph¡p tåa ë trong khæng gian

A. Ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng

B. Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng

5

CH×ÌNG 2

PH×ÌNG PHP GIƒI MËT SÈ D„NG TON LIN QUAN

N PH×ÌNG PHP TÅA Ë TRONG MT PHNG

2.1. Mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n iºm v  ÷íng th¯ng

D¤ng to¡n 1. Tåa ë cõa vector v  cõa iºm.

V½ dö 2.1.1. Cho h» tröc tåa ë Oxy v  c¡c vector

−→a (3; 2),

−→b (−1; 5),

−→c (−2; −5).

a. T¼m tåa ë c¡c vector sau ¥y.

−→u = 2−→a +

−→b − 4

−→c ,

−→v = −

−→a + 2

−→b + 5−→c ,

−→w = 2(−→a +

−→b + 4−→c ),

Tø â, suy ra ë d i cõa c¡c vector â;

b. T¼m sè p v  q sao cho −→c = p

−→a + q

−→b ;

c. T¼m c¡c t½ch væ h÷îng −→a ·

−→b ,

−→a (

−→b +

−→c ).

V½ dö 2.1.2. Cho ∆ABC bi¸t A(−1; 3), B(2; 4), C(0; 1). T¼m tåa ë

a. Trång t¥m G cõa ∆ABC;

b. Vector trung tuy¸n −−→AA1;

c. T¥m I cõa ÷íng trán ngo¤i ti¸p ∆ABC;

d. iºm D sao cho ABCD l  h¼nh b¼nh h nh.

V½ dö 2.1.3. Cho hai vector −→a (1; 1) v 

−→b (2; 1). Khi â,

a. T½nh cosin, sin gâc giúa hai vector −→a v 

−→b ;

b. H¢y x¡c ành tåa ë vector −→c , bi¸t r¬ng

(

−→a +

−→b ) ·

−→c = −1v(

−→a + 2−→c ) ·

−→b = 1.

6

V½ dö 2.1.4. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa h m sè

y =

√

x

2 + 2x + 5 + √

x

2 + 4x + 40.

V½ dö 2.1.5. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc

S =

p

x

2 + y

2 + 2x − 4y + 5 + p

x

2 + y

2 − 6x − 4y + 13.

D¤ng to¡n 2. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng.

Ph÷ìng ph¡p gi£i: º lªp ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng (d), ta sû

döng c¡c k¸t qu£:

a. ÷íng th¯ng i qua mët iºm v  bi¸t vector ph¡p tuy¸n:

(d) : 

qua M(x0; y0)

vector ph¡p tuy¸n −→n (A; B)

⇔ (d) :A(x − x0) + B(y − y0) = 0.

L÷u þ: ÷íng th¯ng (d) câ vector ph¡p tuy¸n −→n (A; B) luæn câ d¤ng

(d) : Ax + By + C = 0.

b. ÷íng th¯ng i qua mët iºm v  bi¸t mët vector ch¿ ph÷ìng:

(d) :







qua M(x0; y0)

vector ch¿ ph÷ìng −→u (a1; a2)

⇔ (d) :x − x0

a1

=

y − y0

a2

.

ho°c

(d) :







x = x0 + a1t

y = y0 + b1t.

L÷u þ: ÷íng th¯ng (d) câ vector ch¿ ph÷ìng −→a (a1; a2) luæn câ d¤ng

(d) : a2x − a1y + c = 0.

7

c. ÷íng th¯ng i qua hai iºm

(d) : (

qua A(x1; y1)

qua B(x2; y2)

⇔

(

qua A(x1; y1)

vector ch¿ ph÷ìng −→AB

⇔ (d) : x − x1

x2 − x1

=

y − y1

y2 − y1

ho°c

(d) : (

x = x1 + (x2 − x1)t

y = y1 + (y2 − y1)t.

d. ÷íng th¯ng (d) k (∆) : Ax + By + C = 0 câ ph÷ìng tr¼nh

(d) : Ax + By + D = 0 (D 6= C).

e. ÷íng th¯ng (d) ⊥ (∆) : Ax + By + C = 0 câ ph÷ìng tr¼nh

(d) : Bx − Ay + D = 0.

f. ÷íng th¯ng (d) i qua M(x0; y0) v  câ h» sè gâc k x¡c ành bði

(d) : y = k(x − x0) + y0,

trong â k = tan α, vîi α l  gâc t¤o bði ÷íng th¯ng (d) v  chi·u

d÷ìng cõa tröc ho nh.

V½ dö 2.1.6. Cho ∆ABC vîi A(2; 3), B(−1; 6), C(−5; 3).

a. Lªp ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng BC.

b. Lªp ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng chùa ÷íng cao AH cõa ∆ABC.

c. Lªp ph÷ìng tr¼nh ÷íng trung b¼nh (dM) cõa ∆ABC bi¸t r¬ng

(dM) k BC.

d. Lªp ph÷ìng tr¼nh ÷íng trung trüc cõa BC.

2.2. C¡c b i to¡n v· t½nh ch§t èi xùng

D¤ng to¡n 3. T¼m iºm M1 èi xùng vîi M qua I(a; b).

8

Ph÷ìng ph¡p gi£i: Bði v¼ M1 èi xùng vîi M qua I n¶n I l 

trung iºm cõa M1M. Do â, tåa ë iºm M1 ÷ñc x¡c ành bði

(

xM1 = 2xI − xM = 2a − xM

xM1 = 2yI − yM = 2b − yM.

V½ dö 2.2.1. T¼m M1 èi xùng vîi M(3; 5) qua iºm I(−4; 1).

D¤ng to¡n 4. X¡c ành h¼nh chi¸u H cõa iºm M tr¶n ÷íng th¯ng

(d) : ax + by + c = 0.

Ph÷ìng ph¡p gi£i:

a. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng (d

0

) i qua M v  vuæng gâc vîi

(d). Tåa ë H = (d)∩(d

0

) l  nghi»m cõa h» t¤o bði ph÷ìng tr¼nh cõa

(d) v  (d

0

).

b. Ta câ

(−−→MH k

−→na(a; b)

H ∈ (d)

⇔

(xH − xM

a

=

yH − yM

b

axH + byH + c = 0.

Gi£i h» tr¶n ta t¼m ÷ñc tåa ë iºm H.

c. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh (d) d÷îi d¤ng tham sè

(

x = x0 − bt

y = y0 + at

Gåi H(x0 − bt; y0 + at) ∈ (d) l  h¼nh chi¸u cõa M tr¶n d. Khi â,

−−→MH ·

−→ud = 0. (2.1)

Tø â, ta t¼m ÷ñc t v  suy ra tåa ë H.

V½ dö 2.2.2. T¼m h¼nh chi¸u H cõa M(−1; 4) tr¶n ÷íng th¯ng

(d) : 2x − 3y + 1 = 0.

9

D¤ng to¡n 5. T¼m iºm M1 èi xùng vîi M qua ÷íng th¯ng

(d) : ax + by + c = 0.

Ph÷ìng ph¡p gi£i:

• X¡c ành tåa ë h¼nh chi¸u vuæng gâc H cõa M tr¶n (d).

• Gåi M1 l  iºm èi xùng vîi M qua (d). Khi â, H l  trung iºm

MM1. Suy ra



xM1 = 2xH − xM

yM1 = 2yH − yM.

V½ dö 2.2.3. T¼m tåa ë iºm M1 èi xùng vîi M(−1; 4) qua ÷íng

th¯ng (d) : 2x − 3y + 1 = 0.

D¤ng to¡n 6. Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng èi xùng vîi ÷íng th¯ng

(d) qua ÷íng th¯ng (∆) cho tr÷îc.

Ph÷ìng ph¡p gi£i:

Ta x²t hai tr÷íng hñp:

Tr÷íng hñp 1: N¸u (d) ∩ (∆) = I.

• X¡c ành tåa ë giao iºm I.

• L§y A ∈ (d) tø â x¡c ành tåa ë iºm A1 èi xùng vîi A

qua (∆).

• ÷íng th¯ng (d1) c¦n t¼m l  ÷íng th¯ng i qua hai iºm I v  A1.

Tr÷íng hñp 2: N¸u (d) k (∆).

a. L§y A ∈ (d). T¼m A1 èi xùng vîi A qua (∆).

Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng i qua A1 v  song song vîi (d) ta

÷ñc ph÷ìng tr¼nh cõa (d1).