Phương pháp giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ của một bài toàn biên đối với phương trình song điều hòa

Phí Hùng Cường Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 81(05): 79 - 83

85

PHƯƠNG PHÁP GIẢI LẶP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT

BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

Lê Tùng Sơn

*

Trường ĐH Sư phạm - ĐH Thái Nguyên

TÓM TẮT

Trong bài báo này chúng tôi chúng tôi trình bày tóm tắt những kết quả nghiên cứu về việc giải lặp

tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán biên đối với phương trình song điều hòa trong [2] nhờ việc sử

dụng sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev mà sự hội tụ của sơ đồ lặp này về nghiệm gốc của

bài toán ban đầu được đánh giá qua tính chất hoàn toàn liên tục của một toán tử biên xác định trên

không gian Sobolev H

S

(∂Ω), s≥0. Phần cuối là một số thực nghiệm trên máy tính điện tử nhằm

kiểm chứng về sự hội tụ của dãy lặp đã được chứng minh về mặt lí thuyết.

Keywords: BVP: Boundary Value Problem

GIỚI THIỆU

*

Trong [2], chúng tôi đưa ra công thức nghiệm

giải tích cho một bài toán biên đối với

phương trình song điều hòa mô tả dao động

của bản mỏng với điều kiện biên ngàm đàn

hồi trên miền Ω là một hình tròn. Đó là bài

toán biên đối với phương trình song điều hòa

trong đó Ω chỉ là miền giới nội trong R

2

có

biên ∂Ω đủ trơn, ∆ là toán tử Laplace, µ là

tham số không âm, q

-1 là một hàm số dương,

n là véc tơ pháp tuyến ngoài của biên Γ. Sử

dụng phương pháp tọa độ cực, với x x , là

hai điểm tùy ý thuộc Ω Γ\ có tọa độ cực

tương ứng là ( , ), ( , ) r r ϕ ϕ . s s , là hai

điểm tùy ý thuộc biên Γ có tọa độ cực tương

ứng là ( , ), ( , ) R R ψ ψ . ,

s s

n n lần lượt là

các véc tơ pháp tuyến ngoài của biên Γ tại

các điểm s s , . Khi đó nghiệm gốc u của bài

toán trên được cho bởi công thức:

( ) ( , ) ( )

Ω

= −∫

u x G x x v x dx ,

0

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )

Ω Ω

= − − Γ

∂

∫ ∫ s

s

G x s v x G x x f x dx v s d

n

*

Tel: 0280 3856 894; Email: [email protected]

G x x ( , ) là hàm Green được của toán tử

Laplace ∆

2 2

2

2

2 2

( )

1 2 os( ) ( , ) ln

2 ( ) 2 os( )

ϕ ϕ

π ϕ ϕ

+

− −

=

− − −

r r R

R rrc G x x

r r rrc

Hơn nữa, chúng tôi còn chứng minh được với

3/2 ( ) − ∈ Ω s

f H thì 0 ∈ Γ( ) s

v H và do đó,

5/2 ( ) + ∈ Ω s

u H . Trong đó,

3/2 5/2 ( ), ( ), ( ) − + Ω Γ Ω s s s H H H là các

không gian Sobolev, s ≥ 0.

Dưới đây, chúng tôi giới thiệu một phương

pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán trên. Có

thể tóm tắt như sau: sau khi phân rã bài toán

gốc cấp bốn đối với phương trình song điều

hòa về dãy các bài toán biên cấp hai đối với

phương trình elliptic, xuất hiện thêm một ẩn

hàm biên 0

v , ẩn hàm biên này được đưa vào

một phương trình toán tử có dạng Av0 = f.

Một trong những phương pháp số tìm v0 là

giải lặp phương trình Av0 = f bằng sơ đồ lặp

hai lớp của Samarski – Nikolaev giới thiệu

trong [6]. Sự hội tụ của dãy nghiệm xấp xỉ về

nghiệm gốc của phương trình toán tử trên chủ

yếu được đánh giá qua hai định lí: định lí 1

trong [1] của Đặng Quang Á và định lí 1

trong [6] của Samarski – Nikolaev. Phần cuối

của bài báo, chúng tôi đưa ra một số kết quả

thực nghiệm trên máy tính điện tử nhằm kiểm

tra sự hội tụ của dãy lặp đã được chứng minh

về mặt lí thuyết.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn