Phủ chính quy và một số định lý khả mêtric.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ HỒNG HOA

PHỦ CHÍNH QUY VÀ MỘT SỐ

ĐỊNH LÝ KHẢ MÊTRIC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

[Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lương Quốc Tuyển

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: TS. Nguyễn Đắc Liêm

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học, họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

10 tháng 01 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Mêtric hóa không gian tôpô là một trong những bài toán trọng

tâm của tôpô đại cương. Năm 1960, A. V. Arhangel’skii đã giới

thiệu khái niệm phủ chính quy và chứng minh rằng một không

gian với cơ sở chính quy là khả mêtric. Sau đó, năm 1976, H.

W. Martin đã chứng minh rằng không gian với cơ sở yếu chính

quy là khả mêtric, đây là một kết quả mở rộng thực sự kết quả

của A. V. Arhangel’skii. Đến năm 1987, J. Jiang đã suy rộng

khái niệm phủ chính quy và thu được một số kết quả về tính

mêtric hóa của không gian tôpô. Sau đó, S. Lin đã chứng minh

rằng T2-không gian với cơ sở cs-chính quy là khả mêtric và nhận

lại một số kết quả của các tác giả khác đưa ra trước đó. Ngoài

ra, tác giả còn đặt ra bài toán : “Không gian thỏa mãn tiên đề

đếm được thứ nhất và chính quy với k-mạng cs-chính quy có

là không gian khả mêtric hay không?” Bài toán này đã thu hút

nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Mãi đến năm 1998,

M. Sakai, K. Tomano và Y. Yajima đã đưa ra câu trả lời riêng

cho bài toán này trong trường hợp không gian là chính quy. Gần

đây, S. Lin đã thu được câu trả lời khẳng định cho bài toán này

và chứng minh rằng không gian với dãy cs∗

-mạng cs-chính quy

là khả mêtric cũng như cho rằng bài toán này cũng đúng trên

lớp không gian dãy.

2

Để hiểu rõ những vấn đề trên, cũng như dưới sự định hướng

của thầy giáo Lương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn

nghiên cứu đề tài: “Phủ chính quy và một số định lí khả mêtric”.

Tôi hi vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người

quan tâm đến tính mêtric hóa của không gian tôpô.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm tìm hiểu và làm rõ các vấn đề sau.

(1) Hệ thống lại một số kiến thức về tôpô đại cương, một số

kiến thức về không gian mêtric suy rộng.

(2) Tìm hiểu phủ chính quy và chứng minh một số định lí

khả mêtric.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

(1) Đối tượng nghiên cứu: Phủ chính quy và một số định lí

khả mêtric.

(2) Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tính khả mêtric của

không gian tôpô với các mạng cs-chính quy.

4 Phương pháp nghiên cứu

(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.

(2) Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên

cứu liên quan đến “Phủ chính quy và một số định lí khả

mêtric”.

(3) Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

(4) Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng

dẫn các kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn.

3

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài

liệu tham khảo dành cho những ai đang quan tâm nghiên cứu

về tính khả mêtric hóa của không gian tôpô, mối quan hệ giữa

các mạng suy rộng của cơ sở trong không gian mêtric suy rộng.

6 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được trình bày trong 2 chương. Ngoài ra,

luận văn còn có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết

luận, Tài liệu tham khảo.

Chương 1. Cơ sở lý thuyết. Trong chương này, chúng

tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian

mêtric và không gian tôpô nhằm để phục vụ cho việc chứng

minh Chương 2 của Luận văn.

Chương 2. Phủ chính quy và một số định lí khả mêtric.

Chương này dành cho việc trình bày các khái niệm và tính chất

cơ bản của cơ sở yếu, sn-mạng, cs-mạng, cs∗

-mạng và mối quan

hệ giữa chúng. Ngoài ra, chúng tôi chứng minh chi tiết một số

kết quả về mối quan hệ giữa phủ chính quy và không gian tôpô

khả mêtric.

Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn không thể tránh

những hạn chế và thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự

đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được

hoàn chỉnh hơn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn!

4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và

tính chất của không gian mêtric và không gian tôpô nhằm để

phục vụ cho việc chứng minh Chương 2 của Luận văn.

1.1 KHÔNG GIAN MÊTRIC

1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập hợp khác rỗng và d :

X × X → R là một hàm số thỏa mãn các điều kiện sau.

(a) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X;

d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.

(b) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X.

(c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.

Khi đó,

(1) d được gọi là một mêtric trên X.

(2) Cặp (X, d) được gọi là một không gian mêtric.

(3) Mỗi phẫn tử của X được gọi là một điểm của nó.

(4) d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y.

1.1.2 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric và

{xn} ⊂ X. Ta nói rằng dãy {xn} hội tụ đến x0 trong X nếu

limn→∞

d(xn, x0) = 0.

5

Khi đó, ta viết limn→∞

xn = x0 hoặc xn → x0 và x0 được gọi là

điểm giới hạn của dãy {xn}.

1.1.3 Định lí. Điểm giới hạn của một dãy hội tụ trong không

gian mêtric là duy nhất.

1.1.4 Định lí. Trong không gian mêtric (X, d), nếu limn→∞

xn = a

và limn→∞

yn = b, thì limn→∞

d(xn, yn) = d(a, b).

1.1.5 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric, x0 ∈ X

và r > 0 . Khi đó,

(1) Tập hợp

S(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) < r}

được gọi là hình cầu mở tâm x0, bán kính r.

(2) Tập hợp

S[x0, r] = {x ∈ X : d(x, x0) ≤ r}

được gọi là hình cầu đóng tâm x0, bán kính r.

1.1.6 Định nghĩa. Giả sử A là tập con của không gian mêtric

(X, d). Điểm x0 của X được gọi là điểm trong của tập hợp A

nếu tồn tại r > 0 sao cho S(x0, r) ⊂ A.

Hiển nhiên rằng, nếu x0 là một điểm trong của A, thì x0 ∈ A.

1.1.7 Định nghĩa. Tập con G trong không gian mêtric X được

gọi là tập hợp mở nếu mỗi điểm của G đều là một điểm trong

của nó.

6

1.1.8 Định lí. Đối với không gian mêtric X, các khẳng định

sau là đúng.

(1) ∅ và X là các tập hợp mở.

(2) Hợp tùy ý các tập hợp mở là tập hợp mở.

(3) Giao hữu hạn các tập hợp mở là tập hợp mở.

1.1.9 Định nghĩa. Tập hợp con A của không gian mêtric X

được gọi là tập hợp đóng nếu phần bù X \ A của nó là tập

hợp mở.

1.1.10 Định lí. Đối với không gian mêtric X, các khẳng định

sau là đúng.

(1) ∅ và X là các tập hợp đóng.

(2) Giao tùy ý các tập hợp đóng là tập hợp đóng.

(3) Hợp hữu hạn các tập hợp đóng là tập hợp đóng.

1.1.11 Định lí. Tập hợp con F của không gian mêtric X là tập

hợp đóng khi và chỉ khi với mọi dãy bất kì {xn} ⊂ F, mà limn→∞

xn

= x0 ∈ X ta đều có x0 ∈ F.

1.2 KHÔNG GIAN TÔPÔ

1.2.1 Định nghĩa. Cho X là một tập hợp và τ là họ gồm các

tập con nào đó của X thỏa mãn các điều kiện sau.

(a) ∅, X ∈ τ .

(b) Nếu U, V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ .