Một số tính chất của phủ chính quy.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KHOA TOÁN

***

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHỦ CHÍNH QUY

Giáo viên hƣớng dẫn : TS. Lƣơng Quốc Tuyển

Sinh viên thực hiện : Trƣơng Thị Kim Chi

Ngành : Toán ứng dụng

ĐÀ NẴNG – Năm 2016

1

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU………………………………………………………………………......2

1. Lí do chọn đề tài……………..………………………………………….....2

2. Mục đích nghiên cứu………..……………………………………………..2

3. Đối tƣợng nghiên cứu….………………………………………………….2

4. Phạm vi nghiên cứu……….……………………………………………….2

5. Phƣơng pháp nghiên cứu…….…………………………………………….2

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn…………………………………………….3

7. Cấu trúc đề tài……………….…………………………………………….3

LỜI CẢM ƠN……………………………………………………………………..4

CHƢƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT………………………………………………5

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tôpô……….….…5

1.2 Cơ sở và lân cận của không gian tôpô………...…….……………….....13

1.3 Các tiên đề tách………….………………………….…….…….………16

1.4 Không gian con……….…………………………….……….………….19

1.5 Không gian com pắc, không gian Lindel ̈f và không gian khả li…..….20

1.6 Ánh xạ liên tục……………………………………..……..…………….22

CHƢƠNG II : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHỦ CHÍNH QUY……………….26

2.1 Mạng và phủ……………………………………………………………27

2.2 Tính chất của các phủ chính quy………………………………………32

KẾT LUẬN………………………………………………………………………..42

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………42

2

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Các vấn đề liên quan đến không gian đƣợc xác định bởi phủ đã đƣợc nhiều

nhà toán học quan tâm và nghiên cứu từ những năm 70 của thế kỷ XX. Từ đó

đến nay các nhà tôpô đã đƣa ra nhiều tính chất, nhiều kết quả quan trọng đối với

các không gian tôpô khác nhau và mối quan hệ của một số tính chất giữa chúng.

Năm 1960, A. Archangielskii đã giới thiệu về khái niệm về phủ chính quy và

chứng minh rằng một không gian với cơ sở chính quy là khả mêtric. Sau đó

năm 1976, H. W. Martin đã chứng minh rằng không gian với cơ sở yếu chính

quy là khả mêtric, đây là một kết quả mở rộng thực sự có kết quả của

A. Archangielskii. Đến năm 1987, J. Jiang đã suy rộng khái niệm phủ chính

quy, đƣa ra khái niệm phủ cs-chính quy và thu đƣợc một số kết quả về tính

mêtric hóa của không gian tôpô. Ngoài ra, bài toán “Không gian thõa mãn tiên

đề đếm được thứ nhất và chính quy với k-mạng cs-chính quy có là không gian

khả mêtric hay không?” đã đƣợc nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Mãi

đến năm 1998, M. Sakai, K. Tomano và Y. Yajima đã đƣa ra câu trả lời riêng

cho bài toán này trong trƣờng hợp không gian là chính quy. Gần đây, S. Lin đã

thu đƣợc câu trả lời khẳng định cho bài toán này và chứng minh rằng không

gian dãy với cs*-mạng, cs-chính quy là khả mêtric cũng nhƣ cho rằng bài toán

này vẫn đúng trên lớp không gian dãy.

Với mong muốn trình bày và chứng minh chi tiết lại một số kết quả liên quan

đến mạng và các tính chất của phủ chính quy nên tác giả chọn đề tài:

“Một số tính chất của phủ chính quy”.

2. Mục đích nghiên cứu

Hệ thống lại một số kiến thức về tôpô đại cƣơng. Tìm hiểu về một số tính

chất của phủ chính quy và chứng minh các tính chất liên quan.

3. Đối tƣợng nghiên cứu

Cơ sở yếu, sn-mạng, cs-mạng và các phủ chính quy.

3

4. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu, bài báo liên quan đến phủ chính quy.

5. Phƣơng pháp nhiên cứu

Sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu lí thuyết trong quá trình nghiên cứu luận

văn và thực hiện theo quy trình nhƣ sau:

(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa kiến thức.

(2) Thu thập các tài liệu có liên quan đến mạng và các phủ chính quy trong

không gian tôpô.

(3) Thể hiện tƣờng minh các kết quả nghiên cứu trong luận văn.

(4) Trao đổi và thảo luận với giáo viên hƣớng dẫn.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn

Luận văn có ý nghĩa về mặt lí thuyết, có thể sử dụng nhƣ tài liệu cho những

ai quan tâm nghiên cứu bài toán về mạng, về các phủ chính quy của không gian

tôpô.

7. Cấu trúc của luận văn

Luận văn đƣợc trình bày làm hai chƣơng :

Chương I: Chƣơng này hệ thống lại các khái niệm, kiến thức cơ bản về không

gian tôpô và chứng minh chi tiết các tính chất, định lí liên quan nhằm thuân tiện

cho việc chứng minh các kết quả ở Chƣơng 2.

Chương II: Trong chƣơng này, tác giả sẽ trình bày về các khái niệm cơ sở yếu,

sn-mạng, cs-mạng, cs*-mạng, cs-phủ, cs*-phủ. Trình bày và chứng minh các

tính chất liên quan tới chúng. Tiếp theo, là các khái niệm, tính chất về các phủ

chính quy và chứng minh chi tiết các bổ đề liên quan.