Phương pháp runge-kutta giải phương trình vi phân ngẫu nhiên

ĐẠIăH窺CăĐÀăN允NG

TR姶云NGăĐẠIăH窺CăS姶ăPHẠMă



H唄 THỊ KIM NGÂN

PH姶ƠNGăPHÁPăRUNGE-KUTTA

GI謂IăPH姶ƠNGăTRÌNHăVIăPHÂNăNG郁U NHIÊN

Chuyên ngành: ToánăGi違iătích

Mã s嘘: 8460102

TÓMăTẮTăLU一NăV;NăTHẠCăSĨăTOÁNăH窺Că

ĐàăN印ng – N<mă2018

Công trình được hoàn thành t衣i

ĐẠIăH窺CăĐÀăN允NG

Ng逢運iăh逢噂ngăd磯năkhoaăh丑c:ăTS.ăLÊăV;NăDŨNG

Ph違n biện 1: TS. LÊ H謂I TÙNG

Ph違n biện 2: TS. TR井N ĐỨC THÀNH

Luận văn đã được b違o vệ t衣i Hội đồng ch医m Luận văn tốt

nghiệp th衣c sĩ Khoa học chuyên ngành Toán Gi違i tích t衣i Trường

Đ衣i học Sư ph衣m – ĐHĐN vào ngày 17 tháng 6 năm 2018

Tìm hiểu luận văn t衣i:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đ衣i học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đ衣i học Sư ph衣m, Đ衣i học Đà nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân ngẫu nhiên đóng vai trò rất quan trọng trong kĩ thuật,

vật lý, kinh tế cũng như một số ngành khoa học khác. Sự ra đời của nó xuất

phát từ nhu cầu xác định mối quan hệ giữa một bên là một đại lượng biến thiên

liên tục với một bên là độ biến thiên của đại lượng đó. Các mối quan hệ như

thế xuất hiện thường xuyên trong các ứng dụng thực tế. Tuy nhiên, phương

trình này thường phức tạp và khó có thể giải được bằng các biến đổi đại số.

Hơn nữa, do công thức nghiệm thường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có công

thức nghiệm, việc khảo sát các tính chất nghiệm qua công thức cũng gặp phải

rất nhiều khó khăn. Vì vậy, ngay từ thời Archimedes, các phương pháp giải gần

đúng đã được xây dựng và sử dụng rộng rãi trong thực tế, trong đó nổi bật

là phương pháp Runge-Kutta. Phương pháp Runge-Kutta là một họ của các

phương pháp lặp ẩn và hiện, được sử dụng trong việc rời rạc hóa thời gian để

tìm lời giải gần đúng cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên và được xây

dựng vào khoảng năm 1900 bởi hai nhà toán học người Đức là C. Runge và

M. W. Kutta. Nhằm tìm hiểu rõ hơn về phương pháp này, tôi chọn đề tài cho

luận văn thạc sĩ của mình là: “PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN”.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu và làm rõ các vấn đề: Nghiên cứu tích

phân Itô, khai triển Taylor, lý thuyết cây, phương trình vi phân ngẫu nhiên,

. . . .Từ đó xây dựng công thức Runge-Kutta tổng quát theo bậc để giải gần

đúng phương trình vi phân ngẫu nhiên, hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên.

3. Đối tượng nghiên cứu

2

Đối tượng nghiên cứu là tích phân Itô, khai triển Taylor, cây, phương trình

vi phân ngẫu nhiên.

4. Phạm vi nghiên cứu

- Phương trình vi phân ngẫu nhiên một chiều và nhiều chiều.

- Một số phương pháp Runge-Kutta để giải các phương trình vi phân ngẫu

nhiên và hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên.

3

5. Phương pháp nghiên cứu

Luận văn được nghiên cứu dựa trên các phương pháp:

- Tài liệu tham khảo, sách giáo viên, sách giáo khoa và mạng internet về các

kiến thức liên quan đến đề tài luận văn.

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu đã chọn lọc.

- Trao đổi thảo luận với thầy giáo hướng dẫn.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có ý nghĩa thực tiễn về mặt lý thuyết và là tài liệu tham khảo tốt để

giải quyết các vấn đề trong kinh tế, kĩ thuật, ...

7. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày sơ lược một số khái

niệm và vấn đề liên quan đến xác suất và phương trình vi phân ngẫu nhiên

để làm cơ sở cho chương sau.

• Chương 2: Phương pháp Runge-Kutta giải phương trình vi phân ngẫu nhiên.

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày cách giải phương

trình vi phân ngẫu nhiên bằng phương pháp Runge-Kutta.

4

Chương 1

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

1.1. Xác suất

1.1.1. σ-Đại số

Định nghĩa 1.1. Cho Ω là một tập hợp khác rỗng, một σ-đại số F trên Ω

là một họ những tập con của Ω với các tính chất sau:

i) ∅ ∈ F,

ii) Nếu F∈ F thì F

c=Ω\F∈ F,

iii) Nếu A1, A2, ... ∈ F thì S∞

i=1 Ai ∈ F.

1.1.2. σ-Đại số Borel trên R

k

Cho A là một họ các tập con của Ω. Tập hợp tất cả các tập con của Ω là

một σ-đại số, kí hiệu là P(Ω). Điều này chỉ ra rằng tồn tại ít nhất một σ-đại

số chứa A. Hơn nữa, giao của một họ bất kì một σ-đại số cũng là một σ-đại

số, do đó tồn tại σ-đại số nhỏ nhất chứa A. Vậy σ-đại số nhỏ nhất chứa A là:

σ(A) = T

{σ−đại số G ⊃ A}.

Định nghĩa 1.2. σ- Đại số Borel trên R

k

, kí hiệu bởi B(R

k

), được xác định

là σ- đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở trong R

k

.

1.1.3. Không gian xác suất

Định nghĩa 1.3. Một không gian xác suất là bộ (Ω, F, P), trong đó Ω là

một tập hợp khác rỗng, F là một σ- đại số trên Ω, P : Ω → R là một độ đo

xác suất trên F, tức là:

i) 0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi A ∈ F,

5

ii) P(Ω)=1,

iii) Với mọi A1, A2, ... ∈ F với Ai

T

Aj = ∅ khi i 6= j:

P(

S∞

i=1 Ai) = P∞

i=1 P(Ai).

Tập hợp Ω được gọi là không gian mẫu, mỗi phần tử của F được gọi là một

biến cố và mỗi phần tử của Ω được gọi là biến cố sơ cấp.

Nếu Ω hữu hạn thì ta chỉ xét σ- đại số của tất cả các tập con trong Ω.

1.2. Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4. Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất. Một biến ngẫu

nhiên nhận giá trị thực là bất kì ánh xạ Borel đo được X : Ω → R tức là với

mỗi tập Borel B ∈ B(R), X−1

(B) ∈ F.

Định nghĩa 1.5. Cho X : Ω → R là một biến ngẫu nhiên, ánh xạ

PX : B(R) → R

với PX(B) = P(X−1

(B)) = P([X ∈ B])

là một độ đo xác suất trên R và nó được gọi là quy luật xác suất của X.

Mệnh đề 1.1. Cho P : B(R) → R là một độ đo xác suất. Tồn tại một biến

ngẫu nhiên X : R → R sao cho P trùng với luật xác suất PX kết hợp với X.

Định nghĩa 1.6. Cho X : Ω → R là một biến ngẫu nhiên. Khi đó σ- đại

số FX = X−1

(B(R)) được gọi là σ− đại số sinh bởi X.

Định nghĩa 1.7. Cho X : Ω → R là một biến ngẫu nhiên. Ánh xạ

FX : R → [0; 1]

với FX(x) = P(X ≤ x), x ∈ R, được gọi là hàm tích lũy của X.

Mệnh đề 1.2.

i) Với mọi a, b ∈ R, a < b : FX(a) − FX(b) = P(a < X ≤ b).

ii) FX(x) là hàm tăng và liên tục phải.

6

iii) limx→−∞ FX(x) = 0 và limx→+∞ FX(x) = 1.

Mệnh đề 1.3. Cho một hàm F : R → [0; 1] thỏa mãn ii) và iii) của mệnh đề

1.2 thì bằng nhận xét i) ta có thể xác định một độ đo xác suất PX : B(R) → R

liên kết với một biến ngẫu nhiên X mà hàm phân phối tích lũy là đồng nhất trên

F.

Định nghĩa 1.8. Một biến ngẫu nhiên X là liên tục nếu hàm phân phối

tích lũy của FX của nó là liên tục.

Nhận xét 1.1. Một biến ngẫu nhiên X là liên tục nếu và chỉ nếu P(X =

a) = 0 với mọi a ∈ R.

Định nghĩa 1.9. Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu tồn tại một

hàm f(x) không âm F : R → [0; −∞] với mọi x ∈ R mà:

FX(x) = R x

−∞ f(t)dt, x ∈ R

thì f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X.

Định nghĩa 1.10. Một biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu miền giá

trị của nó là tập hữu hạn hoặc tập vô hạn đếm được. Nếu X(Ω) là miền giá trị

của biến ngẫu nhiên rời rạc X thì

p(x) = (

P(X = x), nếu x ∈ X(Ω)

0, nếu x /∈ X(Ω)

được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X.

Định nghĩa 1.11. Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là biến ngẫu nhiên

có phân bố chuẩn nếu X có hàm mật độ xác suất

f(x) = 1

√

2πσ

e

−

(x−µ)

2

2σ2 x ∈ R,

trong đó µ ∈ R và σ > 0.

Kí hiệu X ∼ N(µ; σ

2

).

7

1.3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.3.1. Kỳ vọng toán

Định nghĩa 1.12. Kỳ vọng hoặc giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X

(kí hiệu E(X)) được xác định bởi

E(X) = Z

Ω

XdP,

trong đó tích phân vế phải là tích phân Lebesgue. Đặc biệt,

i) nếu X rời rạc và nhận các giá trị xi với xác suất tương ứng pi = P(X = xi)

thì E(X) = P∞

i=1 xipi

.

ii) nếu X liên tục và có hàm mật độ f(x) thì E(X) = R +∞

−∞ xf(x)dx.

Tính chất 1.1.

i) E(C) = C với mọi hằng số C.

ii) E(CX) = CE(X) với mọi hằng số C.

iii) E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn).

iv) Nếu X1, X2, ...Xn độc lập thì E(X1...Xn) = E(X1)...E(Xn).

1.3.2. Phương sai

Định nghĩa 1.13. Phương sai của biến ngẫu nhiên X (kí hiệu V ar(X)) là

đại lượng đo sự phân tán bình phương trung bình của X xung quanh giá trị

trung bình E(X):

V ar(X) = E(X − EX)

2

.

i) Nếu X rời rạc nhận các giá trị xi với các xác suất tương ứng pi thì

V ar(X) = X

i

(xi − E(X))2

pi

.

ii) Nếu X liên tục và có hàm mật độ f(x) thì

V ar(X) = Z +∞

−∞

(x − E(X))2

f(x)dx.