Phương pháp runge - kutta và ứng dụng giải gần đúng phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM THỊ QUÝ

PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA

VÀ ỨNG DỤNG GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 1: TS. PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 2: GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ

khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 12 năm 2013.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân thường (hoặc hệ phương trình vi phân thường) là mô

hình toán học được sử dụng để mô tả nhiều vấn đề trong tự nhiên và kỹ thuật:

Các bài toán chuyển động, bài toán cân bằng hệ sinh thái, mô hình lãi suất

ngân hàng...Trong nhiều trường hợp thì nghiệm đúng của các phương trình vi

phân không tìm được bằng phép cầu phương, do đó chúng ta phải tìm đến các

phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng. Phương pháp Runge – Kutta (RK)

là một trong những phương pháp số thường dùng và có những ưu điểm có thể

đáp ứng được những yêu cầu đối với một số bài toán trên.

Với ý nghĩa tìm hiểu về một phương pháp tìm nghiệm gần đúng cho phương

trình vi phân thường và ứng dụng một phần mềm toán học cho đối tượng nghiên

cứu trên, nên tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài "Phương pháp Runge – Kutta

và ứng dụng giải gần đúng phương trình vi phân thường" cho luận văn

cao học của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là sử dụng phương pháp xấp xỉ bậc bốn RK để trình bày

cách tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân cấp một, phương trình vi

phân cấp hai, hệ phương trình vi phân, từ đó so sánh với nghiệm chính xác.

Việc tính toán các nghiệm gần đúng được tác giả trình bày bằng các chương

trình được viết trong phần mềm Mathematica và các nghiệm gần đúng tìm

được đều được so sánh và kiểm tra bằng máy tính. Trong một số trường hợp

đặc biệt các nghiệm tìm được còn được so sánh với các nghiệm tường minh và

được minh họa bằng đồ thị hoặc biểu diễn thông qua các bảng biểu trong phần

mềm Mathematica

2

3. Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình tìm hiểu và nghiên cứu đề tài tác giả sử dụng đến các kiến

thức thuộc các lĩnh vực sau: Lý thyết phương trình vi phân thường, Phương

pháp số, Giải tích,. . .

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải phương trình vi phân thường bằng phương pháp xấp

xỉ RK bậc bốn.

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân thường cấp một, cấp hai,

hệ phương trình vi phân cấp một và sử dụng phần mềm Mathematica làm công

cụ hỗ trợ và kiểm tra.

5. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được cấu trúc

bởi các chương sau đây:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chương 2: Phương pháp tìm nghiệm gần đúng - Runge - Kutta.

Chương 3: Ứng dụng phần mềm Mathematica cho công thức Runge - Kutta

bậc bốn.

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 CÁC KHÁI NIỆM

Phương trình vi phân là phương trình có dạng:

F(x, y, y,˙ y, ..., y ¨

(n)

) = 0, (1.1)

trong đó y = y(x) là ẩn hàm cần tìm và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo

hàm (đến cấp nào đó) của ẩn hàm.

Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến (xuất hiện các đạo hàm

riêng) thì phương trình vi phân còn gọi là phương trình đạo hàm riêng. Nếu ẩn

hàm cần tìm là vectơ - hàm (hàm với giá trị vectơ)

y(x) = (y1(x), ..., ym(x))T ∈ Rm, F là một ánh xạ nhận giá trị trong Rm, khi

đó (1.1) được hiểu là hệ phương trình vi phân.

Phương trình vi phân thường cấp một có dạng tổng quát:

F(x, y, y˙) = 0, (1.2)

trong đó F xác định trong miền G ⊆ R và phương trình vi phân cấp một có

thể viết dưới dạng (gọi là dạng giải được theo đạo hàm )

y˙ = f(x, y), (1.3)

với f liên tục trong miền D ⊆ R2

.

Phương trình (1.1) có thể viết dưới dạng sau (gọi là dạng giải ra với đạo

hàm)

y

(n) = f(x, y, y, ..., y ˙

(n−1)), (1.4)

Dưới dạng này ta có thể chuyển từ phương trình vi phân cấp cao về dạng hệ

phương trình vi phân cấp một bằng cách đưa thêm vào các ẩn mới

4

y1 = y, ..., yk = y

(k−1), k = 1, n, ta thu được







y˙1 = y2,

y˙2 = y3,

.............,

yn˙−1 = yn,

y˙n = f(x, y1, ..., yn).

(1.5)

Đặt Y := (y1, ..., yn)

t

, g(x, Y ) := (y2, ..., yn, f(y1, ..., yn)

t

) là các vectơ - hàm,

(1.5) có thế viết lại như sau:

Y˙ = g(x, Y ). (1.6)

1.2 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI

TOÁN CAUCHY

1.2.1. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp một

Tìm nghiệm y(x) thỏa:







y˙ = f(x, y),

y(x0) = y0,

(1.7)

trong đó (x0, y0) ∈ D và y(x0) = y0 được gọi là điều kiện ban đầu.

Từ đó ta có thể phát biểu bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp

cao như sau:

Tìm nghiệm y(x) của (1.4) thỏa:







y(x0) = y0,

y˙(x0) = ˙y0,

.................,

y

(n−1)(x0) = y

(n−1)

0

,

(1.8)

trong đó x0 ∈ I ⊂ R và Y0 := (y0, y˙0, ..., y

(n−1)

0

) ∈ Rn

cố định cho trước.

5

1.2.2. Dãy xấp xỉ Picard

Ta xét bài toán (1.7), trong đó f xác định và liên tục trên miền mở D ⊂ R2

.

Giả sử y(x) là nghiệm của bài toán (1.7), tích phân hai vế của phương trình

trong (1.7) ta được phương trình tích phân đối với y(x) là:

y(x) = y0 +

Z x

x0

f(t, y(t))dt, (1.9)

Rõ ràng mỗi nghiệm của (1.7) cũng là nghiệm của (1.9) và ngược lại, mỗi nghiệm

của (1.9) đều khả vi và liên tục trên một khoảng I nào đó và thỏa (1.7).

Bổ đề 1.1. Giả sử f(x, y) liên tục trên hình chữ nhật

D = {(x, y) ∈ R

2

, |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b}.

Đặt M = max |f(x, y)|, h = min{a, b/M}, (ta có thể giả sử M 6= 0),

y0(x) = y0, ∀x ∈ [x0 − h, x0 + h] và

y1(x) = y0 +

Z x

x0

f(t, y0(t))dt,

yn(x) = y0 +

Z x

x0

f(t, yn−1(t))dt, n ≥ 1.

Khi đó {yn(x)} được xác định như trên được gọi là dãy xấp xỉ Picard.

1.2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Điều kiện Lipschitz: Cho hàm f(x, y) xác định trên miền D ⊂ R. Ta nói

f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y trên D nếu tồn tại hằng số dương

L (gọi là Hằng số Lipschitz) sao cho:

|f(x, y1) − f(x, y2)| ≤ L |y1 − y2| ,

với mọi (x, y1),(x, y2) ∈ D.

Định lý 1.2.1 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm). Giả sử hàm f(x, y)

trong (1.7) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y trên hình chữ

nhật

D = {(x, y) ∈ R2

, |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b}.

6

Khi đó nghiệm của bài toán Cauchy (1.7) là tồn tại và duy nhất trên đoạn

I := [x0 − h, x0 + h], với h = min(a, b/M) và M = max

(x,y)∈D

|f(x, y)|.

Tương tự, để phát biểu định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

Cauchy đối với phương trình vi phân cấp cao ta cần các khái niệm sau:

Cho vectơ - hàm f(x, Y ) xác định trên miền G ⊂ R×Rn

. Ta nói f thỏa mãn

điều kiện Lipschitz trên G theo Y nếu tồn tại hằng số dương L (gọi là hằng số

Lipschitz) sao cho

k f(x, Y1) − f(x, Y2) k≤ L k Y1 − Y2 k, ∀(x, Y1),(x, Y2) ∈ G.

Hệ quả 1.2.1. Với các ký hiệu trong mục trước, nếu các hàm f(x, Y ) thỏa

mãn điều kiện Lipschitz theo biến Y thì g(x, Y ) cũng thỏa mãn điều kiện Lips￾chitz theo biến Y.

Định lý 1.2.2.(Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình vi

phân cấp cao). Giả sử vectơ - hàm g(x, Y ) trong (1.6) liên tục và thỏa mãn điều

kiện Lipschitz theo Y trên miền

G = {(x, Y ) ∈ R × R

n

|x − x0| ≤ a, k Y − Y0 k≤ b}

khi đó bài toán Cauchy với điều kiện ban đầu (1.8) có một nghiệm duy nhất trên

đoạn I := [x0 − h, x0 + h], với h := min(a, b

M ),

và M := max

(x,Y )∈G

k g(x, Y ) k .

1.3 PHÂN LOẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Như vậy ở chương này đã đề cập đến những lý thuyết cơ bản về phương trình

vi phân như: khái niệm phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân, phương

trình vi phân cấp một, phát biểu bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân

cấp một, cấp n, đồng thời phát biểu và chứng minh định lý tồn tại và tính duy

nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Qua đó mở rộng định lý cho phương trình vi

phân cấp cao. Đây chính là những cơ sở để xây dựng phương pháp tìm nghiệm

gần đúng cho bài toán Cauchy ở chương hai mà cụ thể là phương pháp Runge

- Kutta.

7

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG -

RUNGE - KUTTA

2.1 PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG

Phương pháp tìm nghiệm gần đúng: Xuất phát từ điều kiện ban đầu. Phương

pháp Runge - Kutta do hai nhà bác học người Đức là Carl Runge và Wilhelm

Kutta đưa ra và ta luôn giả thiết bài toán đặt ra có nghiệm duy nhất và nghiệm

đó đủ trơn, nghĩa là nó có đạo hàm đến cấp đủ cao.

2.2 PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA - CÔNG THỨC XẤP

XỈ BẬC BỐN RK

Trở lại bài toán (1.7) với x ∈ [a, b]. Cách giải gần đúng (1.7) là tìm các giá

trị gần đúng y(xi), tại các điểm xi = 0, 1, 2, ..., n, trong đó:

a = x0 < x1 < ... < xn = b,

xi = x0 + ih;i = 0, 1, 2..., n − 1,

h =

b − a

n

.

Ta có: y0 = α0, (α0 = const), ta sẽ lần lượt xác định: y1 tại x1, y2 tại x2,

....Từ giá trị gần đúng yi tại xi ta sẽ tính yi+1 tại xi+1.

Để thành lập những công thức Runge - Kutta có độ chính xác cao hơn công

thức Euler, Euler cải tiến ta dùng khai triển Taylor nghiệm y(x) tại xi với nhiều

số hạng hơn. Xét bài toán (1.7), ta xét khai triển Taylor của nghiệm đúng y(x) :

y(x) = y(xi) + x − xi

1! y˙(xi) + (x − xi)

2

2! y¨(xi) + (x − xi)

3

3!

...

y (ci),

với ci ∈ (xi

, x). Thay x = xi+1 = xi + h, ta có:

y(xi+1) = y(xi) + hy˙(xi) + h

2

2

y¨(xi) + h

3

6

...

y (ci), (2.1)