Phương pháp chia miền đối với phương trình song điều hòa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ DIỆP ANH

PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI

PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ DIỆP ANH

PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI

PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60. 46. 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN - 2009

Môc lôc

Më ®Çu 2

Ch­¬ng 1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n 6

1.1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng gian hµm . . . . . . . . . 6

1.2. Lý thuyÕt vÒ ph­¬ng tr×nh elliptic . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Ph­¬ng ph¸p lÆp vµ c¸c s¬ ®å lÆp c¬ b¶n . . . . . . . . . . . 21

Ch­¬ng 2. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i ph­¬ng tr×nh elliptic cÊp 2 28

2.1. Giíi thiÖu vÒ ph­¬ng ph¸p chia miÒn . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn Saito-Fujita . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn Dang Quang A-Vu Vinh Quang . . . 39

2.4. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp m¹nh . . . 47

Ch­¬ng 3. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa 55

3.1. Giíi thiÖu vÒ ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa . . . . . . . . . . . 55

3.2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa b»ng ph­¬ng ph¸p

ph©n r· vÒ d·y hai bµi to¸n elliptic . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu

kiÖn biªn Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu

kiÖn biªn hçn hîp m¹nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

KÕt luËn 81

Tµi liÖu tham kh¶o 83

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Më ®Çu

Trªn thùc tÕ, nhiÒu bµi to¸n trong khoa häc kü thuËt th«ng qua m« h×nh

hãa to¸n häc ®­îc ®­a ®Õn viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n biªn ®èi víi ph­¬ng tr×nh

®¹o hµm riªng. Trong ®ã rÊt Ýt bµi to¸n lµ c¸c tr­êng hîp ®¬n gi¶n (miÒn

h×nh häc lµ miÒn ®¬n gi¶n, hÖ sè cña ph­¬ng tr×nh lµ hÖ sè h»ng, ...) cã thÓ

t×m ®­îc nghiÖm t­êng minh b»ng ph­¬ng ph¸p gi¶i tÝch. Cßn ®¹i ®a sè c¸c

tr­êng hîp kh¸c th× nghiÖm t­êng minh kh«ng cã hoÆc rÊt phøc t¹p. H¬n

n÷a, mét sè bµi to¸n trong thùc tÕ chØ yªu cÇu t×m nghiÖm cña bµi to¸n t¹i

mét sè ®iÓm rêi r¹c nµo ®ã. Khi ®ã, chóng ta buéc ph¶i sö dông c¸c ph­¬ng

ph¸p gi¶i gÇn ®óng, chñ yÕu lµ ph­¬ng ph¸p sè nh­ ph­¬ng ph¸p sai ph©n,

ph­¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n. C¸c ph­¬ng ph¸p nµy rêi r¹c hãa bµi to¸n vµ

hÇu hÕt ®Òu ®­a vÒ viÖc gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh cì lín, dÉn

®Õn nhu cÇu ph¸t triÓn c¸c ph­¬ng ph¸p h÷u hiÖu ®Ó gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh

l­íi. Tuy nhiªn, khi miÒn h×nh häc lµ miÒn phøc t¹p, d÷ liÖu hoÆc c¸c hÖ sè

cña ph­¬ng tr×nh lµ gi¸n ®o¹n th× viÖc ¸p dông mét ph­¬ng ph¸p nµo ®ã cho

c¶ miÒn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n. V× vËy trong nhiÒu n¨m qua, ng­êi ta ®·

vµ ®ang ph¸t triÓn c¸c ph­¬ng ph¸p víi môc ®Ých chÝnh lµ ®­a c¸c bµi to¸n

biªn trong miÒn h×nh häc phøc t¹p vÒ mét d·y c¸c bµi to¸n biªn trong miÒn

h×nh häc ®¬n gi¶n ®Ó cã thÓ sö dông c¸c thuËt to¸n h÷u hiÖu ®· ®­îc ph¸t

triÓn cho c¸c miÒn ®¬n gi¶n nµy. C¸c ph­¬ng ph¸p trªn cã tªn gäi lµ c¸c

ph­¬ng ph¸p chia miÒn (Domain Decomposition Methods). T­ t­ëng chÝnh

cña c¸c ph­¬ng ph¸p chia miÒn lµ t×m c¸ch x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ biªn trªn c¸c

®­êng biªn ph©n chia th«ng qua mét ph­¬ng ph¸p lÆp ®Ó chuyÓn viÖc gi¶i

bµi to¸n trong miÒn phøc t¹p vÒ viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n trong c¸c miÒn ®¬n

gi¶n tõ ®ã thu ®­îc nghiÖm cña bµi to¸n gèc.

Trong nhiÒu n¨m qua, lý thuyÕt vÒ ph­¬ng ph¸p chia miÒn ®· vµ vÉn ®ang

®­îc liªn tôc ph¸t triÓn. C¸c bµi to¸n th­êng ®­îc xÐt ®Õn lµ c¸c bµi to¸n

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

biªn elliptic tuyÕn tÝnh d¹ng Lu = f, x ∈ Ω, trong ®ã L lµ to¸n tö elliptic, Ω

lµ miÒn d chiÒu (d = 2, 3) víi biªn Lipschitz ∂Ω, f lµ hµm thuéc kh«ng gian

L

2

(Ω). Gi¶ sö miÒn Ω ®­îc chia thµnh hai miÒn con kh«ng giao nhau Ω1, Ω2.

Ta kÝ hiÖu Γ = Ω1∩Ω2, gi¶ sö Γ lµ biªn Lipschitz (d−1) chiÒu. XuÊt ph¸t tõ

c«ng thøc ®a miÒn vµ ph­¬ng tr×nh Steklov-Poincare, c¸c ph­¬ng ph¸p chia

miÒn ®­îc ph¸t triÓn tõ c¸c s¬ ®å lÆp c¬ b¶n sau:

1. S¬ ®å Dirichlet-Neumann: XuÊt ph¸t tõ λ lµ gi¸ trÞ hµm ch­a biÕt trªn

biªn ph©n chia, tiÕn hµnh gi¶i lÇn l­ît hai bµi to¸n trong hai miÒn: Bµi to¸n

Dirichlet trong miÒn Ω1 vµ bµi to¸n Neumann trong miÒn Ω2. Tõ ®ã, ng­êi

ta x©y dùng s¬ ®å lÆp ®Ó hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia. Ph­¬ng

ph¸p nµy ®· ®­îc xÐt ®Õn bëi c¸c t¸c gi¶ Bjorstad vµ Windlund (1986),

Bramble, ... (1986), Funaro, ... (1988), Marini vµ Quarteroni (1988, 1989).

2. S¬ ®å Neumann-Neumann: XuÊt ph¸t tõ λ lµ gi¸ trÞ hµm ch­a biÕt trªn

biªn ph©n chia, tiÕn hµnh gi¶i lÇn l­ît hai bµi to¸n trong hai miÒn: Bµi to¸n

Dirichlet trong miÒn Ω1 vµ bµi to¸n Dirichlet trong miÒn Ω2. ViÖc x©y dùng

s¬ ®å lÆp ®Ó hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia ph¶i dùa vµo kÕt

qu¶ cña hai bµi to¸n d¹ng Neumann trong hai miÒn. Ph­¬ng ph¸p nµy ®­îc

nghiªn cøu bëi c¸c t¸c gi¶ Agoshkov, Lebedev (1985), Bourgat, ... (1989).

3. S¬ ®å Robin: XuÊt ph¸t tõ u

(0)

2

trong miÒn Ω2, tiÕn hµnh gi¶i lÇn l­ît

hai bµi to¸n Robin trong hai miÒn Ω1, Ω2. ViÖc hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn

biªn ph©n chia ®­îc thùc hiÖn th«ng qua s¬ ®å lÆp khi gi¶i lÇn l­ît hai bµi

to¸n ®ã. Ph­¬ng ph¸p nµy ®­îc nghiªn cøu bëi t¸c gi¶ Agoshkov (1988),

Lion (1990).

Ta thÊy r»ng, c¬ së cña c¸c ph­¬ng ph¸p trªn ®Òu xuÊt ph¸t tõ viÖc x¸c

®Þnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia, tõ ®ã x©y dùng c¸c s¬ ®å lÆp d¹ng hai líp

®èi víi c¸c ph­¬ng tr×nh to¸n tö. ViÖc nghiªn cøu tÝnh héi tô cña c¸c s¬ ®å

lÆp sö dông kÕt qu¶ cña c¸c kh«ng gian Sobolev vµ to¸n tö Steklov-Poincare.

Ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp cao mµ tiªu biÓu lµ ph­¬ng tr×nh song

®iÒu hßa lµ líp ph­¬ng tr×nh vÉn cßn ®ang thu hót sù quan t©m rÊt lín cña

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

rÊt nhiÒu nhµ c¬ häc, kü s­ vµ c¸c nhµ to¸n häc. Trong vßng ba thËp niªn

qua nhiÒu ph­¬ng ph¸p míi, h÷u hiÖu gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn ®· ®­îc nghiªn

cøu vµ ph¸t triÓn. Cïng víi sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña m¸y tÝnh ®iÖn tö , c¸c

ph­¬ng ph¸p sè ®· trë thµnh c«ng cô ®¾c lùc ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n kü

thuËt tuy nhiªn vÉn cã kh«ng Ýt t¸c gi¶ ®· sö dông ph­¬ng ph¸p gÇn ®óng

gi¶i tÝch nh­ ph­¬ng ph¸p b×nh ph­¬ng cùc tiÓu, ph­¬ng ph¸p nghiÖm c¬

b¶n ®Ó gi¶i líp ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa. ViÖc nghiªn cøu thuËt to¸n chia

miÒn gi¶i ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa lµ mét lÜnh vùc cÇn nghiªn cøu.

Néi dung chÝnh cña luËn v¨n tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vÒ lý thuyÕt vµ thùc

nghiÖm tÝnh to¸n ®èi víi ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn cho

ph­¬ng tr×nh elliptic cÊp hai vµ bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn

Dirichlet hoÆc ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp m¹nh víi t­ t­ëng hiÖu chØnh gi¸ trÞ

hµm hoÆc ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia. Néi dung luËn v¨n gåm cã ba ch­¬ng:

Ch­¬ng 1: Tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng gian Sobolev,

ph­¬ng tr×nh elliptic, lý thuyÕt vÒ ph­¬ng ph¸p lÆp gi¶i ph­¬ng tr×nh to¸n

tö. ®©y lµ nh÷ng kiÕn thøc quan träng lµm nÒn t¶ng cho c¸c kÕt qu¶ sÏ tr×nh

bµy trong c¸c ch­¬ng tiÕp theo cña luËn v¨n.

Ch­¬ng 2: Tr×nh bµy ba ph­¬ng ph¸p chia miÒn: Ph­¬ng ph¸p Saito￾Fujita, ph­¬ng ph¸p Dang Quang A-Vu Vinh Quang vµ ph­¬ng ph¸p chia

miÒn gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp m¹nh trªn c¬ së cña ph­¬ng ph¸p chia miÒn

tæng qu¸t. Trong ®ã ph­¬ng ph¸p Saito-Fujita xuÊt ph¸t tõ t­ t­ëng hiÖu

chØnh hµm trªn biªn ph©n chia th«ng qua ph­¬ng ph¸p lÆp trªn c¬ së s¬ ®å

lÆp Dirichlet-Neumann, cßn ph­¬ng ph¸p Dang Quang A-Vu Vinh Quang

xuÊt ph¸t tõ viÖc hiÖu chØnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia b»ng c¸ch

tiÕn hµnh gi¶i lÇn l­ît hai bµi to¸n trong hai miÒn: Bµi to¸n Neumann trong

miÒn Ω1 vµ bµi to¸n Dirichlet trong miÒn Ω2.

Ch­¬ng 3: Giíi thiÖu tæng quan vÒ ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa vµ tr×nh

bµy c¸c kÕt qu¶ cña ph­¬ng ph¸p chia miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hßa,

trªn c¬ së ph©n r· bµi to¸n song ®iÒu hßa vÒ d·y hai bµi to¸n elliptic cïng

4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

c¸c kÕt qu¶ vÒ ph­¬ng ph¸p chia miÒn cho bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, luËn

v¨n ®· tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu

kiÖn biªn Dirichlet, ®­a ra mét sè kÕt qu¶ thùc nghiÖm tÝnh to¸n ®Ó kiÓm

tra sù héi tô cña hai ph­¬ng ph¸p SF vµ ph­¬ng ph¸p AQH, c¶i tiÕn c¸c s¬

®å chia miÒn vµ so s¸nh tèc ®é héi tô cña c¸c ph­¬ng ph¸p, ®ång thêi còng

tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn

biªn hçn hîp m¹nh.

C¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm tÝnh to¸n trong luËn v¨n ®· sö dông th­ viÖn

ch­¬ng tr×nh TK2004 trªn c¬ së thuËt to¸n thu gän khèi l­îng tÝnh to¸n cña

Samarskij A. - Nikolaev E. ®­îc lËp tr×nh trong m«i tr­êng Matlab trªn m¸y

tÝnh PC.

MÆc dï ®· rÊt cè g¾ng song luËn v¨n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt.

Em rÊt mong nhËn ®­îc sù chØ b¶o ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c thÇy c« gi¸o vµ

b¹n bÌ ®ång nghiÖp cho b¶n luËn v¨n hoµn chØnh h¬n.

Th¸i Nguyªn, ngµy 18 th¸ng 09 n¨m 2009.

Häc viªn

§ç DiÖp Anh

5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Ch­¬ng 1

C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n

Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy nh÷ng kÕt qu¶ lý thuyÕt quan träng

vÒ c¸c kh«ng gian Sobolev, ph­¬ng tr×nh elliptic víi kh¸i niÖm nghiÖm yÕu

vµ ®Þnh lý tån t¹i duy nhÊt nghiÖm, c¸c bÊt ®¼ng thøc Poincare, lý thuyÕt vÒ

ph­¬ng ph¸p lÆp gi¶i ph­¬ng tr×nh to¸n tö... Nh÷ng kiÕn thøc c¬ së vµ kÕt

qu¶ ®­îc tham kh¶o tõ c¸c tµi liÖu [ 4, 5, 6, 7, 11, 17].

1.1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng gian hµm

1.1.1. Kh«ng gian C

k

(Ω) ¯

Gi¶ sö Ω lµ mét miÒn bÞ chÆn trong kh«ng gian Euclid n chiÒu R

n

vµ Ω¯

lµ bao ®ãng cña Ω. Ta ký hiÖu C

k

(Ω)( ¯ k = 0, 1, 2, ...) lµ tËp c¸c hµm cã ®¹o

hµm ®Õn cÊp k kÓ c¶ k trong Ω, liªn tôc trong Ω¯. Ta ®­a vµo C

k

(Ω) ¯ chuÈn

kukCk(Ω) ¯ =

X

|α|=k

max

x∈Ω¯

|D

αu(x)|,

(1.1)

trong ®ã α = (α1, . . . , αn) ®­îc gäi lµ ®a chØ sè lµ vect¬ víi c¸c täa ®é

nguyªn kh«ng ©m, |α| = α1 + · · · + αn,

D

αu =

∂

α1+···+αn u

∂x1

α1 ...∂xn

αn

Sù héi tô theo chuÈn nµy lµ sù héi tô ®Òu trong Ω¯ cña c¸c hµm vµ tÊt c¶

®¹o hµm cña chóng ®Õn cÊp k kÓ c¶ k. Râ rµng tËp C

k

(Ω) ¯ víi chuÈn (1.1)

lµ mét kh«ng gian Banach.

6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn