Phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình và ứng dụng.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

MAI THỊ PHƯƠNG THẢO

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 1: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 và 13

tháng 12 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do lựa chọn đề tài

Xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế (trong thiên văn, vật lý,

đo đạc ruộng đất . . . ) dẫn đến việc phải giải các phương trình phi tuyến. Tuy

nhiên, các phương trình này thường phức tạp và nói chung khó có thể tìm được

nghiệm đúng của phương trình. Vì vậy, bài toán tìm nghiệm gần đúng của phương

trình đã xuất hiện cùng với những phương pháp tìm nghiệm gần đúng kinh điển

và được sử dụng hiệu quả trong thực tế.

Với sự phát triển của các công cụ tin học, đặc biệt là từ khi máy tính điện tử

ra đời, bài toán tìm nghiệm gần đúng của phương trình đã phát triển rất nhanh.

Trên cơ sở xây dựng những thuật toán đơn giản, có hiệu lực, giải đến kết quả

bằng số bằng những ngôn ngữ lập trình trên máy tính, ta có thể dễ dàng tìm được

nghiệm gần đúng của phương trình chỉ trong vài phút. Ngày nay với việc sử dụng

rộng rãi máy vi tính trong công tác nghiên cứu cũng như giảng dạy thì việc ứng

dụng phần mềm toán học cho bài toán tìm nghiệm gần đúng là một công việc ý

nghĩa và rất tự nhiên.

Một thực tế cho thấy rằng, số lượng các phương trình không tìm được nghiệm

chính xác hoặc không có công thức tổng quát để biểu diễn nghiệm thì lớn hơn

rất nhiều so với các phương trình có nghiệm tường minh hoặc công thức nghiệm

chính xác (các phương trình bậc 1, 2, 3, 4). Và với mong muốn mang lại một sự

thú vị cũng như một công cụ và phương thức lựa chọn cho các đối tượng có sự

quan tâm đến bài toán tìm nghiệm gần đúng cho phương trình cùng với việc ứng

dụng các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình nên tác giả đã

lựa chọn đề tài “ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG

TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG ” cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình và ứng

dụng phần mềm Mathematica cho các phương pháp đó.

3. Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp giải gần đúng phương trình.

Nghiên cứu phần mềm Mathematica trong việc giải gần đúng phương trình.

4. Phạm vi nghiên cứu

Tính gần đúng nghiệm thực của phương trình.

5. Phương pháp nghiên cứu

2

Mô tả nội dung của các phương pháp tìm nghiệm gần đúng. Đánh giá sự hội

tụ của các phương pháp đó và sai số của nghiệm gần đúng tìm được. Sau đó sử

dụng phần mềm Mathematica để tìm nghiệm gần đúng của phương trình.

Các kiến thức được sử dụng trong luận văn thuộc các lĩnh vực: Phương pháp

tính, Giải tích số, Giải tích, Đại số tuyến tính, Phương trình vi phân...

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham

khảo dành cho sinh viên ngành toán và các đối tượng quan tâm đến bài toán tìm

nghiệm gần đúng.

7. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn

bao gồm 3 chương

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi

tuyến

Chương 3: Ứng dụng phần mềm Mathematica cho phương trình phi tuyến

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. SAI SỐ

1.1.1. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

1.1.2. Chữ số có nghĩa và chữ số đáng tin

1.1.3. Làm tròn số

1.1.4. Viết số gần đúng

1.2. KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ ĐẠO HÀM

1.2.1. Khái niệm hàm số liên tục và các định lý liên quan

Định nghĩa 1.2.1. (Hàm số liên tục)

Giả sử X là một tập con của tập hợp số thực, f là một hàm số xác định trên

X. Khi đó:

i) Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với một số dương ε bất

kì, tồn tại một số δ > 0 sao cho: |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε, ∀x ∈ X

ii) Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên tập hợp X nếu f liên tục tại mọi

điểm x ∈ X

Định lý 1.2.1. Giả sử cho f là một hàm số xác định trên tập hợp số thực X.

Hàm số f liên tục tại điểm xo ∈ X khi và chỉ khi:

lim

n→∞

xn = x0 ⇒ lim

n→∞

f(xn) = f(x0), ∀xn ⊂ X

Định lý 1.2.2. (Định lý Weierstrass)

Nếu hàm số f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] thì:

i) f bị chặn trên [a, b]

ii) f đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a, b].

Định lý 1.2.3. Nếu hàm số f : [a, b] → R là hàm số liên tục và nếu f(a)f(b) <

0 thì tồn tại ít nhất một điểm ξ ∈ (a, b) sao cho f(ξ) = 0

Định lý 1.2.4. (Định lý Bolzano - Cauchy)

Giả sử f là một hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và α là một số nằm giữa f(a)

và f(b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ [a, b] sao cho f(c) = α

4

1.2.2. Khái niệm đạo hàm

Định nghĩa 1.2.2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). Giả sử

x và x0 là hai phần tử thuộc khoảng (a, b) và x 6= x0. Khi đó nếu tồn tại giới hạn:

lim

x→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

thì ta nói hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và giới hạn đó được gọi là đạo

hàm của hàm số tại x0, kí hiệu f

0

(x0) hay y

0

(x0).

Hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 được gọi là khả vi tại điểm x0.

Định nghĩa 1.2.3. Giả sử U là tập mở trong R và f : U → R là hàm xác

định trên U, x0 ∈ U là điểm tùy ý. Khi đó f được gọi là khả vi trên U nếu f khả

vi tại mọi điểm của U.

Định lý 1.2.5. Nếu f : U → R khả vi tại x0 ∈ U, thì f liên tục tại x0

1.3. NGHIỆM VÀ KHOẢNG PHÂN LI NGHIỆM

1.3.1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình

1.3.2. Khoảng phân li nghiệm

5

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG

CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Xét phương trình một ẩn:

f(x) = 0 (2.1)

Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình trên ta có thể áp dụng một trong

các phương pháp như: Phương pháp chia đôi, phương pháp lặp đơn, phương pháp

dây cung, phương pháp Newton. Sau đây ta sẽ nghiên cứu cụ thể 4 phương pháp

này.

2.1. PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI

2.1.1. Nội dung phương pháp

Xét phương trình (2.1) với giả thiết nó có nghiệm thực α đã phân li trong

khoảng (a, b) . Ta tìm cách thu nhỏ khoảng phân li nghiệm bằng cách chia đôi

liên tiếp các khoảng phân li nghiệm đã tìm ra. Nội dung cụ thể của phương pháp

như sau:

Trước tiên ta chia đôi khoảng (a, b) bởi điểm chia x0 =

a + b

2

.

- Nếu f



a + b

2



= 0 thì α =

a + b

2

là nghiệm đúng của phương trình (2.1).

- Nếu f



a + b

2



6= 0 thì ta chọn một trong hai khoảng 

a,

a + b

2



hoặc



a + b

2

, b

mà tại hai đầu mút của khoảng hàm số f(x) có dấu khác nhau làm

khoảng phân li nghiệm mới.

Ta gọi khoảng này là (a1, b1). Tiếp tục chia đôi khoảng (a1, b1) và làm tương

tự như trên ta sẽ thu được khoảng phân li nghiệm mới với giới hạn thu hẹp hơn.

Quá trình cứ tiếp tục như vậy cho đến khi đạt mức độ chính xác cần thiết. Càng

nhiều lần lặp thì nghiệm thu được càng chính xác.

6

2.1.2. Sự hội tụ của phương pháp và sai số

Nếu ta thực hiện vô hạn lần phương pháp chia đôi đối với khoảng (a, b) thì sẽ

có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Tại một lần nào đó, điểm giữa của khoảng là nghiệm đúng của

phương trình

(2.1).

Trường hợp 2: Ta sẽ nhận được một dãy vô hạn các khoảng chồng lên nhau và

thu nhỏ dần (a1, b1),(a2, b2), ...,(an, bn), ... sao cho:

f(an)f(bn) < 0 (2.2)

và

bn − an =

1

2

n

(b − a) (n = 1, 2, ...) (2.3)

Ta nhận thấy rằng các đầu mút trái a1, a2, ..., an, ... tạo nên dãy đơn điệu không

giảm và bị chặn trên bởi số b, còn các đầu mút phải b1, b2, ..., bn, ... tạo nên dãy

đơn điệu không tăng và bị chặn dưới bởi số a. Mặt khác dãy bn − an dương và

giảm dần đến 0, như vậy khi n → ∞ từ đẳng thức (2.3), ta có:

lim

n→+∞

an = lim

n→+∞

bn = α

Do tính liên tục của hàm f, khi cho n → ∞ trong bất đẳng thức (2.2), ta có:

lim

n→+∞

[f(an)f(bn)] = [f(α)]2 ≤ 0

Suy ra f(α) = 0, hay α chính là nghiệm của phương trình (2.1).

Khi thực hiện phương pháp chia đôi xuất phát từ a0 = a và b0 = b, cho

n = 0, 1, 2, ... nếu ta lấy nghiệm gần đúng là xn = an hoặc xn = bn thì sai số là:

|xn − α| ≤ bn − an =

1

2

n

(b − a)

còn nếu ta lấy nghiệm gần đúng là an + bn

2

thì sai số là:

an + bn

2

− α

≤

1

2

(bn − an) = 1

2

n+1 (b − a)

2.1.3. Ưu điểm, nhược điểm của phương pháp

2.1.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1.1. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x

5 + 6x − 10 = 0 bằng

phương pháp chia đôi, biết khoảng phân li nghiệm là (1, 2).

7

Lời giải. Ta có:

f(1) = −3; f(2) = 46.

Áp dụng liên tiếp phương pháp chia đôi đối với khoảng (1, 2), ta nhận được

bảng kết quả sau:

n an bn xn =

an + bn

2

f(xn) bn − an

0 1 2 1, 5 6, 59375 1

1 1 1, 5 1, 25 0, 55176 0, 5

2 1 1, 25 1, 125 −1, 44797 0, 25

3 1, 125 1, 25 1, 1875 −0, 51361 0, 125

4 1, 1875 1, 25 1, 21875 0, 00139 0, 0625

Dừng lại ở lần thứ 4, ta có thể lấy nghiệm gần đúng là: 1, 21875 với sai số:

|1, 21875 − α| ≤ 1

2

0, 0625 = 0, 03125.

Vậy α = 1, 21875 ± 0, 03125.

2.2. PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

2.2.1. Nội dung phương pháp

Xét phương trình (2.1) với giả thiết nó có nghiệm thực α đã phân li trong

khoảng (a, b) .Ta biến đổi phương trình (2.1) về phương trình tương đương:

x = ϕ(x) (2.4)

Có nhiều cách đưa phương trình (2.1) về phương trình (2.4) nhưng ta phải chọn

cách thỏa mãn điều kiện: |ϕ

0

(x)| ≤ q < 1, ∀x ∈ [a, b] .

Tiếp theo, ta chọn một giá trị x0 ∈ [a, b] làm giá trị xấp xỉ ban đầu rồi tính

dần các nghiệm xấp xỉ xn theo quy tắc:

xn = ϕ(xn−1), n = 1, 2, ... (2.5)

Quá trình này có tính lặp đi lặp lại nên phương pháp này được gọi là phương

pháp lặp và hàm ϕ gọi là hàm lặp.

8

2.2.2. Sự hội tụ của phương pháp và sai số

Định nghĩa 2.2.1. Nếu dãy xn → α khi n → ∞ thì ta nói phương pháp lặp

(2.5) hội tụ. Khi phương pháp lặp hội tụ thì xn càng gần α nếu n càng lớn, tức

là:

lim

n→∞

xn = α.

Định lý 2.2.1. Xét phương pháp lặp (2.5), giả sử:

i) (a, b) là khoảng phân li nghiệm α của phương trình (2.4).

ii) Mọi xn tính theo (2.5) đều thuộc đoạn [a, b].

ii) Hàm số ϕ(x) có đạo hàm ϕ

0

(x) và thỏa mãn:

|ϕ

0

(x)| ≤ q < 1, a < x < b (2.6)

trong đó q là một hằng số.

Khi đó phương pháp lặp (2.5) hội tụ, tức là: xn → α khi n → ∞.

– Đánh giá sai số của phương pháp lặp:

Từ định lí (2.2.1), ta có:

|α − xn| ≤ q |α − xn−1| = q |α − xn + xn − xn−1| ≤ q |α − xn| + q |xn − xn−1| .

Suy ra

(1 − q)|α − xn| ≤ q |xn − xn−1|

hay

|α − xn| ≤ q

1 − q

|xn − xn−1| . (2.7)

Mặt khác, vì:

|ϕ

0

(x)| ≤ q < 1, x ∈ (a, b).

Do đó

|xn − xn−1| = |ϕ(xn−1) − ϕ(xn−2)| = |ϕ

0

(c)| |xn−1 − xn−2| ≤ q |xn−1 − xn−2|

Suy luận tương tự ta cũng có được các bất đẳng thức sau:

|xn − xn−1| ≤ q |xn−1 − xn−2|

|xn−1 − xn−2| ≤ q |xn−2 − xn−3|

...

|x2 − x1| ≤ q |x1 − x0| .

9

Nhân các bất đẳng thức này vế theo vế ta được:

|xn − xn−1| ≤ q

n−1

|x1 − x0| ,

tức là: |xn − xn−1| hội tụ đến 0.

Kết hợp với (2.7), ta có:

|α − xn| ≤ q

1 − q

|xn − xn−1| ≤ q

n

1

1 − q

(x1 − x0). (2.8)

Áp dụng (2.8) ta có thể đánh giá sai số |xn − α| qua các giá trị lặp vừa tính.

Về sau này khi xét điều kiện để dừng quá trình lặp người ta thường đánh giá qua

|xn − xn−1|. Nếu sai số cho phép là ε thì quá trình lặp sẽ dừng lại nếu:

|α − xn| ≤ ε ⇔

q

1 − q

|xn − xn−1| ≤ ε ⇔ |xn − xn−1| ≤ ε(1 − q)

q

. (2.9)

2.2.3. Ưu điểm, nhược điểm của phương pháp

2.2.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.2.1. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x − sin x = 0, 25 bằng

phương pháp lặp với sai số không quá 10−2

.

Lời giải. Ta có dễ dàng xác định được π

3

,

π

2



là khoảng phân li nghiệm.

Phương trình đã cho tương đương:

x = sin x + 0, 25, ϕ(x) = sin x + 0, 25.

Suy ra

|ϕ

0

(x)| = |cos x| ≤ 1

2

< 1, ∀x ∈

hπ

3

,

π

2

i

.

Ta thấy ϕ(x) được chọn đã thỏa mãn định lý (2.2.1). Do đó ta có thể thực

hiện quá trình lặp với giá trị ban đầu x0 = 1, 06 và hàm lặp đã tìm được là:

xn = sin xn−1 + 0, 25.

Đồng thời để tìm được nghiệm gần đúng của phương trình đã cho với sai số

không quá 10−2

thì |xn − xn−1| phải thỏa mãn điều kiện sau:

|xn − xn−1| ≤ 0, 01(1 − 0, 5)

0, 5

= 0, 01.

Thực hiện quá trình lặp cho đến khi điều kiện trên được thỏa mãn. Ta có bảng

kết quả sau: