Phương pháp chia miền giải bài toán biên với điểm biên kì dị

PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN

GIẢI BÀI TOÁN BIÊN VỚI ĐIỂM BIÊN KỲ DỊ

Vũ Vinh Quang*

– Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên

Ngô Thị Kim Quy – Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh Thái Nguyên

TÓM TẮT

Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một số phương pháp tiếp cận giải bài toán biên

elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh dựa trên cơ sở phương pháp chia miền đồng thời đưa ra

các kết quả cụ thể khi áp dụng các phương pháp để giải bài toán Motz, một bài toán mẫu được thế

giới quan tâm. Các kết quả được trình bày cả về lý thuyết và thực nghiệm khẳng định tính đúng

đắn của các phương pháp đã đưa ra.

Từ khóa: phương pháp chia miền, sơ đồ lặp, bài toán Motz, bài toán biên hỗn hợp mạnh,

điểm kì dị.

1. Cơ sở của phương pháp

Cho 2   R là miền với biên

Lipschitz , xét bài toán:

( ) ( ), ,

( ) ( ), .

u x f x x

lu x g x x

    



    

(1)

Giả thiết

1

2 2

f x L x H ( ) ( ),g( ) ( )     . Ta

xét trường hợp tổng quát khi điều kiện biên

lu(x)  g(x) là điều kiện biên dạng hỗn hợp

mạnh tức là trên một phần biên trơn gồm cả

hai điều kiện biên Dirichlet (l là toán tử hàm)

và Neumann (l là toán tử đạo hàm hướng).

Khi đó điểm giao giữa hai loại điều kiện biên

được gọi là điểm kì dị. Đây là bài toán đã

được nhiều tác giả trên thế giới quan tâm như

Saito, Fuijtu, Funaro, Quarteroni,...

Để giải quyết bài toán trên, có nhiều

phương pháp đã được đưa ra của các tác giả

trên thế giới, một trong các phương pháp đó là

sử dụng phương pháp khai triển các hàm cơ

sở xung quanh lân cận điểm kì dị từ đó xác

định nghiệm bằng chuỗi hàm xấp xỉ qua các

hàm cơ sở. Các hệ số của chuỗi được xác định

thông qua điều kiện cực trị của một phiếm

hàm. Các kết quả trên đã được đưa ra trong [2,

3, 5].

Trong phần này, khác với các phương

pháp của các tác giả trên thế giới, chúng tôi sẽ

áp dụng phương pháp chia miền để xử lý bài

toán biên hỗn hợp mạnh. Nhờ phương pháp

này bài toán được dẫn về dãy các bài toán

biên hỗn hợp yếu để giải.

Giả sử miền  được mô tả bởi Hình

1, xét bài toán

( ) ( ), ,

( ) ( ), ,

( ) ( ) \ .

n

n

u x f x x

u x

x x

u x x x









   





 

   

  



     

(2)

Hình 1

Bài toán được gọi là bài toán biên hỗn

hợp mạnh khi trên đoạn biên trơn    d n

gồm cả hai loại điều kiện biên Dirichlet và

Neumann.

Chia miền 1 2 1 2          , 

bởi biên 1 2        . Kí hiệu

( 1,2)

i

i

u u i   

là nghiệm,

1 1 \ , d

       2 2 \ n

       .

Để giải được hai bài toán trong 2 miền con,

điều quan trọng nhất là cần xác định được giá

trị điều kiện biên trên đường phân chia giữa 2

miền. Có hai cách tiếp cận:

1. Cách tiếp cận thứ nhất là xác định giá

trị hàm trên biên phân chia dựa trên một sơ đồ

136Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn