PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Giáo viên: Nguy宇n Thành Long Email: [email protected]

DA: 01694 013 498

1

(DÙNG CHO ÔN THI TN – CA – AH 2011)

G穎i t員ng: www.Mathvn.com

B雨m s挨n. 16.03.2011

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguy宇n Thành Long Email: [email protected]

DA: 01694 013 498

2

PH姶愛NG PHÁP TÍCH PHÂN T洩NG PH井N

I. Công th泳c tích phân t瑛ng ph亥n:

Cho hai hàm s嘘 u x v x ( ), ( ) liên t映c và có đ衣o hàm trên đo衣n [a; b]. Ta có

    ' '

' ' ' ' uv u v uv uv dx u vdx uv dx     

  ( )

b b b

a a a

      d uv vdu udv d uv vdu udv   

b b b b

b b

a a

a a a a

      uv vdu udv udv uv vdu     .

Ta có công th泳c:   1

b b

b

a

a a

udv uv vdu    

Công th泳c (1) còn đ逢嬰c vi院t d逢噂i d衣ng:

    ' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

b b b

b

a

a a a

f x g x dx f x d g x dx f x g x f x g x dx          

II. Ph逢挨ng pháp gi違i toán:

Bài toán: S穎 d映ng CT.TPTP xác đ鵜nh: I = 

b

a

f x)( dx.

Ph逢挨ng pháp chung:

Cách 1:

B逢噂c 1: Bi院n đ鰻i TP v隠 d衣ng: I = 

b

a

f x)( dx. = 

b

a

f (x).f x)( dx.

1 2

B逢噂c 2: A員t:



















v

du

dv f x dx

u f x

)(

)(

2

1

(Ch丑n C  0 )

B逢噂c 3: Khi đó: I =    

b

a

b

a

b

a

udv uv vdu . (công th泳c (1))

Chú ý:

Vi羽c đ員t u f x dv g x dx   ( ), ( ) (ho員c ng逢嬰c l衣i) sao cho d宇 tìm nguyên hàm v x( ) và vi phân

'

du u x dx  ( ) không quá ph泳c t衣p. H挨n n英a, tích phân

b

a

vdu 

ph違i đ挨n gi違n h挨n tích phân

b

a

udv 

Cách 2:

Phân tích '

1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a

f x f x dx f x f x dx    và s穎 d映ng tr詠c ti院p công th泳c (2)

- Nh壱n d衣ng: A吋 s穎 d映ng tích phân t瑛ng ph亥n thì d医u hi羽u th逢運ng g員p đó chính là tích c栄a hai lo衣i hàm

s嘘 khác nhau (đôi khi là tích c栄a cùng m瓜t lo衣i hàm)

-Ý ngh┄a: Ph逢挨ng pháp TPTP nh茨m đ逢a tích phân ph泳c t衣p v隠 tích phân đ挨n gi違n ho員c đ吋 kh穎 b噂t hàm

s嘘 d逢噂i d医u tích phân (cu嘘i cùng ch雨 còn l衣i 1 lo衣i hàm s嘘 d逢噂i d医u tích phân)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguy宇n Thành Long Email: [email protected]

DA: 01694 013 498

3

Chú ý:

- Aôi khi tính TPTP mà ch逢a có m瓜t d衣ng c映 th吋 ta ph違i dùng các công th泳c đ衣i s嘘, l逢嬰ng giác ho員c k院t

h嬰p v噂i ph逢挨ng pháp bi院n đ鰻i s嘘 thì m噂i xu医t hi羽n các d衣ng c映 th吋

Ví d映 1: (AHDB – A 2003) Tính tích phân sau

4

0

1 cos 2

x

I dx

x









Gi違i:

Nh壱n xét:

Tích phân này n院u đ吋 nguyên mà tính TPTP thì… không ra đâu nh逢ng n院u ta s穎 d映ng công th泳c nhân đôi

2 2 1 cos 2 1 2cos 1 2cos      x x x thì l医y nguyên hàm c栄a đ逢嬰c ngay

Ta đ逢嬰c

4

2

0

1

2 cos

x

I dx

x



 

A員t

2

tan

cos

u x du dx

dx dv v x

x

 

  

  

   



Khi đó

4

0

1 1 1 1 tan tan ln cos ln 2 4 4

2 2 8 2 8 4 0 0

I x x xdx x



 

 

      

Chú ý:

- Ta có th吋 s穎 d映ng công th泳c (2) nh逢 sau

4 4 4

2

0 0 0

1 1 1 1 (tan ) tan tan ln cos ln 2 4 4

2cos 2 2 2 4 8 4 0 0

x

I dx xd x x x xdx x

x

  

 

   

              

- A瑛ng quên 1

2

tr逢噂c d医u tích phân nhé

Ví d映 2: (AHDB – D 2003) Tính tích phân sau

2

1

3

0

x

I x e dx  

Gi違i:

Ta có

2 2

1 1

3 2

0 0

x x I x e dx x e xdx    

A員t 2

2

2

dt t x dt xdx xdx     

A鰻i c壱n 0 0

1 1

x t

x t

      

   

Khi đó

1 1

0 0

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 0 0

t t t t e

I te dt te e dt e         (s穎 d映ng công th泳c 2)

Chú ý:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguy宇n Thành Long Email: [email protected]

DA: 01694 013 498

4

- D┄ nhiên ta không c亥n bi院n đ鰻i s嘘 mà làm tr詠c ti院p. Ta có   2 2

1 1

3 2 2

0 0

1

2

x x I x e dx x e d x     . A院n đây ta có th吋

s穎 d映ng công th泳c (1) ho員c công th泳c (2) tuy là ng逸n h挨n nh逢ng đ瓜 ph泳c t衣p cao h挨n nên tôi không đ逢a ra, b衣n

đ丑c t詠 tìm hi吋u nhé

Ví d映 3: (AHTCKT – 1998) Tính tích phân sau  

4

2

0

I x x dx 2cos 1



  

Gi違i:

Nh壱n xét:

N院u đ吋 nguyên nh逢 th院 mà tính thì qu違 th壱t nan gi違i. S穎 d映ng công th泳c h衣 b壱c

   

4 4 4

2

0 0 0

I x x dx x dx x xdx 2cos 1 2 1 cos 2 1 cos 2

  

            

A員t sin 2 cos 2

2

du dx

u x

x

dv xdx v

 

  

  

   



Khi đó

4

0

sin 2 1 cos 2 1 2 . sin 2 4 4

2 2 8 4 8 4 8 0 0

x x I x xdx



 

   

       

- Aôi khi tính TPTP ta ph違i tính đ院n 2 hay 3 l亥n TPTP

Ví d映: (AH – D 2007) Tính tích phân sau

4

3 2

1

5 1 ln

32

e

e

I x xdx 

  

Gi違i:

A員t

2

3 4

2ln ln

4

dx du x

u x x

dv x x

v





       

   



Khi đó

4 4

2 3

1

1

1 1 ln . ln .

4 2 4 2 1

e

x e e

I x x x dx I     

Tính 3

1

1

ln .

e

I x x dx  

A員t 3 4

ln

4

dx du

u x x

dv x x

v





  

  

   



Khi đó

4 4 4

3 4

1

1

1 1 3 1 ln .

4 4 4 16 16 1 1

e

x e e e e

I x x dx x 

     

V壱y

4 4 4 4

1

1 1 3 1 5 1

.

4 2 4 2 16 32

e e e e I I  

    

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com