Phương pháp hướng Gradient liên hợp cho bài toán tối ưu lồi trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HỒNG XUYÊN

PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG GRADIENT LIÊN

HỢP CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI

TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ

KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Nguyễn Song Hà

Thái Nguyên - 2020

ii

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa

học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn hết sức tận tình của Thầy giáo,

Tiến sĩ Nguyễn Song Hà. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu

sắc nhất tới Thầy, người đã luôn theo sát, hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong

suốt quá trình từ khi lựa chọn đề tài cho đến khi thực hiện và hoàn thiện luận

văn. Qua đây, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô giáo thuộc

Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên đã tận

tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học. Cuối cùng, tôi xin gửi lời

cảm ơn tới Ban giám hiệu, tập thể các Thầy, Cô giáo của trường Trung học

phổ thông Lương Thế Vinh nơi tôi đang công tác, đã động viên và tạo điều

kiện cho tôi trong suốt thời gian học tập cũng như thực hiện đề tài.

Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Xuyên

Mục lục

Trang bìa phụ i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt v

Danh sách bảng vi

Mở đầu 1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3

1.1. Một số vấn đề cơ bản về không gian Hilbert . . . . . . . . . . 3

1.2. Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Ánh xạ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Ánh xạ không giãn và điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . 17

Chương 2. Phương pháp hướng gradient liên hợp cho một lớp

bài toán tối ưu lồi 24

2.1. Mô hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Phương pháp hướng gradient liên hợp . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. Phương pháp hướng gradient liên hợp lai ghép . . . . . . . . . 37

2.3.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . 37

iv

2.3.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Kết luận chung và đề nghị 44

Tài liệu tham khảo 45

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

H Không gian Hilbert thực H

R

n Không gian thực n chiều

∇f Gradient của hàm f

∇2

f Hessian của hàm f

hx, yi Tích vô hướng của hai véctơ x và y

kxk Chuẩn của véctơ x

PC(x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C

xn * x Dãy {xn} hội tụ yếu đến x

xn → x Dãy {xn} hội tụ mạnh đến x

(CGM) Phương pháp hướng gradient liên hợp

(HCGM) Phương pháp hướng gradient liên hợp lai ghép